-2024學年北京重點中學高二上期末數學模擬試卷一．選擇題（共10小題）1．拋物線x2＝6y的焦點到準線的距離為（）A． B．1 C．2 D．32．已知圓C：（x+2）2+（y﹣1）2＝4，點P為直線x＝1上任意一點，過點P引圓C的兩條切線，切點分別為點A，B，則|AB|的最小值為（）A． B． C． D．33．已知單調遞減的等比數列{an}中，a1＞0，則該數列的公比q的取值范圍是（）A．q＝1 B．q＜0 C．q＞1 D．0＜q＜14．設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β5．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現齊王與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹，共進行三場比賽，規定：每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝．則田忌獲勝的概率為（）A． B． C． D．6．圓x2﹣2x+y2+4y+2＝0到直線的距離為1的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．0個7．已知無窮數列{an}滿足an+1＝an+t（t為常數），Sn為{an}的前n項和，則“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小項”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，其側面與底面所成角的余弦值為，則側面三角形的頂角的正切值為（）A．2 B．3 C． D．9．已知動圓M與圓C1：（x+4）2+y2＝2外切，與圓C2：（x﹣4）2+y2＝2內切，則動圓圓心M的軌跡方程為（）A． B． C． D．10．設數列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數n，總存在正整數m．使得Sn＝am，下列正確命題的個數是（）①{an}可能為等差數列；②{an}可能為等比數列；③ai（i≥2）均能寫成{an}的兩項之差；④對任意n∈N，n≥1，總存在m∈N，m≥1，使得an＝Sm．A．0 B．1 C．2 D．3二．填空題（共5小題）11．在“互聯網+”時代，國家積極推動信息化技術與傳統教學方式的深度融合，實現線上、線下融合式教學模式變革．某校高一、高二和高三學生人數如圖所示．采用分層抽樣的方法調查融合式教學模式的實施情況，在抽取樣本中，高一學生有16人，則該樣本中的高三學生人數為．12．在空間直角坐標系O﹣xyz中，已知過坐標原點O的平面α的一個法向量是＝（0，0，﹣1），點P（3，﹣4，5）到平面α的距離為．13．能說明“若m（n+2）≠0，則方程+＝1表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組m，n的值是．14．已知拋物線C的焦點為F，點A，B在C上，滿足+＝，且?＝﹣16，點P是拋物線的準線上任意一點，則△PAB的面積為．15．下列關于曲線的說法，正確的有．①曲線C關于x軸對稱；②曲線C關于原點都對稱；③曲線C所圍成的封閉圖形的面積大于16；①曲線C所圍成的封閉圖形內部（含邊界）的整點（橫縱坐標均為整數的點）個數是17．三．解答題（共6小題）16．從①前n項和，②an＝an+1﹣3，③a6＝11且2an+1＝an+an+2這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并完成解答．在數列{an}中，a1＝1，______，其中n∈N*．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若a1，an，am成等比數列，其中m，n∈N*，且m＞n＞1，求m的最小值．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．17．已知點P（5，0）和圓C：x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0．（Ⅰ）寫出圓C的標準方程，并指出圓心C的坐標和半徑；（Ⅱ）設Q為C上的點，求|PQ|的取值范圍．18．某單位工會有500位會員，利用“健步行APP”開展全員參與的“健步走獎勵”活動．假設通過簡單隨機抽樣，獲得了50位會員5月10日的走步數據如下：（單位：萬步）1.11.41.31.60.31.60.91.41.40.91.41.21.51.60.91.21.20.50.81.01.40.61.01.10.60.80.90.81.10.40.81.41.61.21.00.61.51.60.90.71.31.10.81.01.20.60.50.20.81.4頻率分布表：分組頻數頻率[0.2，0.4）20.04[0.4，0.6）a0.06[0.6，0.8）50.10[0.8，1.0）110.22[1.0，1.2）80.16[1.2，1.4）70.14[1.4，1.6]bc合計501.00（Ⅰ）寫出a，b，c的值；（Ⅱ）（i）繪制頻率分布直方圖；（ⅱ）假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替，試估計該單位所有會員當日步數的平均值；（Ⅲ）根據以上50個樣本數據，估計這組數據的第70百分位數．你認為如果定1.3萬步為健步走獲獎標準，一定能保證該單位至少30%的工會會員當日走步獲得獎勵嗎？說明理由．19．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E為AD的中點，O為BE的中點．將△ABE沿BE折起到A'BE，使得平面A'BE⊥平面BCDE（如圖2）（Ⅰ）求證：A'O⊥CD；（Ⅱ）求直線A'C與平面A'DE所成角的正弦值；（Ⅲ）在線段A'C上是否存在點P，使得OP∥平面A'DE？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20．已知橢圓C：（a＞b＞0）的上頂點和兩焦點構成的三角形為等腰直角三角形，且面積為2，點M為橢圓C的右頂點．（1）求橢圓C的方程；（2）若經過點P（t，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，實數t取何值時以AB為直徑的圓恒過點M？21．在各項均不為零的數列{an}中，選取第k1項、第k2項、…、第km項，其中m≥3，k1＜k2＜?＜km，若新數列為等比數列，則稱新數列為{an}的一個長度為m的“等比子列”．已知等差數列{an}，其各項與公差d均不為零．（1）若在數列{an}中，公差d＝2，n≤4，且存在項數為3的“等比子列”，求數列{an}的通項公式；（2）若，數列為{an}的一個長度為n的“等比子列”，其中k1＝1，公比為q．當q最小時，求kn的通項公式；（3）若公比為q的等比數列{bn}，滿足a1＝b1，a2＝b2，b3＝ai（i≥3，i∈N*），證明：數列{bn}為數列{an}的“等比子列”．參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．【答案】D【解答】解：拋物線x2＝6y的焦點到準線的距離是p＝3，故選：D．2．【答案】B【解答】解：根據題意，圓C：（x+2）2+（y﹣1）2＝4，其圓心C（﹣2，1），半徑r＝2，過點P引圓C的兩條切線，切點分別為點A，B，如圖：在△PAC中，有S△PAC＝×|CA|×|AP|＝××|CP|，即|AP|＝×|CP|，變形可得|AB|＝，設|CP|＝x，則|AB|＝＝4，當|CP|的值即x最小時，的值最大，此時|AB|取得最小值，而|PC|的最小值為C到直線x＝1的距離，即|PC|min＝3，故|AB|min＝4×＝，故選：B．3．【答案】D【解答】解：單調遞減的等比數列{an}中，a1＞0，則該數列的公比q的取值范圍是0＜q＜1．故選：D．4．【答案】B【解答】解：設l是直線，α，β是兩個不同的平面，對于A，若l∥α，l∥β，則α與β相交或平行，故A錯誤；對于B，若l∥α，l⊥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正確；對于C，若α⊥β，l⊥α，則l與β平行或l?β，故C錯誤；對于D，若α⊥β，l∥α，則l與β相交、平行或l?β，故D正確．故選：B．5．【答案】B【解答】解：設齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A，B，C，設田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a，b，c，每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝．基本事件有：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Bc，Ca），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），共6個，田忌獲勝包含的基本事件有：（Ac，Ba，Cb），只有1個，∴田忌獲勝的概率為p＝．故選：B．6．【答案】B【解答】解：化x2﹣2x+y2+4y+2＝0為（x﹣1）2+（y+2）2＝3，得圓心坐標為（1，﹣2），半徑為，∵圓心到直線的距離d＝＝＞，說明直線與圓相離，∵﹣∈（0，1），圓上有2個點到直線l的距離為1．故選：B．7．【答案】B【解答】解：∵an+1＝an+t，∴數列{an}為等差數列，且公差為t,①當t≥0時，若t＝0，a1＝﹣2時，數列{an}為常數列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n為減函數，無最小項，∴充分性不成立，②當{an}和{Sn}都有最小項，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t),Sn＝na1+t＝n2+(a1﹣)n,則或t＞0,∴t≥0,∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小項的必要不充分條件，故選：B．8．【答案】A【解答】解：如圖所示：設正四棱錐的底面邊長AB＝2a，則OM＝a，設側面三角形的頂角為2α，因為側面與底面所成角的余弦值為，則，則，在Rt△PAM中，，∴．故選：A．9．【答案】A【解答】解：設動圓M的半徑為r，又圓C1與圓C2的半徑均為，則由已知得|MC1|＝r+，|MC2|＝r﹣，所以|MC1|﹣|MC2|＝2，又點C1（﹣4，0），C2（4，0），則|C1C2|＝8，所以2＜|C1C2|，根據雙曲線的定義可知，點M的軌跡是以C1（﹣4，0），C2（4，0）為焦點的雙曲線的右支，因為a＝，c＝4，所以b2＝c2﹣a2＝14，于是點M的軌跡方程為（x≥）．故選：A．10．【答案】C【解答】解：對于①：取an＝0，則Sn＝0，滿足題設，故①正確；對于②：假設存在，a1＝a，公比為q，若q＝1，an＝a，an＝an，當n≥2時，不存在正整數m，使得Sn＝am，若q≠1，，，要使Sn＝am，則需即1＝qn+qm﹣1﹣qm，q為有理數．由于q≠1，我們有：1+q+…+qn﹣1＝qm﹣1，由高次方程有理數根的判別法，此方程無有理數根．故②錯誤；對于③：由題意，對任意的正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，則存在正整數P使得Sn﹣1＝ap（n≥2），則an＝Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap（n≥2），故③正確．對于④：令an＝2﹣n，則，S1＝S2＝1＝a1，當n≥3時，由于n，3﹣n必有一個為偶數，則Sn是非正整數，一定等于{an}中某一項．但a3＝﹣1，不是{Sn}中的項，故④錯誤．故選：C．二．填空題（共5小題）11．【答案】12．【解答】解：根據直方圖知，抽樣比例為＝，所以應該抽取高三人數為600×＝12（人）．故答案為：12．12．【答案】5．【解答】解：根據題意，點P（3，﹣4，5），則＝（3，﹣4，5），平面α的一個法向量是＝（0，0，﹣1），則點P（3，﹣4，5）到平面α的距離d＝＝＝5，故答案為：5．13．【答案】m＝4，n＝2．【解答】解：方程+＝1表示的曲線為橢圓或雙曲線”是錯誤的一組m，n的值滿足：m＝n+2＞0即可，可取m＝4，n＝2，故答案為：m＝4，n＝2．14．【答案】16．【解答】解：不妨設拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），因為+＝，所以F是線段AB的中點，則AB與x軸垂直，?＝﹣p2＝﹣16，故p＝4，所以點P到AB的距離為p＝4，所以×8×4＝16．故答案為：16．15．【答案】①②④．【解答】解：根據題意，曲線，當x≥0，y≥0時，為+y＝2，即y＝2﹣，當x≥0，y＜0時，為﹣y＝2，即y＝﹣2，當x＜0，y≥0時，為+y＝2，即y＝2﹣，當x＜0，y＜0時，為﹣y＝2，即y＝﹣2，其大致圖形如圖，其中A（﹣4，0），B（0，﹣2），C（4，0），D（0，2）；對于①，曲線，有+|﹣y|＝+|y|＝2，則曲線C關于x軸對稱，①正確；對于②，曲線C：+|y|＝2，有+|﹣y|＝+|y|＝2，則曲線C關于原點對稱，②正確；對于③，由圖形可得：曲線C所圍成的封閉圖形在菱形ABCD的內部，而S菱形ABCD＝16，故有曲線C所圍成的封閉圖形的面積小于16，③錯誤；對于④，當y＝2時，曲線C所圍成的封閉圖形內部有1個整點：（0，2），當y＝1時，曲線C所圍成的封閉圖形內部有3個整點：（1，1），（0，1），（﹣1，1），當y＝0時，曲線C所圍成的封閉圖形內部有9個整點：（﹣4，0），（﹣3，0），（﹣2，0），（﹣1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；當y＝﹣1時，曲線C所圍成的封閉圖形內部有3個整點：（1，1），（0，﹣1），（﹣1，﹣1），當y＝﹣2時，曲線C所圍成的封閉圖形內部有1個整點：（0，﹣2），共有17個整點，④正確；故答案為：①②④．三．解答題（共6小題）16．【答案】見試題解答內容【解答】解：方案一：選擇條件①（Ⅰ）由題意，當n＝1時，a1＝1＝S1＝12+p，解得p＝0，則Sn＝n2，n∈N*．當n≥2時，由Sn＝n2，得，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1（n≥2），經檢驗，a1＝1符合上式，∴．（Ⅱ）依題意，由a1，an，am成等比數列，可得，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化簡，得，∵m，n是大于1的正整數，且m＞n，∴當n＝2時，m有最小值5．方案二：選擇條件②（Ⅰ）依題意，由an＝an+1﹣3，可得an+1﹣an＝3，故數列{an}是以1為首項，3為公差的等差數列，∴．（Ⅱ）依題意，由a1，an，am成等比數列，可得，即（3n﹣2）2＝1×（3m﹣2），化簡，得，∵m，n是大于1的正整數，且m＞n，∴當n＝2時，m取到最小值6．方案三：選擇條件③（Ⅰ）依題意，由2an+1＝an+an+2，可得an+1﹣an＝an+2﹣an+1，故數列{an}是等差數列，又∵a1＝1，a6＝a1+5d＝1+5d＝11，即d＝2，∴．（Ⅱ）依題意，由a1，an，am成等比數列，可得，即（2n﹣1）2＝1×（2m﹣1），化簡，得，∵m，n是大于1的正整數，且m＞n，∴當n＝2時，m有最小值5．17．【答案】（Ⅰ）圓心C的坐標為（2，2），半徑r＝；（Ⅱ）|PQ|的取值范圍是[，]．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，∴圓心C的坐標為（2，2），半徑r＝；（Ⅱ）∵P（5，0），∴|PC|＝，∴|PC|+r＝，|PC|﹣r＝．∵|PC|﹣r≤|PQ|≤|PC|+r，∴|PQ|的取值范圍是[，]．18．【答案】（Ⅰ）a＝3，b＝14，c＝0.28；（Ⅱ）（i）畫圖見解析，（ii）1.088萬步；（Ⅲ）1.3萬步，能．【解答】解：（Ⅰ）因為0.04+0.06+0.10+0.22+0.16+0.14+c＝1，∴c+0.72＝1，∴c＝0.28，因為共50人，∴b＝0.28×50＝14，a＝0.06×50＝3，∴a＝3，b＝14，c＝0.28．（Ⅱ）（i）頻率分布直方圖如下圖所示（ii）設平均值為，則有＝0.012+0.03+0.08+0.198+0.176+0.182+0.42＝1.088，則該單位所有會員當日步數的平均值為1.088萬步．（Ⅲ）∵70%×50＝35，∴70%分位數為第35和36個數的平均數，∵[1.4，1.6]共有14人，且1.3有2個，∴第35和第36個數均為1.3，∴70%分位數為1.3，設x為會員步數，則x?1.3萬時，人數不少于30%，∴能保證30%的工會會員獲得獎勵．19．【答案】見試題解答內容【解答】證明：（Ⅰ）如圖，在矩形ABCD中，∵AB＝2，BC＝4，E為AD中點，∴AB＝AE＝2，∵O為BE的中點，∴AO⊥BE，由題意可知，A'O⊥BE，∵平面A'BE⊥平面BCDE，平面A'BE∩平面BCDE＝BE，A'O?平面A'BE，∴A'O⊥平面BCDE，∵CD?平面BCDE，∴A'O⊥CD．解：（Ⅱ）取BC中點為F，連結OF，由矩形ABCD性質，AB＝2，BC＝4，可知OF⊥BE，由（Ⅰ）可知，A'O⊥BE，A'O⊥OF，以O為原點，OA'為z軸，OF為x軸，OE為y軸建立坐標系，在Rt△BAE中，由AB＝2，AE＝2，則，∴，，，，，設平面A'DE的一個法向量為則，，令y＝z＝1，則x＝﹣1，∴，設直線A'C與平面A'DE所成角為θ，，∴直線A'C與平面A'DE所成角的正弦值為．（Ⅲ）假設在線段A'C上存在點P，滿足OP∥平面A'DE，設由，∴，，若OP∥平面A'DE，則，∴，解得，所以．20．【答案】（1）．（2）t＝時以AB為直徑的圓恒過M．【解答】解：（1）由題意可知，解得b＝c＝，∴a2＝b2+c2＝4，∴橢圓C的方程為．（2）由（1）可知M（2，0），若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝t（﹣2＜t＜2），此時A（t，），B（t，﹣），由得（t﹣2，）?（t﹣2，﹣）＝0，解得t＝或t＝﹣2（舍去），即t＝，若直線l的斜率存在，不妨設直線l的方程為y＝k（x﹣t），A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程，消去y得（1+2k2）x2﹣4k2tx+（2k2t2﹣4）＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，由題意知，，即（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，∴＝0，∴（1+k2）（2k2t2﹣4）﹣（2+k2t）（4k2t）+（4+k2t2）（