北京市昌平區臨川育人學校2024屆高三九月摸底考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知非零向量，滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解:2．設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg3．已知冪函數的圖象過點，且，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．4．復數滿足，則（）A． B． C． D．5．設向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．6．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．7．已知集合，集合，則（）.A． B．C． D．8．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()A． B． C． D．10．某校在高一年級進行了數學競賽（總分100分），下表為高一·一班40名同學的數學競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學生的數學競賽成績，運行相應的程序，輸出，的值，則（）A．6 B．8 C．10 D．1211．已知等差數列中，，則（）A．20 B．18 C．16 D．1412．定義在R上的函數y=fx滿足fx≤2x-1A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為____.14．設為偶函數，且當時，；當時，．關于函數的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數m，使函數恰有5個不同的零點；②若，函數的零點不超過4個，則；③對，，函數恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數列．其中，正確命題的序號是_______．15．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織了5尺布，現在一個月（按30天計算）共織布390尺．”則每天增加的數量為____尺，設該女子一個月中第n天所織布的尺數為，則______．16．（5分）已知函數，則不等式的解集為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓：的離心率為，點為橢圓上的一點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為的直線過點，且與橢圓交于兩點，為橢圓的下頂點，求證：對于任意的實數，直線的斜率之積為定值.18．（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線極坐標方程為.若直線交曲線于，兩點，求線段的長.20．（12分）在國家“大眾創業，萬眾創新”戰略下，某企業決定加大對某種產品的研發投入.為了對新研發的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數據如表所示:試銷價格(元)產品銷量(件)已知變量且有線性負相關關系，現有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.（1）試判斷誰的計算結果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數據與檢測數據的誤差不超過，則稱該檢測數據是“理想數據”，現從檢測數據中隨機抽取個，求“理想數據”的個數為的概率.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于、兩點，求的面積.22．（10分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點.（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據向量的數量積運算，由向量的關系，可得選項.【題目詳解】，，∴等價于，故選：C.【題目點撥】本題考查向量的數量積運算和命題的充分、必要條件，屬于基礎題.2、D【解題分析】根據y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關關系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學某女生身高增加1cm，預測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學某女生身高為170cm，預測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．3、A【解題分析】

根據題意求得參數，根據對數的運算性質，以及對數函數的單調性即可判斷.【題目詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【題目點撥】本題考查利用指數函數和對數函數的單調性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎題.4、C【解題分析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.【題目詳解】解:，故選：C【題目點撥】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】

由模長公式求解即可.【題目詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【題目點撥】本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.6、D【解題分析】

根據空間向量的線性運算，用作基底表示即可得解.【題目詳解】根據空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.【題目點撥】本題考查了空間向量的線性運算，用基底表示向量，屬于基礎題.7、A【解題分析】

算出集合A、B及，再求補集即可.【題目詳解】由，得，所以，又，所以，故或.故選：A.【題目點撥】本題考查集合的交集、補集運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.8、D【解題分析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【題目詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【題目點撥】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．9、C【解題分析】

設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論．【題目詳解】設分別是的中點平面是等邊三角形又平面為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為球的半徑平面本題正確選項：【題目點撥】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題．10、D【解題分析】

根據程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【題目詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數，的取值為成績大于等于60且小于90的人數，故，，所以.故選：D【題目點撥】本小題考查利用程序框圖計算統計量等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數學應用意識.11、A【解題分析】

設等差數列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項與公差,進而求得即可.【題目詳解】設等差數列的公差為.由得,解得.所以.故選：A【題目點撥】本題主要考查了等差數列的基本量求解,屬于基礎題.12、D【解題分析】

根據y=fx+1為奇函數，得到函數關于1,0中心對稱，排除AB，計算f1.5≤【題目詳解】y=fx+1為奇函數，即fx+1=-f-x+1，函數關于f1.5≤2故選：D.【題目點撥】本題考查了函數圖像的識別，確定函數關于1,0中心對稱是解題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、28【解題分析】

將已知式轉化為，則的展開式中的系數中的系數，根據二項式展開式可求得其值.【題目詳解】，所以的展開式中的系數就是中的系數，而中的系數為，展開式中的系數為故答案為：28.【題目點撥】本題考查二項式展開式中的某特定項的系數，關鍵在于將原表達式化簡將三項的冪的形式轉化為可求的二項式的形式，屬于基礎題.14、①②③【解題分析】

根據偶函數的圖象關于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【題目詳解】解：當時又因為為偶函數可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【題目點撥】本題考查函數方程思想，數形結合思想，屬于難題.15、52【解題分析】

設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數列前項和公式求出,由此利用等差數列通項公式能求出.【題目詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數量為，

，故答案為，52.【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的求和公式，意在考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

易知函數的定義域為，且，則是上的偶函數．由于在上單調遞增，而在上也單調遞增，由復合函數的單調性知在上單調遞增，又在上單調遞增，故知在上單調遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數，可得，由在上單調遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解題分析】

（1）運用離心率公式和點滿足橢圓方程，解得，，進而得到橢圓方程；（2）設直線，代入橢圓方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，以及點在直線上滿足直線方程，化簡整理，即可得到定值．【題目詳解】（1）因為，所以，①又橢圓過點，所以②由①②，解得所以橢圓的標準方程為.（2）證明設直線：，聯立得，設，則易知故所以對于任意的，直線的斜率之積為定值.【題目點撥】本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和直線的斜率公式，化簡整理，考查運算能力，屬于中檔題．18、（1）（2）特征值為或．【解題分析】

（1）先設矩陣,根據,按照運算規律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值．【題目詳解】解：（1）設矩陣由題意,因為,所以,即所以,（2）矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．【題目點撥】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學生的劃歸與轉化能力和運算求解能力.19、【解題分析】

由，化簡得，由，所以直線的直角坐標方程為，因為曲線的參數方程為，整理得，直線的方程與曲線的方程聯立，，整理得，設，則，根據弦長公式求解即可.【題目詳解】由，化簡得，又因為，所以直線的直角坐標方程為，因為曲線的參數方程為，消去，整理得，將直線的方程與曲線的方程聯立，，消去，整理得，設，則，所以，將，代入上式，整理得.【題目點撥】本題考查參數方程，極坐標方程的應用，結合弦長公式的運用，屬于中檔題.20、（1）乙同學正確；（2）.【解題分析】

（1）根據變量且有線性負相關關系判斷甲不正確.根據回歸直線方程過樣本中心點，判斷出乙正確.（2）由線性回歸方程得到的估計數據，計算出誤差，求得“理想數據”的個數，由此利用古典概型概率計算公式，求得所求概率.【題目詳解】（1）已知變量具有線性負相關關系，故甲不正確，，代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數據如下表：021212由上表可知，“理想數據”的個數為.用列舉法可知，從個不同數據里抽出個不同數據的方法有種.從符合條件的個不同數據中抽出個，還要在不符合條件的個不同數據中抽出個的方法有種.故所求概率為【題目