求數列前n項和.TOC\o"14"\h\u求數列前n項和 1一、分類題型 1題型一等差等比公式法 1題型二裂項相消求和法 2題型三錯位相減求和法 3題型四分組轉化求和法 4二、分層訓練：課堂知識鞏固 6一、分類題型題型一等差等比公式法一．公式法1.等差數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).2.等比數列{an}的前n項和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))1．若數列為首項為1，公比為3的等比數列，則.2．已知首項為，公比為的等比數列，設等比數列的前項和為，則.3．已知數列中，.(1)求證：數列是等比數列；并求出數列的通項公式(2)設數列的前項和為，求滿足的的最小值.4．已知首項為4的數列的前n項和為，且．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前n項和．5．已知為等比數列，其前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．6．已知數列滿足，其前5項和為45；數列是等比數列，且，，，成等差數列.(1)求數列，的通項公式；(2)求數列的前和.7．已知數列的首項，是與的等差中項．(1)求證：數列是等比數列；(2)證明：．8．已知數列是等差數列，其前n項和為，，.(1)求的通項公式；(2)求，并求出的最小值.(3)，求數列{}的前n項和.9．已知等差數列的公差為2，且成等比數列．(1)求數列的前項和；(2)若數列的首項，求數列的通項公式．10．在各項均為正數的等比數列中，為其前項和，且，．(1)求和；(2)設，記，求．11．已知為等差數列的前項和，若，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.12．已知數列的首項，且滿足．(1)求證：數列為等比數列；(2)設，求數列的前項和．13．已知首項為1的正項等比數列，且，，成等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和為．14．已知等差數列，前項和為，又．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．15．在數列中，，則；的前項和．題型二裂項相消求和法二．裂項相消求和1.通項特征：通項一般是分式，分母為偶數個因式相乘，且滿足a是常數，1．數列中，，，則（

）A．77 B．78 C．79 D．802．已知等差數列中，，且成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)，求數列的前項和．3．已知是數列的前項和，且滿足，(1)記，求證：數列為等比數列；(2)設，求數列的前項和4．已知數列的前項和為，且與的等差中項為.(1)求數列的通項公式.(2)設，求數列的前項和.5．已知數列的前項和為，且滿足，，當時，是4的常數列.(1)求的通項公式；(2)當時，設數列的前項和為，證明：.6．已知數列滿足，．(1)設，證明：是等差數列；(2)設數列的前項和為，求．7．在數列中，為數列的前項和，且滿足.(1)求數列的通項公式；(2)若.求數列的前項和.8．設數列前n項和為，，.(1)求，及的通項公式；(2)若，證明：.9．設數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列的前項和為，求證：．10．已知數列滿足.(1)求數列的通項公式(2)若，數列的前n項和為，證明：.11．已知首項為1的數列，其前項利為，且數列是公差為1的等差數列．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．12．已知數列為非零數列，且滿足.(1)求及數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，且滿足，證明：.13．已知正項數列滿足.(1)求的通項公式；(2)記，數列的前項和為，求.14．已知數列的前項的和為，數列是公差為1的等差數列．(1)證明：數列是公差為2的等差數列；(2)設數列的前項的和為，若，證明．15．在數列中，且.(1)求的通項公式；(2)設，若的前項和為，證明：.16．已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．17．對數列，記為數列的前n項交替和；(1)若，求的前n項交替和；(2)若數列的前n項交替和為，求的前n項和．18．已知正項數列的前項和，滿足：．(1)求數列的通項公式；(2)記，設數列的前項和為，求證．題型三錯位相減求和法三、錯位相減法通項特征：一次函數*指數型函數解題思路1．數列的前項和為，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．2．已知數列滿足，.(1)證明：數列是等比數列；(2)若，求數列的前項和.3．已知等差數列的前項和為，，，數列的前項和為，且.(1)求數列和的通項公式；(2)令，證明：數列的前項和.4．記數列的前n項和為，對任意正整數n，有，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求證：.5．已知數列的前n項和為，且，數列為等差數列，，．(1)當時，求n的最小值；(2)求數列的前n項和．6．已知數列的前n項和為，且，數列為等差數列，，.(1)求，的通項公式；(2)求數列的前n項和.7．在數列中，，是的前n項和，且數列是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．8．已知數列的前項和是，且.(1)證明：是等比數列.(2)求數列的前項和.9．在等差數列中，，且，，成等比數列，數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．10．已知等差數列的前項和為，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，求的前項和．11．已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．12．已知數列的各項均為正數，其前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和．13．已知數列的前n項和為，，.(1)求數列的前n項和；(2)令，求數列的前n項和.14．已知數列的前項和為.(1)求的通項公式；(2)記，求數列的前項和.15．已知數列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設，若對任意都有成立，求實數的取值范圍．16．已知數列為等差數列，其前項和為，數列為等比數列，其公比大于0，且.(1)求和的通項公式；(2)記，求數列的前項和.17．已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，且滿足，．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，求的前n項和．18．已知數列為等差數列，，公差，數列為等比數列，且，，．(1)求數列、的通項公式；(2)設，數列的前n項和為，求滿足的n的最小值．19．已知數列的前項的和為，且，.(1)證明數列是等比數列，并求的通項公式；(2)求數列前項的和.20．已知數列是等比數列，公比，前項和為，若，.(1)求的通項公式；(2)若，試求數列的前項和.21．已知正項等比數列的前項和為，且成等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.22．已知數列的首項，前項和滿足.(1)求通項公式；(2)設，求數列的前項為.23．設數列的前n項和為，若．(1)求證：是等比數列，并求數列的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．24．已知數列滿足：，，設．(1)求證：是等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)求數列的前項和．25．已知等差數列滿足，，公比不為的等比數列滿足，.(1)求與的通項公式；(2)設，求的前項和.26．設數列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設數列滿足，求數列的前項利．題型四分組轉化求和法四、分組轉化求和1.通項特征：或1．在公差大于0的等差數列中，，且，，成等比數列，則數列的前21項和為（

）A．12 B．21 C．11 D．312．已知數列中，，若對任意，則數列的前項和．3．已知數列滿足，則數列的前項和為.4．已知等差數列和的前項和分別為，，且，，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和．5．已知等比數列的各項均為正數，且，．(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和．6．已知數列滿足，且．(1)證明：數列為等比數列，并求出數列的通項公式；(2)若數列，求數列的前項和．7．已知等比數列的各項均為正數，前n項和為，若，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．8．已知等差數列的前n項和為，且滿足(1)求數列的通項公式;(2)若數列滿足求數列的前n項和.9．已知等差數列的前項和為，且滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和．10．設是等差數列，是等比數列公比大于，已知(1)求數列和數列的通項公式；(2)設數列滿足.求.11．已知數列是等比數列，滿足，，數列滿足，，設，且是等差數列.(1)求數列和的通項公式；(2)求的通項公式和前項和.12．已知是等差數列，是公比大于0的等比數列，的前n項和為，且，，，．(1)求和的通項公式；(2)求數列的前n項和．13．已知遞增的等比數列滿足，且，，成等差數列.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前20項和.14．已知是等比數列，滿足，且成等差數列，數列滿足．(1)求和的通項公式；(2)設，求數列的前項和．15．設是公比為正數的等比數列，(1)求的通項公式；(2)設是首項為1，公差為2的等差數列，求數列的前項和16．已知數列是公差為正的等差數列，其前項和為；各項都為正數的等比數列滿足，．(1)求數列，的通項公式；(2)記，求數列的前項和．17．已知各項遞增的等比數列，其前n項和為，滿足，.(1)求的通項公式；(2)記數列的通項公式為，將數列與中的項按從小到大依次排列構成一個新數列，求數列的前50項和.18．已知數列滿足，且對任意正整數m，n都有(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前n項和.19．已知遞增的等差數列和等比數列滿足.(1)求和的通項公式；(2)若，求的前項和.20．已知是等差數列的前項和，且，.(1)求數列的通項公式與前項和；(2)若且數列的前項和為，求.21．等差數列滿足：首項為2，公差為是的前項和.(1)求數列的通項公式.(2)求數列的前項和.二、分層訓練：課堂知識鞏固一．數列的求和（共44小題）1．（2023秋?寧德期中）已知遞增的等比數列滿足，且，，成等差數列．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前20項和．2．（2023?泉州模擬）設公差不為0的等差數列的前項和為，，．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，，求數列的前項和．3．（2023秋?華安縣校級月考）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和．4．（2023秋?蕉城區校級月考）已知等差數列前三項的和為，前三項的積為8．（1）求等差數列的通項公式；（2）若，，成等比數列，求數列的前10項和．5．（2023?蕉城區校級一模）已知數列滿足，，是公差為1的等差數列．（1）證明：是等比數列；（2）求的前項和．6．（2023?蕉城區校級二模）已知為等差數列的前項和，，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前15項和．7．（2023春?永春縣校級月考）已知數列的前項和，，，．（1）計算的值，求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．8．（2023春?思明區校級期中）已知等比數列的前項和為，，且，，成等差數列．（1）求的通項公式；（2）若數列滿足，求的前項和．9．（2022秋?泉州期末）設等差數列的前項和為，已知，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．10．（2023秋?閩侯縣校級月考）已知數列，．滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設為數列的前項和，若不等式對任意正整數恒成立，求實數的取值范圍．11．（2022秋?薌城區校級期中）設等比數列的前項和為，且，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求．12．（2022秋?華安縣校級月考）正項數列的前項和滿足：．（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．13．（2022秋?倉山區校級月考）在數列中，，，．（1）求證：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．14．（2022春?鼓樓區校級期中）已知等差數列中，．（1）求；（2）設，求的前項和．15．（2021秋?福州期末）已知等比數列的首項，公比，在中每相鄰兩項之間都插入3個正數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等比數列．（1）求數列的通項公式；（2）記數列前項的乘積為，試問：是否有最大值？如果是，請求出此時以及最大值；若不是，請說明理由．16．（2022秋?南安市期中）已知等差數列的前項和為，其中，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．17．（2022春?思明區校級月考）數列的前項和為，數列的前項積為，且，！．（1）求和的通項公式；（2）若，求的前項和．18．（2022秋?薌城區校級月考）已知數列為等差數列，且，．（1）求數列的通項公式及前項和；（2）求數列的前項和．19．（2022秋?連城縣校級月考）已知各項均為正數且遞減的等比數列滿足：成等差數列，前5項和．（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為．若對任意的，恒有成立，求的取值范圍．20．（2021?蕉城區校級開學）已知等比數列的前項和為，若，．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．21．（2023秋?永定區校級月考）數列中，，．（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明．22．（2023?思明區校級模擬）已知數列滿足，．（1）證明：為等差數列；（2）設，求數列的前項和．23．（2023?蕉城區校級開學）已知函數，其中，且．（1）當時，求；（2）設，記數列的前項和為，求使得恒成立的的最小整數．24．（2023春?秀嶼區校級月考）已知數列是等差數列，其中，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．25．（2023春?泉州期末）已知正項數列的前項和為，且滿足．（1）求，；（2）設，數列的前項和為，求證：．26．（2023?仙游縣校級模擬）已知等比數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）在與之間插入個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求證數列的前項和．27．（2021秋?鼓樓區校級期末）已知數列的各項均為正數，表示數列的前項的和，且．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．28．（2022秋?永泰縣校級期中）已知正項數列的前項和為，且和滿足：．（1）求的通項公式；（2）設，的前項和為，若對任意都成立，求整數的最大值．29．（2023?莆田模擬）已知正項數列滿足．（1）求的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，證明：．30．（2023秋?泉州月考）數列中，，且．（1）求的通項公式；（2）令，記數列的前項和為，求．31．（2022秋?漳浦縣校級月考）已知為等差數列，前項和為，是首項為2的等比數列，且公比大于0．，，．（1）求和的通項公式；（2）求數列的前項和．32．（2022?三元區校級模擬）設數列的前項和為，若，．（1）求數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和．33．（2023?晉江市校級模擬）已知數列滿足，．（1）證明：數列是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）數列滿足：，求數列的前項和．34．（2022秋?鼓樓區校級期末）已知數列的前項和為，，．（1）求證：數列為等差數列；（2）設，求數列的前項和．35．（2022秋?晉安區校級月考）設正項數列的前項和為，等比數列的前項和為，且，．（1）求數列，的通項公式；（2）求數列的前項和．36．（2022秋?城廂區校級期中）已知數列中，，．數列的前項和為，且是與2的等差中項．（1）求數列，的通項和；（2）設，求數列的前項和．37．（2022春?同安區校級月考）已知為等差數列，為等比數列，的前項和，，．（1）求數列，的通項公式；（2）記，求數列的前項和．38．（2022秋?福清市期中）設數列的前項和為，若，且．（1）求數列的通項公式；（2）