＞平行四功形音節復習務

骸課前刪忒

【題目】課前測試

如圖，在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別是(-3,0),(0,6)，動點P從點O

出發，沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，同時動點C從點B出發，沿射線BO方

向以每秒2個單位的速度運動.以CP,CO為鄰邊構造DPCOD.在線段OP延長線上一動

點E,且滿足PE=AO.

(1)當點C在線段OB上運動時，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；

3

(2)當點P運動的時間為整秒時，求此時四邊形ADEC的周長是多少？

【答案】(1)四邊形ADEC為平行四邊形；(2)672+3713

【解析】

(1)證明：連接CD交AE于F,

?四邊形PCOD是平行四邊形，

?.CF=DF,OF=PF,

1??PE=AO,

.-.AF=EF,又CF=DF,

???四邊形ADEC為平行四邊形；

(2)解：當點P運動的時間為卷秒時，OPj,0C=3,

g

則0E=1",

由勾股定理得，AC=7OA2+OC2=3V2,

CE=7OC2+OE2=|-\/T3，

?.四邊形ADEC為平行四邊形，

.?周長為(3^+-1V13)'2=6&+3后.

總結：本題考查的是平行四邊形的性質和判定、勾股定理的應用，掌握對角線互相平分的四

邊形是平行四邊形是解題的關鍵，注意坐標與圖形的關系的應用.

【難度】3

【題目】課前測試

如圖，在AABC中，AB=6cm,BC=8cm.線段BC所在直線(即動點E)以每秒2cm的速

度沿BA方向運動，并始終保持與原位置平行，運動過程中與AB的交點為E,與AC的交

點為D.

(1)經過多少秒后ED是△ABC的中位線?此時ED的長為多少？

(2)經過多少秒后ED的長為2cm?

【答案】(1)1.5s4cm;(2)2.25s

【解析】

解：(1)ED是AABC的中位線即E、D分別為AB、AC的中點,則ED=*BC=4cm,

.,.BE=-^-AB=3cm,

;動點速度為每秒2cm,

BE

.?時間為t=§-=l.5s;

2cln/s

(2)ED的長為2cm,即ED=1-BC,

.-.AE=-^-AB=1.5cm,

.?.BE=6cm-1.5cm=4.5cm

故時間t=*六=2.25秒，

zcm/s

答：(1)經過1.5秒后ED是AABC的中位線，此時ED的長為4cm,

(2)經過2.25秒后ED的長為2cm.

總結：本題考查了中位線定理，考查了平行線定理，本題中根據BE的長和動點速度求時間

是解題的關鍵.

【難度】3

骸而識史仔

適用范圍北師大版，八年級

知識點概述：本章重點部分是平行四邊形對的性質定理及判定定理復習。掌握并能證明三

角形中位線定理；掌握并能熟練應用多邊形內角和與外角和公式

適用對象：成績中等偏上的學生

注意事項：本章節是以后學習特殊四邊形的基礎，需要熟練掌握

重點選講：

t-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

①平行四邊形的性質及判定

②三角形中位線及多邊形內外角和

*

③平行四邊形綜合

如衣椅理

摩如識幅搓1:平行四功形的史文及在危

曹三平行四邊形的概念：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

\1/

嚕'平行四邊形的性質：

(1)邊的性質：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對邊平行

(2)角的性質：平行四邊形的對角相等；

(3)對角線的性質：平行四邊形的對角線互相平分；

(4)平行四邊形是中心對稱圖形

◎-如詛燃鋰2：平行兇功形的初定

—

平行四邊形的判定：

(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

\,/

噌'兩條平行線間的距離的定義：

若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離

稱為平行線之間的距離，實際上平行線間的距離處處相等。

卷-如識精，捏3：三南形的中行:線

三角形中位線的定義：連接三角線兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

'瞥'三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角線的第三邊，且等于第三邊的

念如出蹺捏4：三多功形及正多功形

，/"\?/

3多邊形：在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉

圖形叫做多邊形。

\1/

多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角。

、I/

二④二

'晉'正多邊形：在平面內，內角都相等、邊也都相等的多邊形叫做正多邊形。

\?/

'晉'多邊形的內角和：n變形的內角和等于(n-2)*180°(n>3)

\1/

'管'多邊形的外角和：多邊形的外角和等于360°

姿俐慰藉第

題型1:平行四邊形的性質及判定

如圖，AC是rABCD的一條對角線，BE±AC,DF±AC,垂足分別為E,F.

(1)求證:AADF當CBE;

(2)求證：四邊形DFBE是平行四邊形.

【答案】(1)AADF*CBE;(2)四邊形DFBE是平行四邊形

【解析】

(1)證明：,.四邊形ABCD是平行四邊形，

.".ADllBC,AD=BC,

/.zDAF=zBCE,

-.,BE±AC,DF±AC,

.-.BEllDF,zAFD=zCEB=90°,

<ZDAF=ZBCE

在AADF和4BE中，，/AFD=NCEB，

,AD=CB

:AADF*CBE(AAS);

(2)解：如圖所示：由(1)得：AADF學CBE,

.-.DF=BE,

???BEllDF,

二四邊形DFBE是平行四邊形.

總結：本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，?熟練掌握平行四邊

形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

【難度】3

【題目】題型1變式練習1:平行四邊形的性質及判定

如圖，在。ABCD中，E是BC的中點，連接AE并延長交DC的延長線于點F.

(1)求證:AB=CF;

(2)連接DE,若AD=2AB,求證：DE±AF.

【答案】(1)AB=CF;(2)DE±AF

【解析】

證明：(1)?.四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ABIIDF,

.'.zABE=zFCE,

■.?E為BC中點，

.-.BE=CE,

在SBE與AFCE中,

"ZABE=ZFCE

<BE=CE,

ZAEB=ZCEF

.?.△ABE2FCE(ASA),

.-.AB=CF;

(2)/AD=2AB,AB=FC=CD,

.-.AD=DF,

?.?△ABE2AFCE,

.-.AE=EF,

.-.DE±AF.

總結：此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性

質.此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用.

【難度】3

【題目】題型1變式練習2:平行四邊形的性質及判定

如圖,四邊形ABCD中，zA=zC=90°,BE、DF分另［|是NABC、NADC的平分線.

(1)試探究N1與N2有何關系，并說明理由.

(2)試探究BE與DF有何位置關系，并說明理由.

【答案】(1)N1+N2=90°;(2)BEllDF

【解析】

解：(1)ZL+N2=90°;

???BE,DF分別是NABC,zADC的平分線，

.,.zl=zABE,z2=zADF,

1??zA=zC=90°,

.?.zABC+zADC=180°,

:.2(zl+z2)=180°,

.-.zl+z2=90°;

(2)BEllDF;

在"CD中，?.2C=90°,

.-.z3+z2=90°,

???zl+z2=90°,

.,.zl=z3,

.-.BEllDF.

總結：本題主要考查了平行線的判定與性質，注意平行線的性質和判定定理的綜合運用.

【難度】3

題型2:三角形中位線及多邊形內外角和

小明計算一個多邊形的內角和時誤把一個外角加進去了，得窗口為2620°.

(1)求這個多加的外角的度數；

(2)求這個多邊形的邊數.

【答案】(1)100°;(2)16

【解析】

解：設多邊形的邊數為n,多加的外角度數為a,則

(n-2)?180°=2620°-a,

?.■2620°=14xl80°+100°,內角和應是180。的彳輟，

二小明多加的一個外角為100°,

，這是14+2=16邊形的內角和.

故這個多加的外角的度數為100°,這個多邊形的邊數是16.

總結：本題考查了多邊形的內角和公式，根據多邊形的內角和公式判斷出多邊形的內角和公

式是180。的倍數是解題的關鍵.

【難度】2

【題目】題型2變式練習1:三角形中位線及多邊形內外角和

如圖，四邊形風箏的四個內角NA,ZB,ZC,ZD的度數之比為1.1:1:0.5:1.求它的四

個內角的度數.

BD

【答案】110。，100°,50°,100°

【解析】

解：設四邊形的四個內角NA,ZB,ZC,ZD的度數分別為l.lx,x,0.5x,x，則

l.lx+x+0.5x+x=360°,

解得x=100°.

則l.lx=110°,0.5x=50°.

故NA,ZB,ZC,ZD的度數分別為110°,100°,50°,100°.

總結：本題考查了四邊形的內角和定理，多邊形內角和定理：（n-2）?180（nz3）且n

為整數）.

【難度】3

【題目】題型2變式練習2:三角形中位線及多邊形內外角和

如圖，點D、E是RtMBC兩直角邊AB、AC上的一點，連接BE,已知點F、G、H分別是

DE、BE、BC的中點.

(1)求NFGH度數;

(2)連CD,取CD中點M,連接GM,若BD=8,CE=6，求GM的長.

【答案】(1)90°;(2)5

【解析】

解：(1)；F、G、H分別是DE、BE、BC的中點，

.-.FGllDB,GHllEC.

.-.zDBE=zFGE,zEHG=zAEG.

zFGH=zFGE+zEGH=zABE+zBEA=180°-zA=180°-90°=90°.

(2)如圖所示:連接FM、HM.

.-.MNliBD,MN=yBD.

同理：GFllBD,GF=yBD?

???四邊形FGHM為平行四邊形.

,.GH、M分別是BE、BC、DC的中點，

???GH=yEC=3,ffl!=yBD=4,

由(1)可知：zFGH=90°,

二四邊形FGHM為矩形.

.-.zGHM=90°.

2222=5

??.GM=7GH+HM=73+4-

總結:本題主要考查的是三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、勾股定理、

平行線的性質的綜合應用，證得四邊形FGHM是矩形是解題的關鍵.

【難度】4

題型3:平行四邊形綜合

如圖，在。ABCD中，BD±BC,zBDC=60°,zDAB和NDBC的平分線相交于點E,F為

AE上一點，EF=EB,G為BD延長線上一點，BG=AB,連接GE.

(1)若。ABCD的面積為9?,求AB的長;

(2)求證:AF=GE.

【答案】(1)6；(2)AF=GE

【解析】

(1)解：,?四邊形ABCD為平行四邊形，

.-.ADllBC,ABIICD,

■,-zBDC=60°,

.-.zABG=60°,

???BG=AB,

?MBG為等邊三角形，

.-.AB=AG=BG,zABG=zGAB=zAGB=60°,

,.,BD±BC,

.-.zADB=zDBC=90°,

.■.zDAB=-i-zGAB=30°,

在Rt^ADB中，BD=yAB,AD=

哼AB2=9?,

.S平行四邊形ABCD=AD,BD=

.-.AB=6,即AG=6;

(2)證明：連接BF,

??,AE、BE分別平分/BAD、ZDBC,

.-.zBAE=yzBAD=15°,zDBE=yzDBC=45°,

.-.zABE+zBAE+zAEB=180°,

.-.zAEB=60°,

1/EF=BE,

."BFE為等邊三角形,

.-.BE=BF,zFBE=60°,

.-.zABD=zFBE=60°,

.,.zABF=zGBE,

在AABF和AGBE中,

AB=GB

NABF=NGBE,

BF=BE

..△ABFaGBE(SAS),

總結：此題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解本題的關鍵.

【難度】4

【題目】題型3變式練習1:平行四邊形綜合

如圖,在梯形ABCD中，ADliBC,zB=90°,AD=16cm,AB=12cm,BC=21cm,動點

P從點B出發，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運動到C點返回，動點Q從點A出

發，在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動，點P,Q分別從點B,A同時出發，當

點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t(秒).

(1)當t為何值時，四邊形PQDC是平行四邊形；

(2)當t為何值時，以C,D,Q,P為頂點的梯形面積等于60cm2?

(3)是否存在點P,使WQD是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若

不存在，請說明理由.

A-?QD

B—PCF.

【答案】（1）5或等；（2）9或15;（3）當V3秒或T秒或等秒時

5zb

【解析】

解：（1）,.四邊形PQDC是平行四邊形

.-.DQ=CP

當P從B運動到C時，

■.DQ=AD-AQ=16-t,

CP=21-2t

.-.16-1=21-2t

解得t=5

當P從C運動到B時，

-.DQ=AD-AQ=16-t,

CP=2t-21

.-.16-t=2t-21,

解得t=雪，

，當t=5或學秒時，四邊形PQDC是平行四邊形；

/-?QD

v\

BE

(1)

（2）若點P、Q分別沿AD、BC運動時,

喈^?AB=6。

即16一號-2t*二改

解得t=9（秒）

91

若點P返回時,CP=2（t-號），

91

吧—EE

解得t=15（秒）.

故當t=9或15秒時，以C,D,Q,P為頂點的梯形面積等60cm2;

(3)當PQ=PD時

作PH_LAD于H,貝［|HQ=HD

??-QH=HD=1QD=1(16-t)

由AH=BP得2T(16-t)+t

解得t4秒；

o

當PQ=QD時QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t,QD=16-t,

-.-QD2=PQ2=t2+122

(16-t)2=122+t2

7

解得t弓（秒）；

當QD=PD時DH=AD-AH=AD-BP=16-2t,

?.QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2t)2

(16-1)2=122+(16-2t)2

即3t2-32t+144=0

,.,A<0,

方程無實根，

當點P從C向B運動時，觀察圖象可知，只有PQ=PD,

由題意：2t-26=*(16-t),

5

綜上可知，當t』■秒或秒或塔秒時，”QD是等腰三角形.

3zb

AHD

BPCE

(3)

總結：本題主要考查了直角梯形的性質、平行四邊形的性質、梯形的面積、等腰三角形的性

質，特別應該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏.

【難度】4

【題目】題型3變式練習2:平行四邊形綜合

如圖，在平行四邊形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是BC上一點，且AB=AE,

連接EO并延長交AD于點F.過點B作AE的垂線，垂足為H,交AC于點G.

(1)若AH=3,HE=1,求3BE的面積;

(2)若NACB=45。，求證：DF=V^CG.

AD

BEC

【答案】(1)277；(2)DF=V^CG

【解析】

解：(1)-.AH=3,HE=1,

,-.AB=AE=4,

又「RtAABH中，BH=7AB2_AH2=T7,

.■.SAABE=-^-AEXBH=-^-X4X^7=2^7；

(2)如圖，過A作AM±BC于M,交BG于K,過G作GN±BC于N,則NAMB=N

AME=zBNG=90°,

?.zACB=45°,

.-.zMAC=zNGC=450,

?；AB=AE,

,-.BM=EM=-^BE,NBAM=NEAM,

又.AE_LBG,

.?.zAHK=90°=zBMK,而NAKH=NBKM,

.-.zMAE=zNBG,

設NBAM=NMAE=NNBG=C(,則NBAG=N45°+a,zBGA=zGCN+zGBC=45°+a,

.'AB=BG,

.-.AE=BG,

在AAME和ABNG中，

，ZAME=ZBNG

<ZMAE=ZNBG,

AE=BG

.“AME孚BNG(AAS),

.-.ME=NG,

在等腰RbCNG中，NG=NC,

，GC=MNG=&ME=^BE,

；.BE=、/^GC,

。是AC的中點，

.".OA=OC,

..四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.ADllBC,AD=BC,

.-.zOAF=zOCE,zAFO=zCEO,

.“AF02CE0(AAS),

.-.AF=CE,

/.AD-AF=BC-EC,BPDF=BE,

；.DF=BE=&CG.

總結：本題主要考查了平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性

質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形以及等腰直角三角

形，利用全等三角形的對應邊相等得出結論.

【難度】4

【題目】興趣篇1

如圖，AABC中，AD是AABC的邊BC上的高，E、F分別是AB、AC的中點,AC=13、

AB=20、BC=21.

(1)求四邊形AEDF的周長；

(2)求SBC的面積.

【答案】(1)33；(2)126

【解析】

解：(1);AD是SBC的邊BC上的高，E、F分別是AB、AC的中點，

.-.AE=DE=-^AB=10,AF=DF=-1-AC=6.5,

二四邊形AEDF的周長=AE+DE+DF+AF=33;

(2)設BD=x，則CD=21-x,

由勾股定理得，202-x2=132-(21-x)2,

解得，x=16,

=22=12

-'-ADVAB-BD，

."ABC的面積=*xBCxAD=126.

總結：本題考查的是直角三角形的性質、勾股定理的應用，掌握在直角三角形中，斜邊上的

中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

【難度】3

【題目】興趣篇2

如圖，在口ABCD中，對角線BD±AB,G為BD延長線上一點且&CBG為等邊三角形，z

BCD、zABD的角平分線相交于點E,連接CE交BD于點F,連接GE.

(1)若CG的長為8,求。ABCD的面積；

(2)求證：CE=BE+GE.

【答案】(1)1673；(2)CE=BE+GE

【解析】

解：(1)解：?.四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.CDIIAB,

-.AB±DB,

.".CDxBD,

?3BGC是等邊三角形，

.-.BG=BC=CG=8,

.?.GD=DB=*BG=4(三線合一定理)，

在Rt^GDC中,由勾股定理得：CD=7S2-42=4V3，

二平行四邊形ABCD的面積是CDxBD=4?x4=16?;

(2)證明：?3BCG為等邊三角形，

.-.zGBC=zBGC=zGCB=60o,

?-?BD±DC,

.-.zBCD=30°.

-EC是,BCD的平分線，

.-.zBCE=zDCE=15°.

??,BE是NABD的平分線，zABD=90°,

.?.zEBD=45°,zEBC=450+60°=105°.

則NBEC=180°-105°-15°=60°,

.-.zBEC=zFBC,

???zBCF=zBCE,

.“CFBSACBE,

,EB=BF

-,EC_BC'

?1?zGCE=60°-15°=45°=zEBF,zBFE=zGFC,

.“BFE?"CFG,

,EF=FG

-'BF-CF'

,.zEFG=zBFC,

...AEFGSABFC

.-.zGEF=zCBF=60°,而NBGC=60°,

...△CGFSACEG,

,EG=FG

■'EC-'CG'

EBEGBFFG

"ECEC"BCCG'

“BCG為等邊三角形,

.-.BC=CG=BG=BF+FG

EB+EGi

?.?k=l，

.-.CE=BE+GE.

總結：本題考查了平行四邊形性質，勾股定理，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質,三

角形的內角和定理，相似三角形的性質和判定等知識點的綜合運用，本題綜合性比較強.

【難度】5

【題目】土選題目1

在平行四邊形ABCD的對角線相交于點0.E、F、P分別OB、OC.AD的中點，且

【解析】

證明：連接AE,

,?四邊形ABCD是平行四邊形，

.-.AD=BC,AC=2OA=2OC,

???AC=2AB,

.'.OA=AB,

???E為OB中點,

，AE_LBD（三線合一定理），

.-.zAED=90°,

■P為AD中點，

-AD=2EP（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

■1?BC=AD,

.-.BC=2EP,

.??E、F分別是OB、OC中點，

.-.BC=2EF,

總結：本題考查了平行四邊形性質，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形性質，三角形

的中位線性質的應用,關鍵是求出印=*AD,題目比較好，綜合性比較強.

【難度】4

【題目】7選題目2

平行四邊形ABCD中，BE_LCD,BF_LAD,垂足分別為E、F，若CE=2,DF=1,zEBF=60°,

求平行四邊形ABCD的面積.

【答案】12y

【解析】

解：-.BE±CD,BF±AD,

.-.zBEC=zBFD=90o,

???zEBF=60°,

???zD+zBED+zBFD+zEBF=360°,

.-.zD=120°,

???平行四邊形ABCD,

.,.DCllAB,ADllBC,zA=zC

.-.zA=zC=180°-120°=60°,

.-.zABF=zEBC=30°,

.-.AD=BC=2EC=4

在ABEC中由勾股定理得：BE=2V3，

在AABF中AF=4-1=3,

?.zABF=30,

.t.AB=6,

???平行四邊形ABCD的面積是AB?BE=6x2