離散型隨機變量的期望(1)一般地，設離散型隨機變量ξ可能取的值為

x1，x2，……，xi，…，

ξ取每一個值xi(i＝1，2，…)的概率P(ξ＝xi)＝pi，則稱下表為隨機變量ξ的概率分布，簡稱為ξ的分布列．

由概率的性質可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．一.復習提問離散型隨機變量的分布列和性質首頁上頁下頁ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…某射手射擊所得環數ξ的分布列如下：在n次射擊之前，雖然不能確定各次射擊所得的環數，但可以根據已知的分布列估計n次射擊的平均環數．根據這個射手射擊所得環數ξ的分布列，他在n次射擊中，預計有大約P(ξ＝4)×n＝0.02n次得4環，P(ξ＝5)×n＝0.04n次得5環，……P(ξ＝10)×n＝0.22n次得10環．n次射擊的總環數約等于4×0.02×n＋5×0.04×n＋…＋10×0.22×n＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n，從而，n次射擊的平均環數約等于4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32．能否估計出該射手n次射擊的平均環數？首頁上頁下頁類似地，對任一射手，若已知其射擊所得環數ξ的分布列，即已知各個P(ξ＝i)(i＝0，1，2，…，10)，則可預計他任意n次射擊的平均環數是Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋…＋10×P(ξ＝10)．我們稱Eξ為此射手射擊所得環數ξ的期望，它刻劃了隨機變量ξ所取的平均值，從一個方面反映了射手的射擊水平．首頁上頁下頁一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為

則稱Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…

為ξ的數學期望或平均數、均值，數學期望又簡稱為期望．設η＝aξ＋b，其中a，b為常數，則η也是隨機變量．因為P(η＝axi＋b)＝P(ξ＝xi)，i＝1，2，3，…

所以，η的分布列為于是

Eη＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋…

＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…)

＝aEξ＋b．即E(aξ＋b)＝aEξ＋b．首頁上頁下頁ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…

例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球1次的得分ξ的期望．解：因為P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3，所以Eξ＝1×P(ξ＝1)＋0×P(ξ＝0)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7．首頁上頁下頁例2隨機拋擲一個骰子，求所得骰子的點數ξ的期望．解：拋擲骰子所得點數ξ的概率分布為所以首頁上頁下頁ξ123456P1/61/61/61/61/61/6例3有一批數量很大的產品，其次品率是15％．對這批產品進行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續抽查，直到抽出次品，但抽查次數最多不超過10次．求抽查次數ξ的期望(結果保留三個有效數字)．解：抽查次數ξ取1～10的整數，從這批數量很大的產品中每次抽取一件檢查的試驗可以認為是彼此獨立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k－1次取出正品而第k次(k＝1，2，…，9)取出次品的概率P(ξ＝k)＝0.85k-1×0.15，(k＝1，2，…，9)；需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P(ξ＝10)＝0.859由此可得ξ的概率分布如下：根據以上的概率分布，可得ξ的期望Eξ＝1×0.15＋2×0.1275＋…＋10×0.2316＝5.35．首頁上頁下頁練習：1、已知隨機變量的分布列為012345P0.10.20.30.20.10.1求E2、拋擲一枚硬幣，規定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分的期望。2.303、隨機拋擲一個骰子，求所得骰子點數的期望。3.5首頁上頁下頁題后反思：

1、求期望的一般步驟：1）求出分布列；2）利用定義求期望。2、數學期望與算術平均值的關系。首頁上頁下頁1、若E=3，=2＋4，則

E=

2、某籃球運動員投籃的命中率是,在某次投籃比賽中,共投籃3次,設是他投中的次數:1)求E;2)若投中得5分,求他得分的期望;3)若組委會規定,每位運動員以10分為基礎,

求他得分的期望。

10首頁上頁下頁練習：課堂小結：