第五章剛體力學基礎FoundationofRigidBodyMechanics.§5-1剛體的運動§5-2定軸轉動定律§5-3定軸轉動的功和能§5-5進動§5-4定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律.§5-1剛體的運動MotionofaRigidBody.1.剛體內部任意兩點的距離在運動過程中始終保持不變的物體，即運動過程中不發生形變的物體。剛體是實際物體的一種理想的模型剛體可視為由無限多個彼此間距離保持不變的質元組成的質點系。.2.1平動：運動過程中剛體內任意一條直線在運動過程中始終保持方向不變。特點：剛體內所有質元具有相同的位移、速度和加速度。2.剛體的運動.2.2轉動：剛體上所有質點都繞同一軸線作圓周運動。假設轉軸固定不變，那么稱為定軸轉動。特點：剛體內所有點具有相同的角位移、角速度和角加速度。O.3.剛體定軸轉動的描述3.1定軸轉動的角量描述角位置：

角位移：

角速度：角加速度：

xOP

rv角速度和角加速度均為矢量，定軸轉動中其方向沿轉軸的方向并滿足右手螺旋定那么。.角量的單位為rad,rad/s,rad/s2。質點作勻變速曲線運動時，其角量的變化規律與勻變速直線運動中線量的規律相似，表示如下：.3.2角量和線量的關系xOP

rv質元轉過的圓弧長：.§5-2定軸轉動定律LawofFixed-AxisRotation.1.力對轉軸的力矩力對轉軸上參考點O的力矩矢量:zrOP

dF大小：方向：.力對轉軸的力矩矢量zFrOP

dF//F

一般情況平行轉軸

垂直轉軸

.結論：z

dPOrFFzF

力對轉軸的力矩等于在轉動平面內的外力F的大小和F與軸之間的垂直距離d的乘積。.2．剛體對轉軸的角動量2.1質點對轉軸的角動量：質點對轉軸上參考點O的角動量矢量:z

mOrp大小：方向：.z

dmOrpP//p

對轉軸的角動量一般情況平行轉軸

垂直轉軸

.結論：z

dmOrpP//p

對轉軸的角動量等于在轉動平面內的動量p的大小和p與軸之間的垂直距離d的乘積。.2.2剛體對轉軸的角動量zOri

組成剛體的所有質元對轉軸的角動量的和:剛體對轉軸的轉動慣量：剛體對轉軸的角動量：.3．剛體定軸轉動定律若，則簡寫為：——剛體定軸轉動的轉動定律.連續體：4.2轉動慣量的計算4．轉動慣量4.1轉動慣量的物理意義：剛體定軸轉動慣性大小的量度。

分立體：計算轉動慣量的三個要素:(1)總質量(2)質量分布(3)轉軸的位置.(1)I與剛體的總質量有關例如兩根等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量LzOxdxM4．轉動慣量.(2)I與質量分布有關例如圓環繞中心軸旋轉的轉動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉的轉動慣量dlOmRROmrdr.OLxdxMzLOxdxMz(3)I與轉軸的位置有關.4.3平行軸定理與垂直軸定理平行軸定理：COz'zd.垂直軸定理:Ozxyxiyiri.解：〔1〕對對稱軸[例]求質量均勻分布的半圓形薄板對（1）它的對稱軸；（2）它的直邊；（3）通過質心平行于直邊的軸的轉動慣量。設圓弧直徑為，質量為。取半圓上窄條為。.〔2〕對直邊設為整圓對直徑的轉動慣量。因和故有〔3〕對通過C且平行于直邊〔2〕應用平行軸定理：，先求質心位置：.5.轉動定律的應用解題要點:.m2m1RR

m1gFm2gT1MgT2a.O

.CO

mg.(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區別例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉軸間的摩擦不計，(見圖).圓盤以

0

在桌面上轉動,受摩擦力而靜止解例求到圓盤靜止所需時間取一質元由轉動定律摩擦力矩

R.例一個剛體系統，如下圖，，轉動慣量，現有一水平力作用于距軸為

l'

處求軸對棒的作用力〔也稱軸反力〕。解設軸對棒的作用力為N由質心運動定理打擊中心質心運動定理與轉動定律聯用質點系由轉動定律.§5-3定軸轉動的功和能WorkandEnergyofFixedAxisRotation.1.力矩的功和功率1.1力矩的功

d

O

zP0PFrdl.2.2力矩的功率.2．剛體的轉動動能與重力勢能2.1剛體的轉動動能O

z

ri

mivi.2.2剛體的重力勢能hi

mi.3.剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動時合外力矩對剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量

.O

.解：.Mmk

R

..§5-4定軸轉動的角動量定理與角動量守恒定律TheoremofAngularMomentumandLawofConservationofAngularMomentumforFixedAxisRotation.1.剛體定軸轉動的角動量定理和角動量守恒定律簡寫為——剛體定軸轉動的角動量定理——剛體定軸轉動的角動量守恒定律.角動量守恒現象舉例.例如圖，長為l，質量為M的均勻細棒可饒過O點的轉軸在豎直面內自由轉動。一質量為m的質點以初速v0沿水平方向運動，與靜止在豎直位置的細棒的末端發生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求〔1〕碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度；〔2〕兩者一起上擺的最大角度。Olm

v0..例:半徑R、質量M的水平均勻圓盤可繞通過圓心的光滑豎直軸自由轉動，其邊緣有一質量m的人，二者最初相對地面靜止求:當人繞盤一周時，盤對地面轉過的角度？解：〔人+盤〕關于轉軸O的外力矩為零，〔人+盤〕角動量守恒xO以逆時針為正方向，在地面參照系且.§5-5進動Procession.進動:高速自旋的物體的自轉軸在空間旋進的運動高速自轉的陀螺在陀螺重力對支點O的力矩作用下發生進動陀螺的角