本文將分幾個知識點來詳析小學奧數知識體系。包括計算、數論、幾何、行程、計數、應用與雜題等七大方面的內容。計算計算包括小數和整數運算，而且是華杯賽必考的題型，一般都是前一二題，難度不是很大。最近幾年華北賽的出題方向以整除以及小數混合運算為主，以考察學生綜合運用知識的能力。鑒于難度低，對這種題目我們就是絕對不能錯。話雖如此，仍須掌握一些常見的方法以及思想：換元的思想，通俗點講就是打包。請看下例第十四屆華杯賽決賽試題【1】答案：1/6此題很簡單，有同學可能會通過通分去進行運算，雖然最后得到的答案正確，但確浪費了很多時間。假設用換元思想那么事辦工倍。通過觀察，發現式子中四個表達式很接近，因此我們可以設a=,b=那么b-a=1/6；原式=，答案也就出來了【點撥】換元的好處就是看的更加明白，使得式子更加簡潔明了，解題速度更快。一般看到這種含有表達式比擬接近的式子就要想到用換元的思想，另外換元的時候換元的兩個量之間的關系應該比擬清晰，如上例就是有b-a=1/6；有考生可能會設a=，b=，這樣以來兩者之間的關系反而更加復雜化，因此不可取。【回家練練】答案：1/4020拆分的思想最近幾年華杯賽中考到的運算，很多都涉及到整數和分數的綜合運算。運算過程中，除運算能力的把握之外還需掌握一種拆分的思想，以簡化運算的目的。請看下例：第十屆華杯賽決賽試題【2】答案：10.695這題目很簡單，通過運算也能很快的得到答案。但是在第一個乘子中，有18.30.25，假設能將18.3拆成18+0.3，再和0.25進行相乘，我想定更快的得到答案。提取公因子的思想提取公因式后，毫無疑問能使得計算更加快速簡潔，從而減少出錯的概率。一般情況下，假設見幾個數字有相同的局部就要想到用提取公因式的方法。請看下例：第十三屆華杯賽決賽試題【1】答案：2咋看之下，這式子很復雜，假設要直接運算定費很多時間。但是通過觀察我們能發現，分子和分母的的第一和第三個數字的成績存在著倍數關系，只不過第二個外表看之下不明顯，其實通過轉化，我們發現94016=922023，而36024=332023，發現兩者也是兩倍關系，這樣一來，答案也就出來了。【點撥】對于這類計算題，我們要善于發現，善于觀察，找到數字之間的聯系，準確快速的做完題目。【回家練練】答案：1.54.等比數列小學奧數中單獨考等比數列的很少，此對等比數列求和公式最能記住最好，記不住也無關大雅.但是最常見的也就是以公比為2或者1/2的等比數列的求和方法必須掌握。一般采用拆補〔借了再還〕的方法。如求和可以在最后再添加一個，再最后減去一個，便能快速的得到答案：再如求和，可以在最前面添加2，最后再減去2，便能得到答案4098-2=4096；對這類題同學們可能已經掌握的比擬熟悉，但是考試出題的方向以變例為主，考察靈活運用知識的能力。請看下例：第十三屆華杯賽決賽試題【7】答案：9表達式中分母都是2的倍數，因此聯想到用等比數列求和。觀察發現，可以用1減去每一項就會得到很漂亮的結果【點撥】對這類公比為2或者1/2的題目，出題者一般不會直截了當的考生去求和，而是會稍微有所變化，如整數和分數結合，對分子稍做改變等等，但是不管怎么樣，分母之間還是成等比關系。【回家練練】=〔其中[a]代表不超過a的整數，如[1.3]=1〕5．數的拆分簡單的來講，就是兩個公式注：n和m一定是N的約數公式給出的是拆分成兩個數，對三個數的公式同學們可以去總結。簡單歸納成一句話就是加加減減。公式很簡單，但是華杯賽中不直接考這個，而是在n和m上下功夫，考察學生對這個公式的理解能力。請看下題：第十屆華杯賽決賽試題【13】答案：256比照公式發現，發現表達式中兩個數互為倒數，考慮到nm是15的約數，于是當它們分別是1和15的時候取最大值知識點：兩個互為倒數的數的和，當它們越接近于1時，它們的和越小。【回家練練】，求的最小值6.分數或者小數大小關系這類題近年來華杯賽決賽中根本不出現，只有在第十二屆華杯賽決賽中出現過這么一個題但是其中的一些最根本的規律以及方法同學們還是得掌握；ⅰ：和一定，差越小積越大ⅱ：真分數中，假設分子分母差一定，那么分母越大，分數值越大ⅲ：假分數中，假設分子分母差一定，那么分母越大，分數值越小另外在估算時，我們一般采用縮放的方法，比方是假設干個數字之和，可以認為范圍介于之間另外關于計算的還有比方循環小數，對這方面的題目主要有如何將循環小數化成分數，以及涉及到循環小數的運算，一般需要將循環小數化成分數后再進行運算。二．數論數論知識是各大杯賽當然也是華杯賽考察的重點也是難點，其包括數的整除、奇偶判斷、約數倍數、質因數分解、同余等方面的內容。對于這局部知識考生在校期間接觸的比擬少或者比擬淺顯，可能會覺得比擬困難。不能否認題目本身會有點難度，但是筆者覺得更大的困難是來自于考生心理方面的，對知識體系的不了解以及缺乏相應的訓練導致考生產生一種對數論的畏懼心理。在下筆之前，其實已經輸了一半了。雖如此，只要克服內心的畏懼心理再加之于有效的訓練，對這局部知識還是能很好的掌握和運用。數論知識點復雜，但是總結起來一句話，就是同余+數的分解。只要牢牢掌握這兩方面的內容，數論這個堡壘也就不攻自破了。在這里筆者就一些比擬重要的數論知識點進行詳細地展開。位值原理顧名思義就是一個數上的每個數字代表的值不一樣，比方百位的就代表一百。舉個簡單的例子，一個五位數可以表示成，運用這么一個簡單的原理，考試中就可以變著法的出考題，以測試考生的靈活掌握知識的能力。請看下例：第十屆華杯賽決賽試題【12】答案：111111102564很明顯，六位數用字母表示，在這中情況下我們很自然地聯想到用位值原理，，因此只要判斷是否為整數即可，得到f為1和4的時候成立。【點撥】一般情況下，用字母表示的數字中涉及到數字的移動就應該聯想到用位值原理的方法。【回家練練】05年迎春杯復賽一六位數，如果滿足，求出所有這樣的數以及它們的和同余定義：兩個整數a和b被整數m除有相同的余數，那么稱為ab對于模m同余數，用式子表示為。其實整除也可以認為是同余的一局部，相當于余數為0.如a能被m整除可以記做在同余中有幾個重要的知識點，在這里介紹如下Ⅰ：比擬好理解，就是abc三個數被m除后的余數是一樣的Ⅱ：ab兩個數假設被m除后余數相同，那么它們的n次方被m除后的余數也是一樣的Ⅲ：因為我們知道，ac的乘積除以m的余數等于ac分別除以m的余數的積，同樣道理bd也一樣，所以就有上面這個式子成立請看下題：求除以8的個位數字考慮到于是就能得到答案2【點撥】對于這類很大的數，尤其是幾次方的題目，一般我們采用同余的方法，將大數化小。運算過程中還要注意到余數為1的一些情況，因為假設干個余數為1的數相乘后余數還是為1。假設用一句話來概括，就是積的余數等于余數的積請再看一例一個五位數為被99整除的余數是16，這個五位數是多少這題假設用常規方法，將99拆成9*11，然后分別用整除的規律來算，這個五位數減去16后能被99整除。考慮到減去16后是否需要向百位借位，得分兩種情況討論，一種不需要向百位借位的減去16后變成，需要借位的那么變為。但這樣需要消耗很多時間。但是如果我們用同余的方法便能很快的得到答案。注意到，而原數，因此只要往萬位加2，往十位添1，就能滿足余數為1+1+10+4=16，最后得到結果30211【回家練練】1.一個五位數為，被99整除的余數為30，那么這個五位數為多少2.一個六位數能被13和19整除，那么這個六位數為多少質因數分解；數的約數和倍數首先應該知道,分解質因數的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數，且a1<a2<a3<……<an。求約數個數的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)公式很簡單，難點就在于如何靈活的應用這個公式。近年來，這方面的題目在華杯賽中屢次出現。請看下題：第十四屆華杯賽決賽試題【6】答案：222右邊的1001可以分解成，注意到ABC都是兩兩互質的和數，所以任何兩個數不可能有相同的質因子。不仿A含有因子，B含有因子，C含有因子，剩下的13顯然應該和A相乘邊能得到最小值為222.請再看一例關于質因數分解的題目第十三屆華杯賽決賽試題【5】答案：3根據題目的意思，顯然每一個數都應該分解質因數，得到；注意到每個數中只出現兩個因子，而所有的質因子為6個，因此很快能得到答案3組。具體的分發，比方說14和143一組，20和33一組，117和175一組。數的倍數和約數的根本概念，同學們必須非常清晰，比方最小公倍數，最大公約數等。如何求最小公倍數以及最大公約數的方法很多，那么在這里就介紹一種求n〔n>1〕個數的最小公倍數的方法，我們稱之為質因子最多相乘法。在這兒舉個例子，比方求16，54，75，143，175的最小公倍數那么第一步就是把每個數寫成質因數相乘的形式，分別是第二步就是把出現的每個質因數的最高次乘在一起，得到最小公倍數為約數和倍數的題目在華杯賽中出現的頻率也比擬高，而且幾乎沒有直接問有幾個約數或者最小公倍數之類的題目，而是會進行變例。這類題目就是高起點，低落點，看著很復雜沒有著手點，但是只要仔細分析就會發現就是最簡單的一些知識的應用。請看下題：第十四屆華杯賽決賽試題【11】答案108或者540首先注意到，60可以分解為，270可以分解為，[a,b]=60，我們根據質因子最多相乘法，假設，b不是的倍數，那a一定是的倍數，那么這樣一來[a,c]一定含有這個因子，所以出現了矛盾。這樣我們得到b是的倍數。同理，同學們可以自己分析得到c是的倍數。到這兒為止，我們發現[b,c]中一定含有這個因子。假設a中不含5這個因子，b,c都含5這個因子，在這種情況下，最小公倍數為=540；假設a中含5這個因子，b,c可以含也可以不含5這個因子，在這種情況下，最小公倍數為=-540或者=108請再看一題第十二屆華杯賽決賽試題【7】答案74注意到一個自然數最大的約數就是它本身，另外111可以分解為，最大的約數以及此大的約數一定有公共局部，在這里顯然只能是37，那么所有這個自然數就是【點撥】題目比擬簡單，出題形式比擬新穎；很多同學可能看到這種新的題目覺得無法入手。其實不管怎么樣，考的知識點還是不會變的，所謂“萬變不離其宗〞，再偽裝的題也能解出來。【回家練練】連續的16個二位自然數相乘后，乘積最后五位數字為0，且能被整除，求這16個自然數的平均數為多少？數的整除數的整除規律在這里就不再一一贅述。在這里我們選取一題典型的例題第十一屆華杯賽決賽試題【11】答案101，4首先看位數，一位數的奇數有5個，所有有5位；2位數的奇數有45個，所以有90位，三位數的奇數有2個，所以有6位，總共是5+45*2+6=101位再看除以9的余數，注意到6連續的自然數的和能被9整除，把它們寫成一排后也能被9整除；中有52個數，所以只要判斷最后的52-6*8