河南省扶溝縣2024屆重點高中聯盟領軍考試4月高三數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數，，其中是虛數單位，則的最大值為()A． B． C． D．2．若實數滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．4．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．55．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統計繪制如圖，其中各項統計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶6．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）7．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．8．陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．9．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．10．將函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，則所得函數圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．11．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件12．“”是“函數（為常數）為冪函數”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．成都市某次高三統考，成績X經統計分析，近似服從正態分布，且，若該市有人參考，則估計成都市該次統考中成績大于分的人數為_____．14．設全集，集合，，則集合______.15．函數在的零點個數為_________.16．已知函數圖象上一點處的切線方程為，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實數的取值范圍.18．（12分）已知，且滿足，證明：.19．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量．20．（12分）在中，為邊上一點，，.（1）求；（2）若，，求.21．（12分）已知函數的導函數的兩個零點為和．（1）求的單調區間；（2）若的極小值為，求在區間上的最大值．22．（10分）已知數列和，前項和為，且，是各項均為正數的等比數列，且，．（1）求數列和的通項公式；（2）求數列的前項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由復數的幾何意義可得表示復數，對應的兩點間的距離，由兩點間距離公式即可求解.【題目詳解】由復數的幾何意義可得，復數對應的點為，復數對應的點為，所以，其中，故選C【題目點撥】本題主要考查復數的幾何意義，由復數的幾何意義，將轉化為兩復數所對應點的距離求值即可，屬于基礎題型.2、B【解題分析】

根據所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【題目詳解】實數滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數化為，則將平移，平移后結合圖像可知，當經過原點時截距最小，；當經過時，截距最大值，，所以線性目標函數的取值范圍為，故選：B.【題目點撥】本題考查了線性規劃的簡單應用，線性目標函數取值范圍的求法，屬于基礎題.3、C【解題分析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【題目詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【題目點撥】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關鍵，屬于基礎題.4、D【解題分析】

由對數運算法則和等比數列的性質計算．【題目詳解】由題意．故選：D．【題目點撥】本題考查等比數列的性質，考查對數的運算法則．掌握等比數列的性質是解題關鍵．5、D【解題分析】

根據給出的統計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【題目詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【題目點撥】本題主要考查對統計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.6、C【解題分析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結合含有簡單邏輯聯結詞命題的真假性，判斷出正確選項.【題目詳解】根據線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內，命題為假命題；根據線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【題目點撥】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯結詞的命題的真假性判斷，屬于基礎題.7、A【解題分析】

根據輸入的值大小關系，代入程序框圖即可求解.【題目詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【題目點撥】本題考查了對數式大小比較，條件程序框圖的簡單應用，屬于基礎題.8、C【解題分析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據求解幾何體的表面積即可，【題目詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C【題目點撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.9、B【解題分析】

直接利用集合的基本運算求解即可．【題目詳解】解：全集，集合，，則，故選：．【題目點撥】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題．10、D【解題分析】

先化簡函數解析式,再根據函數的圖象變換規律,可得所求函數的解析式為,再由正弦函數的對稱性得解.【題目詳解】,

將函數圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數的解析式為,

再向右平移個單位長度,所得函數的解析式為,，可得函數圖象的一個對稱中心為，故選D.【題目點撥】三角函數的圖象與性質是高考考查的熱點之一，經常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等，其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現，在復習時要注意基礎知識的理解與落實．三角函數的性質由函數的解析式確定，在解答三角函數性質的綜合試題時要抓住函數解析式這個關鍵，在函數解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數解析式化為一個角的一個三角函數形式，然后利用正弦（余弦）函數的性質求解．11、B【解題分析】

根據誘導公式化簡再分析即可.【題目詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【題目點撥】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.12、A【解題分析】

根據冪函數定義，求得的值，結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【題目詳解】∵當函數為冪函數時，，解得或，∴“”是“函數為冪函數”的充分不必要條件.故選：A.【題目點撥】本題考查了充分必要條件的概念和判斷，冪函數定義的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

根據正態分布密度曲線性質，結合求得，即可得解.【題目詳解】根據正態分布，且，所以故該市有人參考，則估計成都市該次統考中成績大于分的人數為．故答案為：．【題目點撥】此題考查正態分布密度曲線性質的理解辨析，根據曲線的對稱性求解概率，根據總人數求解成績大于114的人數.14、【解題分析】

分別解得集合A與集合B的補集，再由集合交集的運算法則計算求得答案.【題目詳解】由題可知，集合A中集合B的補集，則故答案為：【題目點撥】本題考查集合的交集與補集運算，屬于基礎題.15、1【解題分析】

本問題轉化為曲線交點個數問題，在同一直角坐標系內，畫出函數的圖象，利用數形結合思想進行求解即可.【題目詳解】問題函數在的零點個數，可以轉化為曲線交點個數問題.在同一直角坐標系內，畫出函數的圖象，如下圖所示：由圖象可知：當時，兩個函數只有一個交點.故答案為：1【題目點撥】本題考查了求函數的零點個數問題，考查了轉化思想和數形結合思想.16、1【解題分析】

求出導函數，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得．【題目詳解】由題意，∵函數圖象在點處的切線方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．【題目點撥】本題考查導數的幾何意義，求出導函數是解題基礎，三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）求出函數的定義域，即可求出結論；（2）化簡集合，根據確定集合的端點位置，建立的不等量關系，即可求解.【題目詳解】（1）由，即得或，所以集合或.（2）集合，由得或，解得或，所以實數的取值范圍為.【題目點撥】本題考查集合的運算，集合間的關系求參數，考查函數的定義域，屬于基礎題.18、證明見解析【解題分析】

將化簡可得，由柯西不等式可得證明.【題目詳解】解：因為，，所以，又，所以，當且僅當時取等號.【題目點撥】本題主要考查柯西不等式的應用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運用.19、矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解題分析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特征向量.【題目詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【題目點撥】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.20、（1）；（2）4【解題分析】

（1），利用兩角差的正弦公式計算即可；（2）設，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【題目詳解】（1）∵，∴，所以，.（2）∵，∴設，，在中，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴∴.【題目點撥】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.21、（1）單調遞增區間是，單調遞減區間是和；（2）最大值是．【解題分析】

（1）求得，由題意可知和是函數的兩個零點，根據函數的符號變化可得出的符號變化，進而可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）由（1）中的結論知，函數的極小值為，進而得出，解出、、的值，然后利用導數可求得函數在區間上的最大值.【題目詳解】（1），令，因為，所以的零點就是的零點，且與符號相同．又因為，所以當時，，即；當或時，，即.所以，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和；（2）由（1）知，是的極小值點，所以有，解得，，，所以．因為函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是和.所以為函數的極大值，故在區間上的最大值取和中的最大者，而，所以函數在區間上的最大值是．【題目點撥】本題考查利用導數求函數的單調區間與