中學校本課程

中學數學思想

與常用方法

目錄

前言..........................................0

波利亞的怎樣解題表.............................1

第一章高中數學常用的數學思想................8

函數與方程的思想方法.................9

分類討論的思想方法...................13

特殊與一般的思想方法.................15

數形結合的思想方法...................17

化歸與轉化的思想方法................21

或然與必然的思想方法................23

有限與無限的思想方法................25

第二章高中數學解題基本方法.................28

配方法.............................28

換元法.............................31

待定系數法.........................34

反證法.............................38

定義法..............................41

數學歸納法.........................44

序—

美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題。而當我們

解題時遇到一個新問題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來，只有

對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。高考

試題十分重視對于數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過

程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題

解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查：

常用數學方法：配方法、換元法、待定系數法、數學歸納法、參數法、消去

法等；

數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、

歸納和演繹等；

常用數學思想：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化

歸）思想等。

數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數學知識是

數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，

將來可能忘記。而數學思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬于思

維的范疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用

一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是對你起作

用。

數學思想方法中，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模

式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂,

它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得。

可以說，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核

心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能

力

《高中數學思想與方法》課程綱要

一、基本項目

課程名稱：《高中數學思想與方法》

課程類型:知識拓展類

授課教師：

授課對象：高二學生

二、課程目標

高中學生在學習數學知識的同時應當對數學的思想和方法有所了解和認識，

這不僅因為數學的發展為人類文明積累了大量寶貴的科學思想和科學方法，需要

學生去學習和掌握，更重要的是為學生將來能獨立地開展科學探究、創新活動奠

定堅實的基礎所必須具有的思想與方法。因此本課程旨在為學有余力的同學提供

知識拓展并形成系統而扎實的學科知識體系，加深對數學概念和規律的理解，達

到培養具有完備的學科思想和具有獨立科學探究能力，掌握靈活應用學科知識進

行分析和解決問題的能力，為終身學習打下良好的基礎，同時，也為全國奧林匹

克競賽發現人才和選拔人才做準備。

1、知識與技能

A.系統學習和掌握高中數學知識，深刻理解數學的有關概念，掌握數學相

關規律。

B.掌握數學的科學思想和科學方法，初步能應用數學的思想和方法來分析

數學問題和解決教學問題。

2、過程與方法

A.經歷學習過程，懂得如何進行科學探究的活動。

B.體會數學的科學思想和科學研究方法。

C.學會如何分析數學情景，學會如何進行建模，熟練掌握分析問題和解決

問題的常規和典型的方法與技巧。

3、情感態度及價值觀

A.通過對數學思想和方法的學習，培養學生熱愛數學、關注數學的發展和

數學為社會的發展所帶來的巨大貢獻。

B.樹立熱愛科學、崇尚科學的科學觀和人生觀。

三、課程簡介

本課程包括以下專題：（一）高考中常用數學基本方法：配方法、換元法、

待定系數法、數學歸納法、參數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一

般法、類比與歸納法、觀察與實驗法；（二）高考中常用的數學思想：函數與方

程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想。每個專題都有所側重,

均在課程模塊學習的基礎上進行拓展學習，必要時可以進行加深，以達到系統掌

握數學思想與方法。

四、課程實施

學時安排:每個專題安排時間約為2課時，總課時為20學時，學生每修完本

專題可獲得1學分。每周開1課時，時間0.5學年。

教學方式：課內理論教授與課外實踐相結合，要求課堂采用教師講解法與學

生探討法為主，貫徹新課改精神，采取啟發式教學，同時要求學生課后積極實踐，

即多想多練，課堂內外相結合,培養學生的基本數學素養。

五、課程評價

課程評價采用過程性評價和終結性評價相結的方式，以量化的形式體現：

1、過程性評價

考勤（10%）,課堂交流參與度（10%）；完成作業（任務）情況（20%）；同學

互評（10%）。

2、終結性評價

每個模塊學習結束時，進行一次能力測試或完成一項研究報告（50%）。

3、最終評定成績由上述二方面組成，每方面均不低于應得的60%,可獲得相

應的學分。

波利亞的怎樣解題表

1、喬治?波利亞

喬治?波利亞（GeorgePolya,1887?1985）是美籍匈牙利數學家、數學教育

家.在解題方面，是數學啟發法（指關于發現和發明的方法和規律，亦譯為探索

法）現代研究的先驅.由于他在數學教育方面取得的成就和對世界數學教育所產

生的影響，在他93歲高齡時，還被ICME（國際數學教育大會）聘為名譽主

席.

作為一個數學家，波利亞在函數論、變分法、概率、數論、組合數學、計算

和應用數學等眾多領域，都做出了開創性的貢獻，留下了以"波利亞”命名的定理

或術語；他與其他數學家合著的《數學分析中的問題和定理》、《不等式》、《數學

物理中的等周問題》、《復變量》等書堪稱經典；而以200多篇論文構成的四大卷

文集，在未來的許多年里，將是研究生攻讀的內容.

作為一個數學教育家，波利亞的主要貢獻集中體現在《怎樣解題》（1945年）、

《數學與似真推理》（1954年）、《數學的發現》（1962年）三部世界名著上，涉及"解

題理論"、"解題教學"、"教師培訓”三個領域.波利亞對數學解題理論的建設主要

是通過“怎樣解題"表來實現的，而在爾后的著作中有所發展，也在“解題講習班"

中對教師現身說法.他的著作把傳統的單純解題發展為通過解題獲得新知識和新

技能的學習過程，他的目標不是找出可以機械地用于解決一切問題的“萬能方

法"，而是希望通過對于解題過程的深入分析，特別是由已有的成功實踐，總結

出一般的方法或模式，使得在以后的解題中可以起到啟發的作用.他所總結的模

式和方法，包括笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式、分解與組合方法、一般化與

特殊化方法、從后往前推、設立次目標、歸納與類比、考慮相關輔助問題、對問

題進行變形等，都在解題中行之有效.尤其有特色的是，他將上述的模式與方法

設計在一張解題表中，并通過一系列的問句或建議表達出來，使得更有啟發意

義.著名數學家互爾登在瑞士蘇黎世大學的會議致詞中說過："每個大學生、每

個學者、特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書"（1952年2月2日）.

2、怎樣解題表

波利亞是圍繞“怎樣解題"、"怎樣學會解題"來開展數學啟發法研究的，這首

先表明其對"問題解決"重要性的突出強調，同時也表明其對“問題解決"研究興趣

集中在啟發法上.波利亞在風靡世界的《怎樣解題》（被譯成14種文字）一書中

給出的"怎樣解題表"，正是一部"啟發法小詞典”.

2.1"怎樣解題”表的呈現

第一：弄清問題

未知是什么？已知是什么?條件是什么?滿足條件是否可能？

要確定未知，條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛

弄清問題盾的？

畫張圖，引入適當的符號.

把條件的各個部分分開.你能否把它們寫下來？

第二：擬定計劃

你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同？

你是否知道與此有關的問題?你是否知道一個可能用得上的定理？

看著未知數，試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題.

這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題.

找出已知數

你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎?為了能利用

與未知數之間

它，你是否應該引入某些輔助元素？

的聯系.如果

你能不能重新敘述這個問題?你能不能用不同的方法重新敘述它？

找不出直接的

回到定義去.

聯系，你可能

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題.你能

不得不考慮輔

不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問

助問題.

題?一個類比的問題?你能否解決這個問題的一部分?僅僅保持條件的一部

你應該最終得

分而舍去其余部分.這樣對于未知數能確定到什么程度?它會怎樣變化?你

出一個求解的

能不能從已知數據導出某些有用的東西?你能不能想出適合于確定未知數

計劃

的其他數據?如果需要的話，你能不能改變未知數或數據，或者二者都改變,

以使新未知數和新數據彼此更接近？

你是否利用了所有的已知數據?你是否利用了整個條件?你是否考慮了

包含在問題中的必要的概念？

第三：實現計劃

實行你的計實現你的求解計劃，檢驗每一步驟.

劃你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的？

第四：回顧

你能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出這個結果?你能不能一下子

驗算所得到

看出它來？

的解

你能不能把這一結果或方法用于其他的問題？

下面是實踐波利亞解題表的一個示例，能夠展示波利亞解題風格的心路歷

程，娓娓道來，栩栩如生.

2.2"怎樣解題"表的實踐

例1給定正四棱臺的高h,上底的一條邊長a和下底的一條邊長b,求正

四棱臺的體積F.（學生已學過棱柱、棱錐的體積）

講解第一，弄清問題.

問題1.你要求解的是什么？

要求解的是幾何體的體積,在思維中的位置用一個單點F象征性地表示出來（圖

問題2.你有些什么？

一方面是題目條件中給出的3個已知量a、b、h；另一方面是已學過棱柱、

棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經驗.把已知的三個量添到圖示處

（圖2）,就得到新添的三個點a、b、h；它們與F之間有一條鴻溝，象征問題尚未

解決，我們的任務就是將未知量與已知量聯系起來.

第二，擬定計劃.

問題3.怎樣才能求得F?

由于我們已經知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺的幾何結構（棱臺的定義）

告訴我們，棱臺是"用一個平行于底面的平面去截棱錐"，從一個大棱錐中截去一

個小棱錐所生成的.如果知道了相應兩棱錐的體積B和A,我們就能求出棱臺的

體積

F=B-A.①

我們在圖示上引進兩個新的點A和B,用斜線把它們與F聯結起來，以此表

示這三個量之間的聯系（圖3,即①式的幾何圖示）.這就把求F轉化為求A、B.

問題4.怎樣才能求得A與B?圖形幾何圖示

依據棱錐的體積公式（V=；Sh）,底面積可由

已知條件直接求得，關鍵是如何求出兩個棱錐的

高.并且，一旦求出小棱錐的高X,大棱錐的高也

就求出，為X+h.

我們在圖示上引進一個新的點X,用斜線把A

與X、a連結起來,表示A能由a、X得出，A=-a2X；

3

類似地，用斜線把B與b、h、X連結起來，表示B

可由b、x、X得出，B=gb2（X+h）（圖4）,這就把

求A、B轉化為求X.

問題5.怎樣才能求得X?

為了使未知數X與已知數a、b、h聯系起來，

建立起一個等量關系.我們調動處理立體幾何問題的基本經驗，進行"平面化"

的思考.用一個通過高線以及底面一邊上中點（圖5中，點Q）的平面去截兩個棱

錐，在這個截面上有兩個相似三角形能把a、b、h、X聯系起來（轉化為平面幾何

問題），由△VPOisavQCh得

上.=0圖形兒何圖示

x+hb②I，

這就將一個幾何問題最終轉化為代數方程的求/尸分^

解.解方程②，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可/\/\

用斜線將x與a、b、h連結起來.至此，我們己在F（必二0（*蔣

與已知數a、b、h之間建立起了一個不中斷的聯絡網,

圖5

解題思路全部溝通.

第三，實現計劃.

xaah

作輔助線（過程略）如圖5,由相似三角形的性質，得"工一各，解得x=F.

a，

進而得兩錐體的體積為A=la2x=-二工,

33

Nh

B=-b2（x+h）=lb-a,

33

得棱臺體積為

0-a3M

F=B—A=3.b-a=1（a2+ab+b2）h.③

3

第四，回顧.

⑴正面檢驗每一步，推理是有效的，演算是準確的.再作特殊性檢驗，令

a00,由③可得正四棱錐體的體積公式；令a9b,由③可得正四棱柱體的體積

公式.這既反映了新知識與原有知識的相容性，又顯示出棱臺體積公式的一般性;

這既溝通了三類幾何體極限狀態間的知識聯系，又可增進三個體積公式的聯系記

憶.

⑵回顧這個解題過程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信

息（如圖1所示，有棱臺，a、b、h、F共5條信息），同時又要及時提取記憶網絡

中的有關信息（如回想：棱臺的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質定理、

反映幾何結構的運算、調動求解立體幾何問題的經驗積累等不下6條信息），并

相應將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合.這當中，起調控作用的關鍵是如何

去構思出一個成功的計劃（包括解題策略）.由這一案例，每一個解題者還可以根

據自己的知識經驗各自進一步領悟關于如何制定計劃的普遍建議或模式.

⑶在解題方法上，這個案例是分析法的一次成功應用，從結論出發由后往

前找成立的充分條件.為了求F,我們只需求A、B（由棱臺體積到棱錐體積的轉

化一一由未知到已知，化歸）；為了求A、B,我們只需求x（由體積計算到線段計

算的轉化一一由復雜到簡單，降維）；為了求x,我們只需建立關于x的方程（由幾

何到代數的轉化一一數形結合）；最后，解方程求x,解題的思路就暢通了，在當

初各自孤立而空曠的畫面上（圖1）,形成了一個聯接未知與已知間的不中斷網絡

（圖5）,書寫只不過是循相反次序將網絡圖作一敘述.這個過程顯示了分析與綜

合的關系，"分析自然先行，綜合后繼；分析是創造，綜合是執行；分析是制定

一個計劃，綜合是執行這個計劃

（4）在思維策略上，這個案例是“三層次解決”的一次成功應用.首先是一般性

解決（策略水平上的解決），把F轉化為A,B的求解（F=A—B）,就明確了解題

的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），發揮組合與分解、相似形、

解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決（技能水平的解決），比如按照棱臺

的幾何結構作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式

等，是對推理步驟和運算細節作實際完成.

⑸在心理機制上，這個案例呈現出"激活一一擴散"的基本過程.首先在正四

棱臺（條件）求體積（結論）的啟引下，激活了記憶網絡中棱臺的幾何結構和棱錐的

體積公式，然后，沿著體積計算的接線向外擴散，依次激活截面知識、相似三角

形知識、解方程知識（參見圖1?圖5）,......直到條件與結論之間的網絡溝通.這

種"擴散一一激活”的觀點，正是數學證明思維中心理過程的一種解釋.

（6）在立體幾何學科方法上，這是"組合與分解"的一次成功應用.首先把棱臺

補充（組合）為棱錐，然后再把棱錐截成（分解）棱臺并作出截面，這種做法在求棱

錐體積時曾經用過（先組合成一個棱柱、再分解為三個棱錐），它又一次向我們展

示"能割善補”是解決立體幾何問題的一個訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體

幾何與平面幾何聯系的一座重要橋梁.這些都可以用于求解其他立體幾何問題，

并且作為一般化的思想（化歸、降維）還可以用于其他學科.

（7）"你能否用別的方法導出這個結果?”在信念上我們應該永遠而堅定地做出

肯定的回答，操作上未實現只是能力問題或暫時現象.對于本例，按照化棱臺為

棱錐的同樣想法，可以有下面的解法.

如圖6,正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，連結DAI,DB1,DCl,DB,

將其分成三個四棱錐D-A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中

圖6圖7

為了求力-儀電，我們連結AB1,將其分為兩個三棱錐D-ABBl與D-A

bh

A1B1(圖7),因SAMB,=AS*BB\,故%-A4//=aV"AB四,

1

但力-ABB,="、-ABD=3.2a2-h=6a2h,

1L11

故%一"即=%_.陰=%a2h+a.%a2h=d(a2+ab)h.

從而“BCO-A&GA=%-A414b_|_%-5"iGC+

=3(a2+ab+b2)h.

⑻〃你能不能把這一結果或方法用于其他問題?〃

能，至少我們可以由正四棱臺體積公式一般化為棱臺體積公式(方法是一

樣的).注意到

a2=Sl,b2=S2,ab=4sls2,

可一般化猜想棱臺的體積公式為

丫臺=；(si+V^+S2)h.

第一章高中數學基本思想

第一：函數與方程思想

函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉；在研究方程、

不等式、數列、解析幾何等其他內容時起著重要作用；

方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎；

高考把函數與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查；

第二：數形結合思想

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面，在一維空間,

實數與數軸上的點建立一一對應關系，在二維空間，實數對與坐標平面上的點建

立---1對應關系；

數形結合中，選擇、填空側重突出考查數到形的轉化，在解答題中，考慮

推理論證嚴密性，突出形到數的轉化；

第三：分類與整合思想

分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，從具體出發，選取

適當的分類標準，

劃分只是手段，分類研究才是目的；

有分有合，先分后合，是分類整合思想的本質屬性；

含字母參數數學問題進行分類與整合的研究，重點考查學生思維嚴謹性與

周密性；

第四：化歸與轉化思想

將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化

歸為已解決問題，靈活性、多樣性，無統一模式，利用動態思維，去尋找有利于

問題解決的變換途徑與方法；

高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、

命題的等價轉化；

第五：特殊與一般思想

通過對個例認識與研究，形成對事物的認識，由淺入深，由現象到本質、

由局部到整體、由實踐到理論，由特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過程;

構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特

殊方程；

第六：有限與無限的思想

把對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必經之路；

積累的解決無限問題的經驗，將有限問題轉化為無限問題來解決是解決的

方向；

立體幾何中求球的表面積與體積，采用分割的方法來解決，實際上是先進

行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數學思想的應用；

第七：或然與必然的思想

隨機現象兩個最基本的特征，一是結果的隨機性，二是頻率的穩定性；

偶然中找必然，再用必然規律解決偶然；

等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發

生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數學期望是考查的重點；

第一節函數與方程思想

一、函數與方程

函數與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系，方程f(x)=O

的解就是函數y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y=f(x)也可以看作

二元方程f(x)-y=O通過方程進行研究。

就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助

有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值

范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所

研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的.許多

有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方

法來解決。函數與方程的思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點。

1.函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關

系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問

題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解

題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。

2.方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程

組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問

題，使問題獲得解決。方程的數學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是

善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中

的等量關系.

3.(1)函數和方程是密切相關的，對于函數y=f(x),當y=0時，就

轉化為方程f(x)=0,也可以把函數式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

函數問題(例如求反函數，求函數的值域等)可以轉化為方程問題來求解，

方程問題也可以轉化為函數問題來求解，如解方程f(x)=0,就是求函數y

=f(x)的零點。

(2)函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y=f(x),當y>0時，就

轉化為不等式f(x)>0,借助于函數圖像與性質解決有關問題，而研究函數的

性質，也離不開解不等式。

(3)數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點處

理數列問題十分重要。

(4)函數f(x)=(ax+加"(nGN*)與二項式定理是密切相關的，利用這

個函數用賦值法和比較系數法可以解決很多二項式定理的問題。

(5)解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關系問題，需

要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數的有關理論。

(6)立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用布列

方程或建立函數表達式的方法加以解決。

二、例題解析

I.運用函數與方程、表達式相互轉化的觀點解決函數、方程、表達式問題。

【例1】已知叵二^=1,(a、b、cWR),則有()

5a

2222

(A)b>4ac(B)b>4QC(C)h<4ac(D)h<4ac

解析法一：依題設有a?5—b?V5+C=0

石是實系數一元二次方程ox?+—+c=0的一個實根；

—4ac20/.h2>4ac故選(B)

法二：去分母，移項，兩邊平方得：

5b2=25a2+10ac+c2^10ac+2,5a,c=20ac

b2>4ac故選(B)

點評解法一通過簡單轉化，敏銳地抓住了數與式的特點，運用方程的思想使問

題得到解決；解法二轉化為b2是a、c的函數，運用重要不等式，思路清晰，水

到渠成。

練習1已知關于x的方程x2—(2機-8)x+帆,-16=0的兩個實根%,>

3

匕滿足陽V—,則實數加的取值范圍—

17

答案：｛m|--<m<—｝；

練習2已知函數=+4的圖象如下，則()

(A)/?e(-oo,0)(B)〃€(O,1)

(C)Z?e(l,2)(D)be(2,+oo)

答案：A.

II：構造函數或方程解決有關問題:

【例2】已知/(f)=log2'，tG[四，8],對于f(t)值域內的所有實數m,不等式

X2+/77X+4>2/72+4%恒成立，求X的取值范圍。

解析[收，8],.?.f(t)e[L3]

2

原題轉化為：相。-2)+。-2)2>0恒成立，為m的一次函數(這里思維的轉化

很重要)

當x=2時，不等式不成立。

；.x#2。令g(m)=機(》一2)+(%-2)2,mW[；,3]

問題轉化為g(m)在m￡[L,3]上恒對于0,則：

2[g⑶>。

解得:x>2或x<—1

評析首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m,不等式的

左邊恰是m的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決。在多個字母變量

的問題中，選準“主元”往往是解題的關鍵。

m：運用函數與方程的思想解決數列問題

【例3】設等差數列｛an｝的前n項和為Sn，已知。3=12,S12>0,S”<0,

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出跖、§2、S3…,S'中哪一個最大,并說明理由。

解析(1)由%=設得：6=12-24,

VS12=12^+441=144+42d>0513=136+78d=156+52d<0

/八。n(n-l),1,2八c5

(2)Sn—na、H-------d=—dn+(12—d)〃

512

Vd<0,S“是關于n的二次函數，對稱軸方程為：x=--—

2d

2451213

V--<d<-3—<—.?.當n=6時，S”最大。

72d2”

三、強化練習

1.已知方程2x+/n)，一2x+〃)=0的四個根組成一個首項為工的等差數列,

4

則|加_〃|=()

3I

2.已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)=：,sin(A—B)=g。

I.求證tanA=2tanB；

H.設A8=3,求AB邊上的高。

3.甲、乙、丙三臺機床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機床加工的零件是

一等品而乙機床加工的零件不是一等品的概率為1，乙機床加工的零件是一等品

4

而丙機床加工的零件不是一等品的概率為甲、丙兩臺機床加工的零件都是

12

一等品的概率為4。

9

I.分別求甲、乙、丙三臺機床各自加工的零件是一等品的概率；

H.從甲、乙、丙加工的零件中各取一個進行檢驗，求至少有一個是一等品的概率。

第二節分類討論思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類,

并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。所謂分類討論，就是當問題所

給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一

類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答.實質上,

分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數學策略.

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

①問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、

a〈0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

②問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，

或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=l和qWl兩種情況。

這種分類討論題型可以稱為性質型。

③解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等

式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論

等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一

的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條

是“不漏不重”。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及

所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、

不漏不重、分類互斥(沒有重復)；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取

階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。

不等式的分類討論

［例1］解關于“的不等式：ax?-(a+l)x+l<0.

分析：這是一個含參數a的不等式，一定是二次不等式嗎？不一定，故首先

對二次項系數a分類：(1)a#)(2)a=0,對于(2),不等式易解；對于(1),

又需再次分類：a>0或a<0,因為這兩種情形下，不等式解集形式是不同的；不

2

等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間。而確定這一點之后，又會遇到1與￡

誰大誰小的問題，因而又需作一次分類討論。故而解題時，需要作三級分類.

解：(1)當a=0時，原不等式化為-x+l<0：.x>11

(2)當aw0時，原不等式化為心-1)。-［)

a.

①若a<0,則原不等式化為(x-l)(x-1)>0

a

②若a>0,則原不等式化為(x-

a

G)當a>l時，1<1,不等式解為

aa

(ii)當a=l時，-=1,不等式解為xC0

a

(iii)當0<a<1時，—>1,不等式解為l<x<1

aa

綜上所述，得原不等式的解集為

當a<0時，解集為<xx或x>1,

a

當a=0時，解集為

當0<a<l時，解集為<xl〈x〈L

a

當a=l時，解集為0.

9

當白>1時，解集為

a

第三節特殊與一般思想

特殊與一般的思想是中學數學的重要思想之一，有些特殊問題的解決，需

要我們通過一般性規律的研究來處理；而對于具有一般性的問題，我們也常通過

考察其特殊情況(如特殊圖形、特殊位置、特殊取值等)揭示其一般規律.這種

特殊與一般的辯證思想往往貫穿于解決數學問題的整個過程之中.下面結合有關

幾何問題，談談特殊與一般思想的應用.

一、特殊與一般思想在幾何中的應用

【例1】如圖1,在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長3的

正方形，EF〃AB,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積可能為().

B.5

C.6

D妥

解：本題的圖形是多面體，需要對其進行必要的分割.連EB、EC,得四

棱錐E-ABCD和三棱錐E—BCF,這當中，四棱錐E—ABCD的體積易

求得V-ABCD=WX3x3x2=6,又因為一個幾何體積的體積應大于它的部分

體積，所以不必計算三棱錐E—BCF的體積，就可以排除A,B,C,故選D.

【例2】如圖2,三棱柱ABC—A?B?C?的側棱AA?和BB?上各

有一動點P、Q滿足A|P=BQ,過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分,

則其體積之比為（）.

A.1；3B.1：2

C.1：3D.1：4

解：由題意可知動點P、Q滿足的一般性條件是AiP=BQ,所以取點

P與點A,點Q與點Bi分別重合這一特殊位置，如圖3,于是易得過P、Q、

C三點的截面把棱柱分成兩部分體積之比為1：2,故選B.

二、用特殊與一般思想解函數和數列題

特殊化與一般化貫穿于整個解題過程之中.通過特殊化能使我們認識問題

更加全面，而將問題一般化能使我們認識問題更加深刻.“從特殊到一般，再由一

般到特殊”正是這一數學思想的具體體現.下面結合有關函數與數列的問題，談談

特殊與一般思想的應用.

%2

【例1】（1）已知函數f（X）=值,那么

/⑴短2）班!”⑶然于）欣4）+（為=

（2）設｛aj是首項為1的正項數列，且凡）,

則它的通項公式an=

解:

..所求=內)十[人2)短9)]+[/(3)+

人，)M火4)短:)1=；+3=彳.

(2)解法1：將所給等式左邊分解因式，得(an+i+an)[(n+1)an+i-nan]

=0.

?an+i+an>0,??(n+1)an+i-nanu。.

1_

又a1=l,/.nan=(n-1)an-i=(n-2)an-2=.??=2a2=ai=l.所以an二了.

解法2：(特例法)當n=l時，由所給等式得W-1+a2=0,即(2a2-l)

(32+1)=0.

1

?a2>0,??a2=2.

3j——+L的力艮[](3oi—1)(%+—)=0.

當n=2時，由所給等式得％22%網"八的2"

11_

/.H3=T........由此猜想an=￡.

a.=].a,I=]

將出孔川71+1代入所給等式左邊，得

1

(n+1)(-1-)2—M-L)2十——=-L^--L+=0

n+lnn(n+l)n+1nn(n+l),即原等式成立.

1

故an=n.

【例21在等差數列｛an｝和｛bn｝中，Sn與Tn分別為其前0項和，

若兀？i十3求bqbm

a1+f-（7i-1）d?

解法1:*=

Tnb（n—1）4

令會（孔-1）=8,則n=17,

所以0_=』2_=3x17+1=旦.

品Tn17+35

令）=m-l,則n=2雁-1,所以

=Srn-i二3m-1

bmT7/n~\m+1

解法2：0_=9_=皿虹=&L=旦.

bq2慶61+6177175

一一。1十電/?-1一一3?72-1

b6m,6|十/?2^一|^2/n-lIYL~^~1

第四節數形結合思想

談起數形結合，不禁想起著名數學家華羅庚的詩句:

數形本是相倚依,焉能分作兩邊飛?

數缺形時少直覺,形少數時難入微,

數形結合百般好,隔離分家萬事休,

幾何代數統一體,永遠聯系莫分離.

數形結合的思想，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使

抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，

實現抽象概念與具體形象、表象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀.

數形結合的思想，其應用包含兩點：

1.“形”中覓“數很多數學問題，已知圖形已經作出或容易作出，要解

決這類問題，主要是尋找恰當表達問題的數量關系式，即將幾何問題代數化，以

數助形，使問題獲解.

2.“數”上構“形”；很多數學問題，本身是代數方面的問題，但通過觀察

可發現它具有某種幾何特征.由這種幾何特征可以發現數與形之間的新關系，將

代數問題化為幾何問題，使問題獲解。

但是這兩點又不是彼此獨立的，而是互相聯系的，比如在解析幾何中，雖然

研究的是用代數方法解決幾何問題，但是由于我們在研究中得到某些代數表示式

具有明顯的幾何意義，因此對于某些代數問題，在確定合適的坐標系后，也司獲

得幾何解釋，從而能借助幾何加以解決.因此，運用代數方法研究幾何問題或應

用幾何方法研究代數問題，是數形結合思想在兩個方面的應用.

在我們的中學教材中，數形結合的思想幾乎滲透到每一章的內容之中.初中

教材把實數與數軸對應起來；高中教材把函數與其圖象聯系起來；解析幾何把方

程與曲線聯系起來；甚至等差(比)數列的通項也給予了幾何說明等等，不勝枚舉.

軸是x=2,所以畫一個草圖示意，可作出判斷應選(A)。

評注：由圖象比較函數值的大小，實質上就是看圖象上的點

的位置的高低，當然具體的判斷還需要充分注意函數本身的性質，

如單調性、周期性、奇偶性、對稱性等。

【例2】已知函數f(x)=log,/x+l|在區間(T,0)上有f(x)〉0,那么f(x)

在(-8,-1)上是()

(A)減函數(B)增函數(C)增減隨a變化(D)不能確定

分析：本例涉及對數函數基礎知識的綜合應用，如函數的對稱性、單調性及

平移問題，因而用圖象進行思考就容易判斷。先考慮a>l時，f(x)圖象是y

=logjx|的圖象向左移一個單位，如圖所示,這時在區間(-1,0)上不滿足f(x)>0,

因而a>l不可能，從而只有0<aG,此時圖象在(-1,0)上有f(x)>0,它又以x=T

為對稱軸，在(-8,-1)上f(x)為增函數，故選(B)。

評注：函數與圖象是緊密相連的，研究函數性質(在中學主要考慮單調性、

奇偶性、周期性、對稱性等)時，既可用代數方法(如奇偶性考慮f(-x)與f(x)

是否相等或互為相反數)研究，也可用幾何圖形研究(如奇偶性考察其圖象是否關

于原點對稱或y軸對稱)，在教學中，我們更傾向于用函數圖象來理解和記憶，

比如一次函數、二次函數、指對數函數、三角函數等，觀察圖象，其性質是一目

了然的。

【例3】設對于任意實數xe卜2,2],函數〃x)=lg(34-歌一，)總有意義,

求實數a的取值范圍。

解法1：函數」(乃有意義，貝7>0,即/+仍-3a<。在'e[-2,2]±

總成立。

設g(力=/+〃-玄,即當xe卜2,2]時，g(x)<0總成立。

fg(-2)<0

<

...依拋物線y=gS)的特征，將其定位，有匕⑵<°，如圖1所示。

4-5a<0

解得a>4

4-a<0

解法2：對于不等式3a-"-->0,因為卜2,2],所以3-5],不

>3—xH------6

等式可化成“3-x

9

只要a>h(x)=3-----6

3-x的最大值即可。

Z=3-x,xel1,5|,6+%（乃=￡+二、

設1Jz的圖象如圖2所示，可知6+%。）的最大

值為10,故力熾）最大值為4,則a>4。

圖2

評注：解法1抓住了拋物線的特征，由實數a的不等式組，將拋物線定位，再求

解范圍。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次數形結合

的機會。解法2將實數a從不等式中分離出來，對后邊函數中3-x換元后，利

用典型函數圖象直觀地求其最大值，求得a的范圍，體現數形結合的思想，不失

為好辦法。

第五節化歸與轉化思想

“化歸與轉化”思想是處理數學問題的一種基本策略.轉化和化歸就是對原

問題換一個方式、換一個角度、換一個觀點加以考慮，就是在數學研究中，把要

解決的問題通過某種轉化，再轉化，化歸為一類已經解決或比較容易解決的問題,

從而使問題得到圓滿解決的思維方法.

一、概念和載體之間的相互轉化

依據題意，從定義、定理、公式、概念出發，化抽象為具體，化復雜為簡單,

從縱向和橫向進行聯想轉化.

hm］n

【例1】函數極限與f。二^的值為().

A.B.—C.4D.―--

2x02x02VXQ"

解：本題借用函數極限的具體形式，旨在考查學生對導數定義的正確理解,

因而轉化為求函數y=lnxG"在x=xo處的導數，故選C.

二、特殊和一般之間的轉化

_lr.__.L團￡N+，財im、

［例1］數列｛aj中，ai=5,an+an+l5*…(ai+a2+...+an)

解：通過求歹必=亨'"=尹'猜想.k丁'從而達到解決問題的目

的.也可以利用數列極限的含義進行重組變形，可轉化為無窮等比遞縮數列的求

和，原式2222

,±-(四十的)

(a、)+**,=----1--------------------

n10,_1_4