2023年全國1卷21題探究——馬爾代夫鏈的介紹原題呈現（2023年新高考1卷）21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求．

試題分析這道題出現在2023年高考1卷的21題，以往此題都是導數或是圓錐曲線，但今年試卷的布局發生很大改變，導數放在了19題，21題則安排了概率問題，可見在2023年高考1卷中對于概率問題的重點考察.這道題的第一問都是常規題型，在大多數的模擬題中第一問都是差不多的難度，這道題的難道就是在于第二問，第二問又和第三問連在了一起，要是第二問解不出來，對于第三問就基本解決不了了.而第二問的難度在于存在n，這個n給考場上的考生一大考驗，第一問的都是最多到第二次，但第二問直接提升到了n次的情況，這就讓考生摸不著頭腦了，那這道題如果真的在考場它的思路是什么呢？其實第二問是把概率問題和數列問題綜合起來，考察了同學們利用數列解決概率問題的能力，即構造數列，這對于從未接觸過此類題型的考生來說，在高考如此緊張的關節是很難能解決出來的，其實第二問考察了馬爾代夫鏈，因此借此題對馬爾代夫鏈進行深剖，以便同學們在下次再遇見此類問題能夠迎刃而解.馬爾代夫鏈在模擬題的呈現

012P

馬爾代夫鏈的介紹1、定義：馬爾可夫鏈是由俄國數學家安德雷·馬爾可夫提出的,是概率論和數理統計中的一個重要模型,與自然科學、技術科學、管理科學、經濟科學以至人文科學有廣泛應用.數學定義為:考慮一個隨機變量的序列

X={X0

,

X1

,·

·

·

,

Xt

,·

·

·},

這里

Xt表示時刻t的隨機變量,t=0,1,2,···.每個隨機變量Xt

(t=0,1,2,···)的取值集合相同,稱為狀態空間S.隨機變量可以離散的,也可以是連續的.以上隨機變量的序列構成隨機過程.假設在時刻0的隨機變量

X0遵循概率分布P(X0

)=

π0

,

稱

為初

始狀

態

分

布.在某個

時

刻

t

>

1隨

機

變

量Xt與

前

一

個

時

刻

的

隨

機

變

量Xt?1之

間

有

條

件

分

布P(

Xt

|Xt?1),

如果Xt只依賴于Xt?1,而不依賴于過去的隨機變量

{X0,

X1,···

,

Xt?2},這一性質稱為馬爾可夫性,即

P(

Xt

|X0

,

X1

,·

·

·

,

Xt?1)=P(

Xt|

Xt?1),t=1,

2,·

·

·

.具有馬爾可夫性的隨機序列X={X0,

X1,···

,

Xt

,·

·

·}

稱為馬爾可夫鏈

(Markov

chain)或馬爾可夫過程.條件概率P(Xt

|Xt?1)稱為馬爾可夫鏈的轉移概率分布.轉移概率分布決定了馬爾可夫鏈的特性.其他模擬題賞析題目1(福建省漳州市2023屆高三畢業班第四次教學質量檢測20)某科研單位研制出某型號科考飛艇,一艘該型號飛艇最多只能執行n次

(n

∈

N*

,n>2)科考任務,一艘該型號飛艇第1次執行科考任務,能成功返航的概率為p(0<p<1,n>2),若第k次

(k

=

1,2,···

,

n?1)執行科考任務能成功返航,則執行第k+1次科考任務且能成功返航的概率也是

p,否則此飛艇結束科考任務.一艘該型號飛艇每次執行科考任務,若能成功返航,則可獲得價值為

X萬元的科考數據,且“X=0”的概率為

0.8,“X=200”的概率為0.2;若不能成功返航,則此次科考任務不能獲得任何科考數據.記一艘該型號飛艇可獲得的科考數據的總價值為

Y萬元.(1)若

p=0.5,n=2,求

Y的分布列;(2)求

E(Y

)(用

n和

p表示).

題目

2

(2023年杭州高三二模質檢

21)馬爾可夫鏈是概率統計中的一個重要模型,也是機器學習和人工智能的基石,在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用.其數學定義為:

假設我們的序列狀態是…

,Xt?2,Xt?1,Xt

,Xt+1,…

,那

么Xt+1時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態

Xt

,即P(

Xt+1|·

·

·,

Xt?2,

Xt?1,

Xt

)=

P(

Xt+1|Xt

).

現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈,例如著名的賭徒模型：假如一名賭徒進入幾場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1元;每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1元.賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0元,即賭徒輸光;一種是賭金達到預期的

B元,賭徒停止賭博.記賭徒的本金為

A(A∈N*

,

A<

B),賭博過程如下圖的數軸所示:當賭徒手中有

n元

(0

<n

<

B,

n∈N)

時,最終輸光概率為

P(n),請回答下列問題:(1)請直接寫出

P(0)與

P

(B)的數值;(