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文檔簡介

3.3幾類特殊函數的求導方法一、冪指函數的求導方法

形如（）的函數，稱為冪指函數．由于它既不是冪函數也不是指數函數，所以沒有直接可用的導數公式．解決的方法是首先轉化函數的表達形式，然后再利用復合函數的求導法則．

方法1利用，將冪指函數（）寫成指數函數的形式，由復合函數的求導法則有

＝

＝

方法2采用“對數求導法”．對冪指函數兩端取對數，得，等式兩邊對求導（注意是的函數）得于是

以上兩種方法，一個是轉化為指數函數的形式，一個是取對數，只需要理解并掌握其方法就可以了，不需要去硬記公式．

典型例題

例

3.3.1設，求．

解由得．

例

3.3.2設

，求．

解由得

．

例

3.3.3設，求．

解采用“對數求導法”．先取對數得，再兩邊對求導得，即．“對數求導法”除了可用于冪指函數，當函數由一些乘、除運算因子和乘方、開方運算因子構成時，也可以考慮采用．

例

3.3.4設，求．

解采用“對數求導法”．，兩邊對求導得，所以.可見，由于函數取對數后可將原表達式中的乘、除運算化為加、減運算，冪、指運算化為乘法運算，從而運算量大大降低，因此“對數求導法”是一個很有用的方法．二、隱函數的求導方法

變量和之間的函數關系如果由方程所確定，則稱函數為隱函數，如果由方程表示，則稱函數為顯函數．

例如，，均為顯函數．，，均為隱函數．有的隱函數可以顯化，即轉化為顯函數，例如，可以寫為．但有些隱函數無法顯化或不方便顯化，如：．

所謂隱函數求導法是指：不考慮顯化，而是直接從方程出發求出導數（或）．

典型例題

例

3.3.

5設是由方程確定的隱函數，求．

解兩邊對求導，注意到是的函數，有，即，解出得．

例

3.3.

6設是由方程確定的隱函數，求．

解兩邊對求導，注意到是的函數，有，又由原方程得，時，對應的，代入上式得．

例

3.3.

7求曲線在所對應的點處的切線方程．

解曲線上點處的切線方程為，求出切點坐標和斜率代入即可．

將代入方程，得，所以，切點為．

由導數的幾何意義知所求的切線斜率為.在方程兩邊對求導，有，將和代入得，即．所以切線方程為．三、參數式函數的求導方法

在中學的學習中我們知道，圓的方程可以表示為

.這就是圓的參數方程．為參數，也稱為參變量．

設函數由參數方程所確定，稱為參數式函數．

由于兩個變量和通過形成函數關系，所以我們可以視它們形成復合函數，層次結構為，是中間變量．于是，由復合函數求導法則可得：．這是因變量與自變量分別對參數求導后的導數之商．

典型例題

例

3.3.8設，求．

解．

例

3.3.8求橢圓在處的切線方程．

解對應的點為．

，

，

所求切線為，即．小結：(1)冪指函數的求導方法

將冪指函數（）寫成指數函數的形式，或等式兩端取對數得，然后再由復合函數的求導法則求導．

(2)隱函數的

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