第四章1第三節協方差、相關系數—、協方差和相關系數的概念二、協方差的計算公式三、協方差和相關系數的性質協方差和相關系數前面我們介紹了隨機變量的數學期望和方差，數學期望反映了隨機變量在概率意義下的平均值，方差則反映了隨機變量相對于其均值的離散程度，這對我們了解隨機變量有一定的幫助。但對于二維隨機變量

，我們除了關心 的期望和方差外，還希望知道之間的關系，在反映分量之間關系的數字特征中，最重要的就是本講要討論的2在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關于父親的身高和其成年兒子身高的關系.3這里有兩個變量：一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關系.英國統計學家皮爾遜收集了1078個父親及其成年兒子身高的數據, 畫出了一張散點圖.4那么要問：父親及其成年兒子身高是一種什么關系呢？類似的問題有：吸煙和患肺癌有什么關系？受教育程度和失業有什么關系？高考入學分數和大學學習成績有什么關系？

為了研究諸如此類的兩變量的相互關系問題，我們需要從理論上對兩變量的相互關系加以研究.這一講就來討論這個問題.5一、 協方差與相關系數的概念D(X士Y)=D

X

+DY士2COV(X,Y

)D(X＋Y

)=DX

＋DY+2E

[(X－EX

)（Y－EY)]D(X－Y

)=DX

＋DY

－2E[(X－EX)(Y－EY)]定義：若

E[(X－E

X)(Y－EY)]

存在，稱COV

(

X,Y

)=

E[(

X－E

X)(Y－E

Y

)]為隨機變量X,Y的協方差.方差與協方差的關系：6即稱為隨機變量X與Y的相關系數。定義4.5

設二維隨機變量（X,Y)，若E[(X－EX)(Y－EY)]存在，則稱它為X與Y的協方差，記為COV(X,Y）。COV

(

X,Y

)=

E[(X－E

X

)(Y－E

Y

)]7COV

(

X,Y

)=E[(X－E

X

)

(Y－E

Y)]協方差若隨機變量X,Y為離散型.若隨機變量X,Y為連續型.相關系數8即COV(

X,Y

)＝E(XY

)－EXEY證明：由協方差的定義及期望的性質，可得Cov(X,Y

)=E[(X

－

EX)(Y－

EY)]=

E(XY)－

EX

EY

－

EYEX+EXEY=

E(XY

)－

EX

EY二. 協方差和相關系數的計算公式COV(

X,Y

)＝E(XY)

－EXEY可見，存在的必要條件為COV(

X,Y)＝

0

.即可見，若X與Y獨立，9COV(

X,Y

)＝E(XY)

－EXEY可見，存在的必要條件為COV(

X,Y)＝

0

.即定義：

若稱X與Y不相關。10可見，若X與Y獨立，D(X士Y)=D

X

+DY士2COV(X,Y

)D(X士Y)=D

X+DY即三、協方差與相關系數的性質COV

(

X,Y

)=E[(X－E

X

)

(Y－E

Y)]COV(

X,X

)＝

E[(

X-

EX

)2]

=

DX

；COV(

X,Y

)＝

COV(

Y

,

X

)

；COV(aX,bY

)＝

abCOV(X,Y),

a,b是常數；COV(

X1+X2

,Y

)＝

COV(

X1,Y

)+

COV(

X2,Y

).證明3.5、 設隨機變量和的相關系數存在，則1)115、

設隨機變量和的相關系數存在，則1)證明由方差的非負性可得12存在常數a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關.相關系數是衡量兩個隨機變量之間線性相關程度的數字特征.定義

設隨機變量X,

Y的相關系數存在,ρXY＝1，

稱

X,Y正相關；ρXY＝－1，

稱

X,Y負相關；ρXY＝0，

稱

X,Y不相關.注

ρXY＝0

僅說明X,

Y之間沒有線性關系，但可以有其他非線性關系.13例1

設

X

,Y～N(0,4),且X,Y相互獨立，W=2X+3Y,Z=

2X-

3Y,求解14例1

設

X,Y～N(0,4),且X,Y相互獨立，W=

2 X

+

3Y,Z=2X-

3Y,求15例2：已知隨機變量服從二維正態分布,并且X和Y分別服從正態分布和X和Y的相關系數設求Z數學期望 和方差求

X與Z的相關系數解:

(1)

Z的數學期望為又16服從二維正態分布,并且和X和Y的相關系數設(1) 求Z數學期望和方差例2

已知隨機變量X和Y分別服從正態分布17與(2)

的協方差為已知隨機變量服從二維正態分布,并且X和Y分別服從正態分布和X和Y的相關系數設(2)

求

X與Z的相關系數解例218(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內服從均勻分布故

Cov(X,Y)=E(XY)－EX

EY求

Cov

(X,Y)

.解

因例3同理19故

Cov(X,Y)=E(XY)－EX

EY例4

已知(X,Y)的密度函數為求：解

因同理20故又例4同理求：。21已知二維隨機變量求：。0.3

0.120.1

0.180.180.12－11-2

0的聯合分布列為1YX例5解邊緣分布列為22與

的協方差為:0.30.120.180.10.180.12－11-201YX23下面求的方差:與的相互關系數為:0.30.120.180.10.180.12－11-201YX24作業25P21911;12;1318;19;20，令計算協方差解例4

設隨機變量相互獨立同分布，且其方差為26這就引入了相關系數:協方差的大小在一定程度上反映了X

和Y

相互間的關系，但它還受X

與Y

本身度量單位的影響.例如：

Cov(kX,

kY

)=k2Cov(X,Y

)為了克服這一缺點，對協方差進行標準化:27第四章28第四節獨立性與不相關、矩—、獨立性與不相關性二、隨機變量的矩又則即前面，我們討論了隨機變量的獨立性，考慮X與Y相互獨立時，有—、獨立性與不相關性COV

(

X,Y

)=

0COV

(

X,Y

)=

E[(X－EX

)

(Y－E

Y)]＝E(XY)

－EXEY29X,Y

的相關系數 則稱X與Y不相關。為刻畫隨機變量X,Y之間線性關系程度的數量指標越大說明

X,Y線性關系越好。注：X,Y相互獨立

X,Y不相關但 只能描述

X,Y之間線性依賴關系，X,Y之間不存在線性依賴關系,可能存在其他形式的依賴關系。例如：二次函數形式的依賴關系。X,Y不相關

X,Y不獨立30定義2.

X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當

X

和

Y

獨立時，Cov(X,Y)=

0.故=

0但由31并不一定能推出

X和

Y

獨立.2）

(X,Y)~N

(μ1,σ2

;μ

,σ2

;ρ),則1

2

2X,Y

相互獨立

ρ＝0.定理

若隨機變量X

與Y

相互獨立，則X

與Y

不相關，即有

ρXY

＝

0

.注

1）

此定理的逆定理不成立,

即由ρXY＝0

不能得到X與Y相互獨立.32因而

=

0，即X和Y不相關.但Y與X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立.證明X與Y不相關。證COV(

X,Y

)＝E(XY

)

－EX

EY例1

設33(X,Y)在以原點為圓心的單位圓內服從均勻分布例234判斷隨機變量X,Y的不相關性與相互獨立性。解已計算得Cov(X,

Y)=0.隨機變量不相關不一定相互獨立!當x2+y2≤1.但35二 矩和協方差矩陣設X,Y是隨機變量，若稱它為X的k階原點矩，簡稱為k階矩。若存在,稱它為X的階中心矩。若存在,稱它為X和Y的存在,36階混合矩。若存在，稱它為X和Y的

k

+l

階混合中心矩。稱隨機變量X的k次冪的數學期望,為X的k

階原點矩.設隨機變量X的離差X－EX

的k次冪的數學期望稱為X的k階中心矩.當X為離散型隨機變量設分布列37矩當X為連續型隨機變量時，設概率密度為顯然一階原點矩就是期望一階中心矩恒等于零38其中

DX

=

E[(X－EX)2]=

E(X2)

－(EX)2注意到

V1=EX, V2=E(

X2

)二階中心矩就是方差隨機變量的矩是數！！！39作業40P219

14;

15;設X服從(-0.5, 0.5)內的均勻分布,因而=0，即

X和

Y不相關

.41但

Y與

X有嚴格的函數關系，即X和Y不獨立

.而Y

=cos

X,不難求得，Cov(X,Y)=0，（請自行驗證）例32）3）4）1）相關系數42則稱X與Y不相關；四個等價命題：將二維隨機變量（X1

,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協方差矩陣.這是一個對稱矩陣43協方差矩陣的定義均存在,稱矩陣

為

(X1,

X2

,…,

Xn)的協方差矩陣.cij=

Cov(Xi

,Xj

)定義

設n

維隨機變量

(X1,X2,…,Xn)

的協方差其中

Cov(

Xi,

Xj

)=E[(Xi－EXi

)(XJ－EXj)]DX

=

Cov(

Xi

,

Xi

)44關鍵是求E(X1X2)求出X1X2分布列解

需求例3

某集裝箱中放有100件產品, 其中一、二、