第八章向量的數量積與三角恒等變換《兩角和與差的正弦、正切》課件學習目標1.會推導出兩角和與差的正弦公式、正切公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行簡單的三角函數的求值、化簡、證明.3.會利用輔助角公式化asinα+bcosα為一個角的三角函數的形式.重點：兩角和與差的正弦、正切公式的應用.難點：利用兩角和的正弦公式變asinα+bcosα為一個角的三角函數的形式.Sα+β：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； Sα-β：sin（α-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ. 兩角和的正弦公式兩角差的正弦公式你發現這兩組公式有何結構特征？

正余余正，符號相同.知識梳理一、兩角和與差的正弦1.兩角和與差的正弦公式及其推導根據兩角和與差的余弦公式（即Cα+β與Cα-β）可以證明如下的

兩角和與差的正弦公式.公式的證明：而且sin（α-β）＝sin［α+（-β）］＝sinαcos（-β）+cosαsin（-β）＝sinαcosβ-cosαsinβ.2.輔助角公式輔助角公式實質上就是兩角和與差的余弦、正弦公式的逆用.

二、兩角和與差的正切公式思考：在兩角和與兩角差的正弦、余弦公式的基礎上，你能用tanα，tanβ表示tan（α+β）和tan（α-β）嗎？其中α，β應該滿足什么條件？

歸納總結：兩角和的正切公式兩角差的正切公式公式的結構特征：（1）公式的右邊為分式形式，其中分子為tanα，tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和.（2）公式中左邊的加減號與右邊分子上的加減號相同，與分母上的加減號相反.符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”.注意：當α，β，α±β角的正切值不存在時，不能使用上述公式，但可以用誘導公式或其他方法解題.

想一想：對于兩角和與差的正切公式，你能寫出它的幾種變形嗎？提示：tanαtanβ，tanα±tanβ，tan（α±β）三者知二求一.常考題型一、化簡與求值【解題提示】（1）利用誘導公式將角變形后再拆分成特殊角；（2）由式子聯想到兩角和的正弦公式，先利用誘導公式把sin76°cos74°變形，使待求的式子轉化為符合兩角和的正弦公式形式，逆用公式；（3）把1變為tan45°逆用兩角和的正切公式；（4）根據10°與35°的和是45°變形使用兩角和的正切公式.B【解題提示】將7°轉化為15°與8°的差，利用兩角差的正、余弦公式展開化簡，最后再把15°轉化為特殊角45°與30°的差，得三角函數值.2.化簡◆三角函數式的化簡思路1.一看“角”：通過看角之間的差別和聯系，合理拆分或合成，再正確使用公式；2.二看“函數名”：看函數名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”等；3.三看“結構特征”：分析結構特征，找到變形方向，如：通分、輔助角公式等.

1二、條件求值1.給值求值◆給值求值問題的解法在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關系，恰當地運用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關系，利用角的代換化異角為同角.具體做法如下：（1）當條件中有兩角時，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.（2）當已知角有一個時，可利用誘導公式把所求角轉化為已知角.（3）常見的變角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.

C2.給值求角◆給值求角問題的解答步驟第一步，求角的某一個三角函數值；第二步，確定角所在的范圍；第三步，根據角的取值范圍寫出所求的角.

【方法技巧】至于選取角的哪一個三角函數值，應根據所求角的取值范圍確定，最好是角的取值范圍在該函數的單調區間內，這樣可以使得求得的角唯一，而不需要討論解的情況.

訓練題

三、兩角和與差的三角函數在三角形中的應用例5

［2019·貴州遵義四中高一檢測］在△ABC中，tanAtanB>1，判斷△ABC的形狀.【解題提示】由三角形內角和為π以及誘導公式、兩角和的正切公式進行化簡，判斷三個角正切值的符號即可得到三角形形狀.

B四、輔助角公式的應用例6函數f（x）＝sinx+cosx-3的最大值為

.【解題提示】運用輔助角公式統一三角函數的名稱，再根據正弦型（或余弦型）函數的性質求得最大值.

B五、和（差）角公式與平面向量的綜合問題

【解題歸納】1.與三角函數聯系比較緊密的向量運算（1）向量的坐標運算；（2）向量共線的坐標表示；（3）向量模的坐標表示；（4）向量數量積運算.2.解決途徑（1）轉化：利用向量定義、性質、坐標運算等轉化為三角函數運算，結合三角恒等變換公式、輔助角公式等化簡；（2）數形結合：利用三角函數的圖像和性質求解.

C

小結2．應用公式需注意的三點(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創造條件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，將未知角用已知角表