重慶市部分區2022～2023學年度第一學期期末聯考高二數學試題卷注意事項：1．考試時間：120分鐘，滿分：150分．試題卷總頁數：4頁．2．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷、草稿紙上答題無效．3．需要填涂的地方，一律用2B鉛筆涂滿涂黑．需要書寫的地方一律用0.5mm簽字筆．4．答題前，務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡規定的位置上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在平面直角坐標系xOy中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，根據斜率與傾斜角的關系可得答案.【詳解】設直線的傾斜角為，直線的方程可化為，所以斜率為，因為，所以.故選：B.2.直線l：與圓C：的位置關系是（）A.相交 B.相切 C.相離 D.都有可能【答案】A【解析】【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小可得答案.【詳解】圓C的圓心坐標為，半徑為2，直線l的方程為，圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C的位置關系是相交.故選：A3.若拋物線的準線經過橢圓的右焦點，則m的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】找到橢圓的右焦點，利用的準線過焦點，即可求解.【詳解】解：橢圓的右焦點，拋物線的準線經過橢圓的右焦點，可得，解得．故選：A．4.如圖，在四面體中，是的中點．設，，，用，，表示，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算直接得解.【詳解】由是的中點，可知，所以，故選：D.5.設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】運用兩直線平行的充要條件得出與平行時的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可．【詳解】當時，，兩條直線的斜率都是，截距不相等，得到兩條直線平行.當與平行時可得：，解得或.若時，由上可得與平行當時，，,此時兩直線重合.所以當與平行時，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選：C6.南宋數學家楊輝所著《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”．其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個…，則第三十六層球的個數為（）A.561 B.595 C.630 D.666【答案】D【解析】【分析】通過前幾層小球的個數，可以發現規律得出結果.【詳解】由題意，第一層個球，第二層個，第三層個，第四層個，據此規律，第三十六層有小球個.故選：D7.與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A.橢圓上 B.雙曲線的一支上 C.拋物線上 D.圓上【答案】B【解析】【分析】根據兩圓方程得出兩圓的圓心坐標和半徑，判斷出兩圓的位置關系，再利用與兩圓都外切的位置關系得出圓心距離所滿足的等量關系，結合圓錐曲線的定義即可得出答案.【詳解】設所求圓的半徑為，圓心為，圓：的圓心，半徑，圓化為標準方程得，則圓心，半徑，因為，所以兩圓相離，由題意可得，兩式相減得，所以圓心在雙曲線的一支上.故選：B.8.已知，是雙曲線：的左、右焦點，橢圓與雙曲線的焦點相同，與在第一象限的交點為P，若的中點在雙曲線的漸近線上，且，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的定義表示出，利用中位線定理找到,的關系，再結合，借助勾股定理進行運算即可.【詳解】根據題意:設，設橢圓長半軸長為，短半軸長為，雙曲線實半軸長為，虛半軸長為，則由橢圓及雙曲線定義可得：，又因為，且分別為，的中點，所以,所以到漸近線的距離為，所以，，結合，可得：①因為，所以即，整理得：，將①代入，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知空間向量，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據空間向量坐標運算法則計算可得.【詳解】因為，，所以，故A正確；，故B錯誤；，所以與不垂直，故C錯誤；又，所以，故D正確；故選：AD10.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于M，N兩點，則下列結論正確的是（）A.拋物線的焦點坐標是B.焦點到準線的距離是4C.若點P的坐標為，則的最小值為5D.若Q為線段MN中點，則Q的坐標可以是【答案】BD【解析】【分析】根據拋物線方程即可判斷AB；過點作垂直于準線，垂足為，根據拋物線得定義結合圖象即可判斷C；假設Q的坐標是，利用點差法求出直線的方程，再判斷焦點是否在直線上，即可判斷D.【詳解】由題意，焦點到準線的距離是，故A錯誤，B正確；對于C，過點作垂直于準線，垂足為，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，假設Q的坐標是，設，則，由直線l交拋物線于M，N兩點，得，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即，將代入得，所以直線過點，符合題意，所以Q的坐標可以是，故D正確.故選：BD.11.已知首項為1的數列的前n項和為，且，則下列結論正確的是（）A.數列為等比數列B.數列不是等比數列C.D.中任意三項不能構成等差數列【答案】ABD【解析】【分析】由已知得出是以2為公比的等比數列，表示出和，再分別判斷各選項即可．【詳解】由得，，所以是以2為公比的等比數列，首項為，故A正確；所以，即，當時，，所以，故B正確；對于C，當時，，，顯然，故C錯誤；對于D，取，且，假設存在能構成等差數列，則，則有，即，所以，因為，所以，與矛盾；假設存在能構成等差數列，則，即，則，即，顯然當時無解，所以中任意三項不能構成等差數列，故D正確；故選：ABD．12.過點作兩條相互垂直的射線與圓O：分別交于，兩點，則弦長可能的取值是（）A. B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】作出圖像，取中點為，連接，，，則，在中，由和得，設，可得點的軌跡為圓，由點的軌跡方程，即可求得的范圍，進而得出的范圍．【詳解】由圓方程得，圓心為，半徑為，因為，所以點在圓內部，過點作兩條相互垂直的射線，與圓O分別交于，兩點，連接，取中點為，連接，，，則，，如圖所示，在中，，由得，，設點，則，，所以，即，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設圓心為,因為，所以點在內部，①當最大時，；②當最小時，；所以，則，所以的取值可以為，故選：D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.寫出一個離心率為且焦點在x軸上的雙曲線的標準方程______．【答案】（答案不唯一）；【解析】【分析】由雙曲線的離心率可得，即可得出答案.【詳解】由，所以，即，又因為，所以，則，取，所以離心率為且焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為：（答案不唯一）；故答案為：（答案不唯一）.14.已知等差數列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為______．【答案】【解析】【分析】根據等差中項的性質可得，再結合等差數列的單調性可得解.【詳解】由已知數列為等差數列，則，又，所以，則，所以數列為遞減數列，則當時，，當時，，所以當時，取得最大值，故答案為：.15.已知直線l：經過橢圓C：的左焦點，且與橢圓C相交于M，N兩點，為橢圓的右焦點，的周長為16，則此橢圓的短軸長為______．【答案】【解析】【分析】確定，根據周長確定，得到答案.【詳解】直線l：經過橢圓的左焦點，則，，的周長為，解得，故，橢圓的短軸長為.故答案為：.16.在中，，，，為邊上的動點，沿將折起形成直二面角，當最短時，______，此時三棱錐的體積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】首先作出圖形，在平面內作于，連接，則平面，，表示出，即可得出當最短時的值，結合平面圖形，即可求得和三棱錐的體積．【詳解】如圖，在平面內作于，連接，因為為直二面角，所以平面，又平面，所以，所以，設，則，，在中，由余弦定理得，，即，所以，所以當時，取得最小值，則，當時，原平面圖形如圖所示，過點作于點，則為等腰直角三角形，即，設，由得，，即，解得，所以；所以，則，則故答案：；．四、解答題：本題共有6個小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在正方體中，．（1）求證：；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標系，求得兩直線的方向向量坐標，通過計算數量積為，從而可證；（2）求得和平面的法向量，利用點面距離的向量公式即可求解.【小問1詳解】證明：以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標系．∵，，，，∴，，∴，∴；小問2詳解】∵，，∴，設面的法向量為，∵，，∵，，∴，令，則，，∴，設到面的距離為d，∴.18.已知是等差數列，是公比大于0的等比數列，的前n項和為，且，，，．（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由是公比大于0的等比數列及，求出公比，由等差數列下標和定理結合求出，根據等比數列前項和公式及，求出公差即可得出通項公式；（2）利用分組求和，結合等差等比前項和公式計算即可．【小問1詳解】設的公差為d，的公比為．∵，，∴，解得或，∵，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，故，．【小問2詳解】由（1）得，∴．19.已知圓經過點，，三點．（1）求圓的方程；（2）一條光線從點射出，經x軸反射后與圓相切，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設圓的方程為，代入的坐標即可求解；（2）先作點關于x軸的對稱點，由點與圓的位置關系得出過有兩條直線與圓相切，分兩種情況討論即可求解．【小問1詳解】設圓的方程為，因為點在圓上，所以，解得，所以圓的方程為．【小問2詳解】圓的方程可化為，因為關于x軸的對稱點為，設切線為直線，因為，所以點在圓外，則過有兩條直線與圓相切；①當切線斜率存在時，則設直線：，即，則圓心到的距離，解得，所以直線：；②當切線斜率不存在時，直線：，綜上可得反射光線所在直線或．20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E點在AD上，且．（1）求證：平面平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成的角為45°，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由題意可得以A為坐標原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖所示的坐標系，分別求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】證明：∵平面，平面，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】∵，且，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，取BC中點G，連接AG，∴，即，由（1）可得，以A為坐標原點，AG為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立如圖所示的坐標系由（1）可得，平面，∴為直線PC與平面所成角，即設平面的法向量為∵，∵，，∴，令，則，，∴∵x軸⊥平面，∴平面的法向量，設為二面角的平面角，且為銳角，∴.21.已知數列滿足，，______，．從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題．（注：如果兩個條件分別作答，按第一個解答計分）．（1）寫出，；（2）證明為等比數列，并求數列的通項公式；（3）求數列的前2n項和．【答案】（1），（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）由數列的前幾項，結合所選的條件寫出，；（2）結合所選的條件和數列的遞推，定義法證明為等比數列，利用首項和公比求數列的通項公式；（3）結合所選的條件和數列的通項公式，求出數列的通項公式，使用并項求和法求前2n項和．【小問1詳解】數列滿足，，，，，，選擇①，，；選擇②，，.【小問2詳解】選擇①，證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數列，首項，公比，∴.選擇②證明：∵，，∴，∴，∵，∴是等比數列，首項，公比，∴.【小問3詳解】選擇①，由（2）可得，∴∴，∴令∴選擇②，由（2）可得，由累加法可得，，∴，∴，∴，令，∴.22.已知橢圓：經過點