初中數學競賽模擬題50題含答案

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.正有理數和負有理數統稱有理數B.正整數和負整數統稱整數

C.整數和分數統稱有理數D.一個有理數不是正數就是負數

2.在一年的某月里，周五、周六出現的天數比周日多，周一、周二、周三、周四出現

的天數不超過周日，則該月份一定不是（）

A.三月B.四月C.六月D.十一月

3.當小為自然數時，（4m+5>-9一定能被下列哪個數整除（）

A.5B.6C.7D.8

4.定義運算“*〃=,則10*7=()

/?(/?-l)(￡>-2)x...x2xl

A.720B.120C.240D.80

5.已知可,吃,電（巧<W）為關于x的方程丁-3/+（4+2）犬-0=0的三個實數根,

貝lj4X|-X：+*+x；=（）

A.5B.6C.7D.8

6.一個盒子中有紅球，〃個、白球10個，黑球”個，每個球除顏色外都相同，從中任

取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么見”的關系是（）.

A.m+n=l0B.m+n=5C./?/=?=10D.m=2,n=3

7.已知x,y為整數，且滿足[+邛4■+!]=-44—4],則x+y的可能的值

（xy）[x2y2）3。y4J

有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.若"=3/_8xy+9y2-4x+6y+13（x,y是實數），則M的值一定是（）.

A.正數B.負數C.零D.整數

八甘3+4+5+6+72015+2016+2017+2018+20199，，、

9.若-----------=----------------------------,則％=（）

5N

A.2015B.2016C.2017D.2018

10.如圖，在中，過點C作CD_LAB,垂足為點D,過點。分別作。E工AC,

DFLBC,垂足分別為E,F.連接EF交線段CD于點。，若CO=2&，

CD=3五,則EO/O的值為（）.

A.6石B.4C.576D.6

11.銳角二ABC中，BC邊的中垂線和/ABC的角平分線相交于點P.若NA=72。,

?ACP24?,則()

A.24°B.28°C.30°D.36°

12.如果工2一x-l是以3+"+1的一個因式，則力的值是（).

A.-2B.-1C.0D.2

13.滿足等式（2-㈤"一止2=1的所有實數機的和為（）

A.3B.4C.5D.6

14.點。、E、廠分別在ABC的三邊3C、AB.AC上,且A。、BF、CE相交于

一，"8AC.AM/、

一點M,若一+——=5,則aa——=()

BECFMD

7

A.-B.3cD.2

2-1

15.矩形ABCQ中，4）=5,AB=10,E、尸分別為矩形外的兩點，BE=DF=4,

AF=CE=3,則所=()

C.>/221D.100

16.已知實數a,b滿足（。一3）（萬一3）20,則＞/^二+|2-病可的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

17.某種產品由甲、乙、丙三種元件構成，如圖為生產效率最高，在表示工人分配的

扇形圖中，生產甲、乙、丙元件的工人數量所對應的扇形圓心角的大小依次是

).

八5050

（圖中：口表示1名工人1小時生產某種元件的數量,

□表示組裝一件成品需要的元件數量）

甲乙丙

A.120°,180°,60°B.108°,144°,108°C.90°,180°,90°D.72°,216°,720°

18.從正整數里取出4個不同的數，使得這k個數中任意兩個數之差的絕對值是質

數，則女的最大值是（）.

19.若直角三角形的一條直角邊長為12,另兩條邊長均為整數，則符合這樣條件的直

角三角形共有（）個.

D.無數多

二、填空題

20.把7串葡萄放在6個盤子里，總有一個盤子里至少要放（）串葡萄.

21.如圖，已知直角三角形ABC,NA=90,AB=4cm,BC=5cm.將ABCAC

方向平移1.5cm得到，A'3'C',求四邊形BCC'B'的面積為cm2.

BB'

AA'C.C

22.若正整數〃有6個正約數（包括I和本身），稱其為“好數''，則不超過50的好數

有個.

23.已知A3C的最大邊BC上的高線和中線AA7恰好把三等分，

AD=6則AA/=.

24.若。，b,c,d均為素數，且滿足2a+b=d,3h-c=2d,則d的最小值是

25.在一張冬景照片上，人們分別戴著帽子、系著圍巾和戴著手套.只戴帽子的人數

等于只系圍巾和只戴手套的人數之和；只有4人沒有戴帽子；戴著帽子和系著圍巾，

但沒有戴手套的有5人；只戴帽子的人數兩倍于只系圍巾者；未戴手套有8人，未系

圍巾有7人；三樣東西都用的人數比只戴帽子的人數多一個.那么：

（1）有人同時用上了帽子、圍巾和手套；

（2）有人只戴了手套；

（3）有人只系了圍巾；

（4）有人既戴了帽子，又戴了手套，但沒有系圍巾；

（5）有人戴著手套.

26.若〃為整數，且J〃2+9〃+3o是自然數,則〃=.

?設'=看

27。是X的小數部分，b是一X的小數部分，則°3+匕3+3次,=

28.軍訓基地購買蘋果慰問學員.已知蘋果總數用八進位制表示為正，七進位制表

示為而.那么，蘋果的總數用十進位制表示為

x14

29.方程彳+―=3有_______組正整數解.

3y

30.已知函數乙+（%+i）y=i（%為正整數）的圖象與兩坐標軸圍成的圖形面積為

S/(&=1,2,…,2000),貝ij+S2■!-----HS^QOQ=

31.如圖，在AABC中，Zfi4C=90°,AB=AC=5,點。在AC上，且A￡>=2,點E

是AB上的動點，連結￡>￡,點尸，G分別是BC,OE的中點，連接AG,FG,當AG

=FG時，線段DE長為

32.從1到2001連續的2001個自然數按某種順序排列，然后每連續三項計算和數,

得到1999個和，則這些和數中為奇數的個數最多是.

33.計算：1+2x2+3x22+4x23++100x2"=.（結果可用2的基表示）

34.如圖所示，點A、C都在函數），=遞（犬>0）的圖象上，點AO都在x軸上，且使

X

得iOA5,△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標是.

35.已知正整數〃大于30,且使得4〃-1整除2002〃，則〃等于.

36.射線A3繞點A逆時針旋轉4。，射線54繞點3順時針旋轉匕。，0°<a<90o,

0°<&<90°,旋轉后的兩條射線交點為C,如果將逆時針方向旋轉記為“+”，順時針方

向旋轉記為"一”，則稱（。，-方）為點C關于線段AB的“雙角坐標”，如圖1,已知

A48C,點C關于線段的“雙角坐標''為（50,-60）,點C關于線段54的“雙角坐標”

為（-60,50）.如圖2,直線A8:y=&+石交x軸、》軸于點A、B,若點。關于線

段A8的“雙角坐標”為（-S，〃），y軸上一點E關于線段A3的“雙角坐標”為（-〃，M,

AE與BD交點、為F,若A4DE與A4D尸相似，則點尸在該平面直角坐標系內的坐標是

37.如圖，在四邊形ABC。中，ZBCD=9Q0,BC=>/3CD,ZBAC=60°,若AB=5,

AD=2,則線段AC的長為

38.某演藝公司將觀賞廳分為上、中、下三大區位，同一區位包含若干個座位數相同

的桌位（不同區位的單個桌位所含座位數不一定相同）.演藝公司對近三天的的上座情

況進行統計發現，三天中每個區位坐有觀眾的桌位均剛好坐滿.第一天上、中、下區

13

的坐有觀眾的桌位數之比為3:2:1,中區的觀眾數占入場觀眾數的工，上座率為1；

45

第二天上、中、下區的坐有觀眾的桌位數之比為1：1：2,上區的觀眾數占入場觀眾數

23

騎，上座率為“第三天上區的觀眾數與第二天上區的觀眾數相同，中區的觀眾數

是第一天的中區的觀眾數的g,下區的觀眾數是當天上區和中區觀眾數的總和.則第

入場觀眾數

三天的上座率為.（上座率=)

全場總座位數

三、解答題

39.如圖，在菱形ABC。中，AB=3,ZDM=60°,E為線段8。延長線的動點，連

接AE、CE,AE交延長線于點尸.

⑴求證：AE=CE；

⑵若。尸=1.

①求點E到。的距離:

②求共的值.

ED

40.設“力是實數且,=b；求的值.

2/+3/20/+io/

41.幾何計算中，常利用面積法（等積法）構造方程來求線段的長，請利用這種面積

法（等積法）解決下列兩個問題:

圖①圖②圖③

（1）如圖①，ABC中，AB=13,AC=5,BC=12,求AB邊上的高；

（2）在一張正方形紙張的四個角剪去四個相同的小正方形，得到如圖②所示的圖形，再

將它分割成三塊拼成如圖③所示的長方形，已知”八〃滿足：

蘇-8,〃+〃2_18〃+97=0,求拼成新長方形的長”?、寬"的值及被剪去的小正方形的

邊長.

42.求證：若3|(4x-y),則91(4/+7xy-2y?).

43.兩位數不能整除十位數字為零的三位數冬，求血.

44.如圖，點E在四邊形A8CO的邊AB上，A8C和-CY出都是等腰直角三角形,

AB^AC,DE=DC.

(1)證明：AD//BC；

DP

(2)設AC與交于點P,如果NACE=30。，求一.

PE

45.從1,2,3,…，50這50個正整數中任取〃個數，在這〃個數中總能找到3個

數，它們兩兩互質.求"的最小值.

46.已知根，〃都是正整數，若且機〃能被21整除，求滿足條件的數對

(m,n)的個數.

47.證明數列49,4489,444889,4448889,…的每一項都是一個完全平方數.

48.在元旦晚會上，學校組織了一次關于語文、數學、外語、奧運及日常生活常識的

知識競賽，設定每科滿分為40分，以下依次為30分、20分、10分和0分，共5個評

分等級，每個小組分別回答這五個方面的問題.現將A、B、C、D、E五個小組的部分

得分列表1如下：

表1

語文數學外語常識奧運總分名次

A組1801

8組2

C組3

。組304

E組40205

表1中，(1)每一豎行的得分均不相同(包括單科和總分);

(2)C組有4個單科得分相同.求8、C、D、E組的總分并填表進行檢驗.

參考答案:

1.c

【分析】根據有理數的含義和分類方法，逐一判斷即可.

【詳解】解：A、正有理數、負有理數和0統稱有理數，

，選項A不正確，不符合題意；

B、正整數與負整數、0統稱為整數，

，選項B不正確，不符合題意；

C、整數和分數統稱有理數

，選項C正確，符合題意；

D、一個有理數不是正數，可能是負數或0,

選項D不正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了有理數的含義和分類方法，解題的關鍵是要熟練掌握有理數的分

類：①有理數可以分為正有理數，0,負有理數；正有理數可以分為正整數和正分數，負有

理數分為負整數和負分數；②有理數可以分為整數和分數；整數分為正整數，0負整數；

分數分為正分數和負分數；按兩種分類一一判斷即可.

2.A

【詳解】每個月的后28天，周一至周日出現的天數相同，因此在這28天之外只能出現周

五和周六，故這個月有30天

3.D

【分析】多項式利用平方差公式分解因式，變形后即可作出判斷.

【詳解】解：(4??+5)、9

=[(4/n+5)-3][(4m+5)+3]

=(4/w+2)(4m+8)

=8(2團+1)("2+2)

無論，"為任何自然數，(4根+5)2-9始終能被8整除，

故選：D.

【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解答本題的關鍵.

4.B

答案第1頁，共27頁

【解析】略

5.A

【詳解】方程即（x-D（d-2x+a）=0,它的一個實數根為1,另外兩個實數根之和為2,

其中必有一根小于1,另一根大于1,于是無2=1,%+七=2,故

4X[-xj2+宕+W=（毛+再）（七一x）+4玉+1=2（芻―玉）+4玉+]=2（/+玉）+1=5.

6.A

【詳解】盒中共有機+〃+10個球，取得的是白球的概率是0=m+”,-，取得的不是白球

m+n+\Q

的概率為p'=%+〃依題意有一^―=W+所以優+〃=10.故應選A.

/n+n+10/n+zt+10m+〃+10

7.C

【詳解】由已知等式得山=顯然X,y均不為0,所以x+y=o或

xyxy3xy

3肛=2（x-y）.

若3節=2（x-y）,則（3x+2）（3y-2）=-4.

[x=-1fx=-2,

又x,y為整數，可求得c或,.

[y=2[y=i

所以x+y=l或x+y=-l

因此，x+y的可能的值有3個.

【點睛】本題考查了等式的性質，分式的化簡，解決此題的關鍵是熟練運用X、y是整數這

個條件.

8.A

【詳解】因為

M=2（/_4孫+4/）+（Y-4x+4）+（丁+6y+9）=2（x-2y>+（x-2y+（y+3>20,并且

x-2y,x-2,y+3不能同時等于零，所以”>0.故選A.

9.C

【解析】略

10.B

【分析】由題意易得出NDEC=N。fC=90°,即說明點C,E,D,尸四點共圓，得出

答案第2頁，共27頁

ZDEO^ZFCO,從而易證；ZX>EsFOC,得出）=17.由題意可求出

COrO

DO=CD-CO=近,即可求出EOFO=CODO=4.

【詳解】解：：DEIAC,DF1BC,

：.ZDEC=NDFC=90°,

...點C,E,D,尸四點共圓，

/.ZDEF=ZFCD,即NDEO=ZFCO.

又,:ZDOE=ZFOC,

：.DOEs_FOC,

.EODO

"~cd~~Fd'

...EOFO=CODO.

CO=2>/2,CD=3五，

?*-DO=CD-CO=>/2>

,EOFO=CODO=20x叵=4.

故選B.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，四點共圓的知識，圓周角定理.確定點C,

E,D,尸四點共圓，從而可得出證明的條件是解題關鍵.

,直線BP為NABC的角平分線，:.ZABP=NCBP.

,直線PM為8c的中垂線，:.BP=CP,：.ZCBP=ZBCP,，NABP=NCBP=NBCP.

在.ABC中，三內角之和為180。，3NABP+NA+NACP=180。，

即3ZABP+72°+24°=180°,解得NABP=28°.

12.D

【詳解】（解法一）依題意可設

答案第3頁，共27頁

b=-(a+c),

ax'+1=(x2-x-Y){ax+c)=ax'+(c-a)x2-(a+c)x-c,比較系數得＜。一。=0,所以

-c=I,

c=a=-\,h=2.故選D.

(解法二)依題意f_1_]是以3+法+]_融(12_%_i)=以2+s+〃)x+i的因式，

「匚…ab+a1

所以i=F==，

解得“=-1,。=2.故選D.

(解法三)用長除法可得or3+"+1=(爐一x-l)3+a)+(2a+、)x+(a+l),

所以/[2a=+b=。，0,得,"一f回?

2故選D.

13.A

【詳解】當2-6=1即機=1時，滿足所給等式：

當2-加=-1即機=3時，（2-加嚴-小2=（_i）4=1,滿足所給等式；

當2—加工±1即/nH1且皿*3時，由已知等式可得：加2—,“-2=0且2—，"力0,解得，"=-1.

因此，滿足等式（2-加嚴一時2=1的所有實數機的和為1+3+（-1）=3.

14.B

【詳解】設黑AE_%AMC.AF_"△,/?_2&BMD

=t,由題設可得,一

MDEB0q^BMC%sBMC，~FC-°sABMC?s△BMC

ABACAEAF?2=dADMC

所以而+左二---+12^BMD4-2

DLLCrEBFCS&BMCS&BMC

_+5/8卬))+2=,S4BMC+2=7+2

-

°V4BMCVsfiMC一，

又已知---F——=5,所以，+2=5,所以，=3,即=3.

BECFMD

15.C

【詳解】易知NAEO=N5EC=90。，ABEC=ADE4,/.ZDAF=ABCE.

延長E4,EB交于點、G.

■:ZGAB=90°-ZDAF=ZADF,NGBA=90°-ZCBE=/BCE=ZDAF,

/.ABG4/XAFD,且ZAG3=90。，/.AG=8,BG=6,

：.GF=U,GE-10,:.EF=qGE、GF=@i.

答案第4頁，共27頁

DC

16.B

【詳解】因為匕一420,匕一3>0,所以Va-2>1,所以令“=3,8=8,得至!）最小

值為1.

17.B

【詳解】解設分配生產甲、乙、丙3種元件的人數分別為x人，>人，z人，于是每小時

生產甲、乙、丙三種元件的個數分別為50x,30y,20z.為了提高效率應使生產出來的元件

全部組成成品而沒有剩余.設共可組成A件成品，則憶=票=辭=與，即

44..,

x=k,y=-k,z=k,從而x:y:z=l:§:l=3:4:3.設在扇形圖中生產甲、乙、丙三種元件

的圓心角分別為a,4,y,則

Y33

a=--——x360°=------x360°=—X360°=108°

x+y+z3+4+310

y44

B=—<-—x360°=------x360°=—X360°=144°

x+y+z3+4+310

3

7=---X360°=—-—X360°=—x360°=108°

x+y+z3+4+310

故應選艮

18.B

【詳解】解法一首先4個數1,3,6,8滿足題目要求，故所求大的最大值W4.

若225,記第〃個數為45=1,2,，幻，且馬</<<4,則分下列幾種情形:

（1）4為奇，”2為奇，于是|勾為偶數.

又何-%|為質數，故4-4=2,即4=4+2.

若與為奇數，又生片外，故%-q為不等于2的偶數，即4-4為不小于4的偶數，即％

為合數，矛盾.故如為偶數，4也只能為偶數.

那么，若應為奇，則%-q>/-422為偶數，即為-q為不小于4的偶數，從而%-q為

答案第5頁，共27頁

合數，矛盾.

若生為偶數，則火-43>4-“322為偶數，從而%-%為合數，矛盾.

（2）%為奇,“2為偶，于是。2-q為奇數,即里-《23.

若。3為奇數，貝!14-4>“2-％23為偶數，故。為合數，矛盾.

所以的為偶數，且%-%=2.

若氏為奇數，則為不小于4的偶數，即4為合數，矛盾.

若應為偶數，則4-“2-。3>出=2為不小于4的偶數，即g-42為合數，矛盾.

（3）%為偶，/為奇或偶，都類似于（1）.（2）可導致矛盾.

綜上得所求％的最大值是4,故選B.

解法二同解法一得424.若氏25,則將全體正整數分為4個不相交的子集,M2,

M,,M,,其中由全體被4除余i的正整數組成0=0,1,2,3）于是任取A25個數，其中

必有2個數.，b（a>b）屬于同一個子集于是a-。被4整除，。-6不是質數，矛

盾.故所求&的最大值等于4.

19.C

【詳解】選C.理由：設。=12,c為斜邊，則有加=/=144.

因為144=2'X32,所以,

(c+Z?)(c-。)=72x2；

(c+fe)(c-Z?)=36x4；

(C4-/?)(C-/?)=18X8；

(c+b)(c-b)=16x9；

(c+Z?)(c-Z?)=48x3；

(c+b)(c-b)=24x6.

又因為c+匕與c-6同奇偶，故符合題意條件的直角三角形有以下四個:

4=12.a=12.a=12,a=12.

6=5.<b=9.<Z?=16,<b=35.

c=13;c=15;c=20;c=37.

20.2

答案第6頁，共27頁

【分析】把6個盤子看作6個抽屜，7串葡萄看作7個元素，從最不利的情況考慮，每個

抽屜先放一個，共需要6個，余下這一個無論放在哪個抽屜里，總有一個至少有1+1=2

（個），據此解答.

【詳解】解：7+6=1（串）1（串），

1+1=2（串），

,總有一個盤子里至少要放2串葡萄.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了抽屜原理，解決本題的關鍵是掌握抽屜原理：如果有〃個抽屜，而每

一個蘋果代表一個元素，假如有〃+1個元素放到〃個抽屜中去，其中必定有一個抽屜里至

少有兩個元素.

21.6

【分析】根據題意，再結合平移的性質，可得=AA'=BB'=CC=1.5cm,

BB//CC'>=S^A.B,C，,然后再根據等量代換，得出S四成形四邊形OCC0，然后再根

據等量代換，得出S四邊.CCE=然后再根據長方形的特征，得出四邊形

是長方形，然后再根據長方形的面積公式，算出長方形4488的面積，即可得出四邊形

8CC8的面積.

【詳解】解：如圖，

?.二ABC沿AC方向平移1.5ctn得至lj,AffC,

A的對應點為點4,點8的對應點為點B,，點C的對應點為點C,

...由平移的性質，可得：AB=A￡=4cm,A4'=BB'=CC=1.5cm,Bff//CC,

又；ABC沿AC方向平移1.5cm得到A'lTC,

??S&ABC=S&ZBC，

又「S&ABC~S四邊形AI,OS+^AA,OC>

S/U'S'C'=S四如診OCC'B'+^A'OC>

5四邊，%1*'<?=5四邊形OCCE，

S四邊形BCC'B'=S四邊形0cC'P'+SABOir，

S四邊物"B'B=S四邊揚+5AgOB.,

答案第7頁，共27頁

S四邊形sec'"=%邊形AA'B'B

AB=AB1.AA!=BB',ZA=90.

,根據長方形的特征，可得：四邊形A47?B是長方形,

z

S長方形."a=AB-AA'=4x1.5=6cm，

S四邊形scc'/r=^VSHIKAA,B,B=6cm2

故答案為：6

【點睛】本題考查了平移的性質，等量代換，根據長方形的特征判定長方形，長方形的面

積公式，解本題的關鍵在熟練掌握平移的性質.平移的性質：1、形狀大小不變：2、對應

點的連線平行（或在同一直線上）且相等；3、對應線段平行（或在同一直線上）且相等,

對應角相等.

22.8.

【詳解】Q”有6個正約數

故〃的標準質因數分解式為〃=尸或/（p、q為素數，5國）=1）

若n=P，,由〃450知2，

若頤=p-q?,則〃=2-32,2-52

3-22,5-22,5-32,7.22,H-22

.丁好數''共有8個.

23.2

【詳解】依題意得N8A￡>=N44M=NM4C,ZADB=ZADC=90。，故NABCV/4cB.

(1)若NA8ONAC8時，如答案圖1所示，/\ADM=^ADB,；.BD=DM=gcM,

又AM平分ND4C,...四二也;!，在RfV/MC中，即cosND4C=」，

ACCM22

答案第8頁，共27頁

Z￡MC=60°,從而/a4。=90°,ZACD=30°.

在RtA￡>C中，C￡>=A￡)tanN￡>AC=VLtan60°=3,DM=\.

在Rt/\ADM中，AM=ylAD2+DM2=2.

(2)若？ABC?AC8時，如答案圖2所示.同理可得AM=2.綜上所述，AM=2.

(第1題答案圖1)(第1題答案圖2)

24.17

【分析】根據題意，求得的最小值，可將等式變形得到4a=b-c,則b-c,是合數，且為4

的倍數，以此為突破，求得a,b,c,d

【詳解】2a+b=d①，勃-c=2J②

①x2-②得：4a-b+c=0,

即4a=b—c,

求d的最小值，則“力盡量小

當a=2時，h-c=S,

根據20以內的素數可知，b=H,c=3,或者6=13,c=5

此時〃=%+6=4+11=15,此時d為合數，故不符合題意，

當匕=13,c=5時，

此時4=24+0=4+13=17,

經檢驗，皆為素數，滿足題意，

故答案為：17.

【點睛】本題考查了素數的定義，二元一次方程組的加減消元法，掌握20以內的素數是解

題的關鍵.

25.311410

【詳解】如圖，按題目中條件順序依次可列方程：

(1)A=C+F；(2)C+E+F=4；(3)8=5；(4)A=2C；(5)A+B+C=8：(6)

答案第9頁，共27頁

A+G+F=7；(7)D=A+\.

可求出A=2,8=5,C=1,D=3,E=2,F=1,G=4.

于是，題目中各空白區應填入的數依次是①3,②1,③1,④4,⑤10.

帽子

26.—14或-7或—2或5

【詳解】設卜/+9〃+30=〃（。為非負整數）,

貝IJ/+9十+30=p2n4n2+36〃+120=4〃2n(2n+9)2+39=4/?2

=>39=(2/?+2n+9)(2p-2n-9),

j2p+2〃+9=lJp=10

[2p-2n-9=39=>[n=-{4

2p+2〃+9=39Jp=10

2p-2n—9=1[〃=5

2p+2/?+9=3J〃=4

2/7-2n-9=13=>[/i=-7

2〃+2〃+9=13Jp=4

2p-2n-9=3[n=-2

：.〃=-14或-7或-2或5

27.1

【詳解】解VX=-yJ-^=V2+l

而2<血+1<3,

a=x—2=叵—1?

又.—X=—A/2—1，而—3<—>/2—1<—2，

a3+Z?+3ab=(a+b)(a2-ab+b)+3ab

=a2-ah+h2+3ab=(a+h)2=1.

28.220

答案第10頁，共27頁

【詳解】填220.理由：因l<a,b,c<6,ax82+Z?x8+c=cx72+/>x7+a,即

63a+b-48c=Q,即。=3(16c-21a),所以，b=0,3,6.

經檢驗，6=3符合題意.故。=3,c=4,a=3.(^3x82+3x8+4=220.

29.5

X|

【詳解】理由：因為

“，14cXc18

所以一=3一143_工=￡,

y333

14x321

則nI建丁優

即”6.

原方程可化為"+42=9y,

則42=(9-x)y.

所以42能被y整除.

所以y可取6,7,14,21,42.相應地得到五組解:

玉=2,J毛=3,]七=6,jx4=7,Jx5=8,

Ji=6,1%=7,卜=14,[乂=21,[%=42.

1000

30.

200?

-k11i

【詳解】解原函數關系化為"有x+時.令得產萬p令…得即直

線尸言、+￡與，軸、》軸的交點分別為4(0,占卜紇1,4所以

1

SA=S的為=_xxOB,2000),于是

k-2k(k+1)

]

Sj+S+

2200?

U]__11000

―2001廠2001

1000

故填

2001

注：本題中用到第一章§3?3中介紹的裂項抵消求和方法.

31.y/]3

【分析】連接。P,EF,過點尸作FNLAC,FM±AB,結合直角三角形斜邊中線等于斜

邊的一半求得點A、D、F、￡四點共圓，ZDFE=90°,然后根據勾股定理及正方形的判定

和性質求得AE的長度，從而求解.

答案第11頁，共27頁

【詳解】解：如圖，連接。F,EF,過點F作FN_LAC,FM±AB.

?在一ABC中，NB4C=90。，點G是OE中點，

，AG=DG=EG.

'：AG=FG,

；.A、D、F、E四點共圓，G點為圓心，OE為直徑，

?.Z￡>F￡=90°.

?.,在RtABC中，AB^AC=5,

BC=>/2AB=5-^2.

又,：點尸是BC中點,

：.CF=BF=-BC=^,FN=FM=-AB=-.

2222

二四邊形AMFN是正方形，

，AN=AM=FN=FM=-.

2

ZNFD+NDFM=90°,AMFE+NDFM=90°,

ZNFD=ZMFE.

'NDNF=NEMF=90。

...在ZWT)和..MFE中，NF=MF,

ZNFD=ZMFE

：.NFDmMFE(ASA),

：.ME=DN=AN-AD=--2=-,

22

：.AE=AM+MD=-+-=3,

22

.?.在中，DE=y/AD1+AE2=42^=413-

C

故答案為：V13.

【點睛】本題考查直角三角形的性質，圓周角定理，四點共圓，正方形的判定和性質，全

答案第12頁，共27頁

等三角形的判定和性質以及勾股定理，綜合性強，較難.正確的作出輔助線是解答本題的

關鍵.

32.1998

ABC

【詳解】用0表示偶數，1表示奇數，則按如下方法排列時：100100100111,僅有一

500個100501個I

個數為偶數：A+B+C,故所求和數個數的最大值不小于1999-1=1998.其次，我們證明

對任意排列，都至少有一個和為偶數，分4種情形.

情形①：第一項為奇數，第二項為偶數.為了使和不出現偶數，第3項只能是奇數，接下

去只能是1001000…這樣出現了500個100后，所有1000個偶數全都排出，余下只有501

個奇數，這時只能是上述排列，其中有一個和：A+B+C為偶數.

情形②：第一項是奇數，第2項也是奇數.為了使和不出現偶數，以后各項只能都是奇

數，排完1001個奇數后，剩下1000個偶數，再排下去必出現偶數：奇+奇+偶=偶.

情形③和④：第一項是偶數，第二項是奇數或偶數，同樣必會出現和為偶數的情形.

綜上可知，所求和數個數的最大值是1998.

33.99x21°°+l

【詳解】解：設5=1+2x2+3x22+4x2'++100x2",則

2s=2+2x22+3x2、+99x2"+100x2l(x,,

于是，由公式⑥得

S=2S-S=-(l+2+22++2")+100x2"x,

91001

=-^—^-+100x2l0<)

2+1

=99x2l00+l.

故答案為：=99x2l00+l.

34.(2x/6,0)

【詳解】解如圖所示，分別過4C作x軸垂線，垂足分別為E、F.設OE=a,BF=b,

則AE=W,CF=e，所以A、C的坐標分別是A(a,ba),C(2“+"感)，代入刀=3行

得

6a。—3百，/a—上,

<角軍彳導<

■J3(2a+h)b=3-\/3,b=y/b—A/3.

因此，。(2.+240)的坐標為(26,0).

答案第13頁，共27頁

35.36

【詳解】解因為對正整數小4〃-1整除2002〃，

所以警I是整數.

4n-l

2002〃25+250）

而-----=---------+500,

4〃一14九一1

又因為4〃-1是奇數，所以空型是整數.

4〃一1

則4（：+2：0）=]+罌]可知1001能被4〃-1整除.

477-14/7-1

因為鹿＞30,1001=7x11x13,所以可得4〃-1只能是143.所以〃=36.

故應填36.

36.（岳1,-1）##（1+73,-1）

【分析】由'=6+相交X軸、y軸于點A、B,得到點8的坐標是（0,6），OB=

6，點A的坐標是（-1，0）,。4=1,NABO=30。，ZOAB=60°,分別求得直線BF的

解析式為5=-犬+石，直線AF的解析式為y=（g-2）x+G-2,聯立解方程組即可得到

點尸在該平面直角坐標系內的坐標.

【詳解】解：???直線48：了=后+6交x軸、y軸于點A、B

當x=0時，y=6,

?,?點3的坐標是（0,石），OB=73

當y=0時，0=Gx+6，解得x=-l,

???點A的坐標是（-1,0）,04=1

?/人冷八AOy/3

??tan/ABO=---=——

BO3

???NA8O=30。，ZOAB=90°~ZABO=60°

答案第14頁，共27頁

如圖所示，由題意得NEA8=NABO,/ABE=NBAD,

：./XABE^ABAD

：.ZAEB=ZADB

???A、E、D、8四點共圓，如圖所示，

AZADE=ZABE=300fNEAD=/EBD

：.ZFAB=ZFBA

*：/\ADE^/^AFD

：.ZF=ZADE=30°fZFAB=ZFBA=75°

：.ZFAO=ZFAB-ZBAO=]5°,ZFBE=ZFAB-NA8O=45。，

JZOGB=900-ZFBE=45°

???/OGB=/OBG

：.OG=OB=43

；?點G的坐標是（6，0）,

設直線3尸的解析式為丁=履+從代入G（V3,0）,B（0,石）得

&+8=0

<

b=下>

解得[k=做—\

直線BF的解析式為y=-x+⑺，

答案第15頁，共27頁

在線段AO上取點H,使得AH=EH,則NHAE=/HE4=15。,

二ZOHE=ZHAE+ZHEA=30°

設OE=t,

OFr-

則O”=------=V3r,HE=2OE=2f=AH

tan30°

，OA=AH+OH=2t+y/3t=]

1=2-6

2+g

???點E的坐標為（0,6-2）

設直線AF的解析式為y="c+歷，代入A（-1,0）,E（0,6一2）得

_匕+4=0

4=6-2

k,=5/3-2

解得＜

4=癢2

直線AF的解析式為y=（石-2）x+石-2,

聯立直線8F和AF的解析式得

y=-x+G

y=(y/3-2)x+y/3-2

X=6+1

解得11

...點F在該平面直角坐標系內的坐標（石+1,-1）

故答案為：（G+1,-1）

【點睛】本題考查了一次函數的圖像和性質、解直角三角形、相似三角形的判定與性質、

解二元一次方程組、四點共圓等知識，綜合性非常強，難度較大，利用待定系數法求解析

式是關鍵.

37.2.5+73

【分析】連接B。，過2作B/7_LAC于，點，根據△BCO是直角三角形，可證明

ZBAC=ZBDC,則有4、B、C、O四點共圓，進而有BO是該圓的直徑，可得

答案第16頁，共27頁

/84。=90。，利用勾股定理可得BO=回，則有CD=1BO=X型,BC=^CD=—,

222

根據8HLAC,可得AABH、△BCH是直角三角形,則有NABH=30。，即A"=1A8=2,

22

利用勾股定理可得8”=乎，再在△BCH是直角三角形，可得CH=y/BC2-BH2=6,

問題即可得解.

【詳解】連接B。，過B作AC于"點，如圖，

...△BCQ是直角三角形，