吉林省吉林市龍潭區吉化第一高級中學2024屆高考百校聯考數學試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復數，則對應的點在復平面內位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關系為（）A． B．C． D．3．已知甲盒子中有個紅球，個藍球，乙盒子中有個紅球，個藍球，同時從甲乙兩個盒子中取出個球進行交換，（a）交換后，從甲盒子中取1個球是紅球的概率記為.（b）交換后，乙盒子中含有紅球的個數記為.則（）A． B．C． D．4．已知為定義在上的偶函數，當時，，則（）A． B． C． D．5．已知，，分別是三個內角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．6．已知雙曲線，為坐標原點，、為其左、右焦點，點在的漸近線上，，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．已知等比數列的前項和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．8．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．9．定義在上的函數滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．210．“”是“函數（為常數）為冪函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件11．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．12．已知函數，，的零點分別為，，，則（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是等比數列，且，，則__________，的最大值為__________．14．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.15．在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為，則實數a的值為_____．16．在中，，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量.18．（12分）設函數f(x)=sin(2x-π(I)求f(x)的最小正周期；(II)若α∈(π6,π)且f(19．（12分）已知是遞增的等差數列，，是方程的根.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）設數列的前n項和滿足，，，（1）證明：數列是等差數列，并求其通項公式﹔（2）設，求證：.21．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數)與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.22．（10分）已知中心在原點的橢圓的左焦點為，與軸正半軸交點為，且.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為、的兩條直線分別交于異于點的兩點、.證明：當時，直線過定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用復數除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【題目詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【題目點撥】本小題主要考查復數除法運算，考查復數對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.2、A【解題分析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【題目詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【題目點撥】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解題分析】分析：首先需要去分析交換后甲盒中的紅球的個數，對應的事件有哪些結果，從而得到對應的概率的大小，再者就是對隨機變量的值要分清，對應的概率要算對，利用公式求得其期望.詳解：根據題意有，如果交換一個球，有交換的都是紅球、交換的都是藍球、甲盒的紅球換的乙盒的藍球、甲盒的藍球交換的乙盒的紅球，紅球的個數就會出現三種情況；如果交換的是兩個球，有紅球換紅球、藍球換藍球、一藍一紅換一藍一紅、紅換藍、藍換紅、一藍一紅換兩紅、一藍一紅換亮藍，對應的紅球的個數就是五種情況，所以分析可以求得，故選A.點睛：該題考查的是有關隨機事件的概率以及對應的期望的問題，在解題的過程中，需要對其對應的事件弄明白，對應的概率會算，以及變量的可取值會分析是多少，利用期望公式求得結果.4、D【解題分析】

判斷，利用函數的奇偶性代入計算得到答案.【題目詳解】∵，∴．故選：【題目點撥】本題考查了利用函數的奇偶性求值，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.5、C【解題分析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【題目詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.【題目點撥】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.6、D【解題分析】

根據，先確定出的長度，然后利用雙曲線定義將轉化為的關系式，化簡后可得到的值，即可求漸近線方程.【題目詳解】如圖所示：因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以漸近線方程為.故選：D.【題目點撥】本題考查根據雙曲線中的長度關系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.7、C【解題分析】

利用先求出，然后計算出結果.【題目詳解】根據題意，當時，,,故當時，,數列是等比數列,則，故,解得,故選.【題目點撥】本題主要考查了等比數列前項和的表達形式，只要求出數列中的項即可得到結果，較為基礎.8、B【解題分析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【題目詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【題目點撥】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體．9、C【解題分析】

推導出，由此能求出的值．【題目詳解】∵定義在上的函數滿足，∴，故選C．【題目點撥】本題主要考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用，屬于中檔題.10、A【解題分析】

根據冪函數定義，求得的值，結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【題目詳解】∵當函數為冪函數時，，解得或，∴“”是“函數為冪函數”的充分不必要條件.故選：A.【題目點撥】本題考查了充分必要條件的概念和判斷，冪函數定義的應用，屬于基礎題.11、C【解題分析】

試題分析：將參數a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區間上是增函數∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題12、C【解題分析】

轉化函數，，的零點為與，，的交點，數形結合，即得解.【題目詳解】函數，，的零點，即為與，，的交點，作出與，，的圖象，如圖所示，可知故選：C【題目點撥】本題考查了數形結合法研究函數的零點，考查了學生轉化劃歸，數形結合的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】，即的最大值為14、【解題分析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關系，再用基本不等式求的范圍即可.【題目詳解】解：所以三角形周長故答案為：【題目點撥】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件；基礎題.15、3【解題分析】

設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0），聯立方程得到B（，），故S，令t，得S，利用均值不等式得到答案.【題目詳解】設直線AB的方程為y＝kx+1，則直線AC的方程可設為yx+1，（k≠0）由消去y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以x＝0或x∵A的坐標（0，1），∴B的坐標為（，k?1），即B（，），因此AB?，同理可得：AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t，得S.∵t2，∴S△ABC.當且僅當，即t時，△ABC的面積S有最大值為.解之得a＝3或a.∵a時，t2不符合題意，∴a＝3.故答案為：3.【題目點撥】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.16、1【解題分析】

由已知利用余弦定理可得，即可解得的值．【題目詳解】解：，，，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或（舍去）．故答案為：1．【題目點撥】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、另一個特征值為，對應的一個特征向量【解題分析】

根據特征多項式的一個零點為3，可得，再回代到方程即可解出另一個特征值為，最后利用求特征向量的一般步驟，可求出其對應的一個特征向量.【題目詳解】矩陣的特征多項式為：，是方程的一個根，，解得，即方程即，，可得另一個特征值為：，設對應的一個特征向量為：則由，得得，令，則，所以矩陣另一個特征值為，對應的一個特征向量【題目點撥】本題考查了矩陣的特征值以及特征向量，需掌握特征多項式的計算形式，屬于基礎題.18、(I)π；(II)-【解題分析】

(I)化簡得到fx(II)f(α2)=2sin【題目詳解】(I)f(x)==2sin2x+(II)f(α2)=2sinα∈(π6,π)，故α+故α+π12∈sin(2α+【題目點撥】本題考查了三角函數的周期，三角恒等變換，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）;（2）.【解題分析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數列的通項公式即可得出；（2）利用“錯位相減法”、等比數列的前項和公式即可求出．【題目詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設數列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項公式為an＝n＋1.（2）設的前n項和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點：等差數列的性質；數列的求和．【方法點晴】本題主要考查了等差數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前項和公式、一元二次方程的解法等知識點的綜合應用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數列的通項公式，進而利用錯位相減法求和是解答的關鍵，著重考查了學生的推理能力與運算能力，屬于中檔試題．20、（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解題分析】

（1）由，作差得到，進一步得到，再作差即可得到，從而使問題得到解決；（2），求和即可.【題目詳解】（1），，兩式相減：①用換，得②②—①，得，即，所以數列是等差數列，又，∴，，公差，所以.（II）.【題目點撥】本題考查由與的關系求通項以及裂項相消法求數列的和，考查學生的計算能力，是一道容易題.21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由l參數方程與橢圓方程聯立可得A、B兩點參數和，再利用M點的參數為A、B兩點參數和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數方程的幾何意義得到，再利用計算即可，但要注意判別式還要大于0.【題目詳解】（1）由已知，曲線的參數方程為（為參數），其普通方程為，當時，將（為參數）代入得，設直線l上A、B兩點所對應的參數為，中點M所對應的參數為，則，所以的坐標為；（2）將代入得，則，因為即，所以，故，由得，所以.【題目點撥】本題考查了伸縮變換、參數方程與普通方程的互化、直線參數方程的幾何意義等知識，考查學生的計算能力，是一道中檔題.22、（1）；（2）見解析.【