學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)列中裂項求和的幾種常見模型數(shù)列問題是高考的一大熱點，而且綜合性較強，既注重基礎(chǔ)知識的掌握,又注重數(shù)學思想與方法的運用。而此類問題大多涉及數(shù)列求和，所以數(shù)列求和方法是學生必須掌握的,主要的求和方法有:公式法、拆項重組法、并項求和法，裂項相消法、錯位相加法、倒序相加法等等，而裂項相消法是其中較為基礎(chǔ)、較為靈活的一種，也是出現(xiàn)頻率最高，形式最多的一種。下面就例舉幾種裂項求和的常見模型，以供參考。模型一：數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列,且,則例1已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點,其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為,點均在函數(shù)的圖像上。（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ)設(shè)，是數(shù)列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m；（2006年湖北省數(shù)學高考理科試題）解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù)f（x)＝ax2+bx(a≠0)，則f`(x）=2ax+b,由于f`（x）=6x－2，得a=3，b=－2,所以f（x）＝3x2－2x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以＝3n2－2n。當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5。當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5()（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－).因此，要使（1－）〈（）成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10。。例2在xoy平面上有一系列點,…,，…，（n∈N*),點Pn在函數(shù)的圖象上，以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切,且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切。若。（I）求數(shù)列的通項公式；（II）設(shè)圓Pn的面積為解：(I）圓Pn與Pn+1彼此外切，令rn為圓Pn的半徑，兩邊平方并化簡得由題意得，圓Pn的半徑為首項，以2為公差的等差數(shù)列，所以(II)，所以，模型二：分母有理化，如:例3已知,的反函數(shù)為，點在曲線上，且（I)證明數(shù)列｛｝為等差數(shù)列;(Ⅱ）設(shè)，記，求解(I）∵點An（）在曲線y=g（x)上（n∈N+），∴點(）在曲線y=f（x）上（n∈N+）,并且an>0

，，∴數(shù)列{｝為等差數(shù)列(Ⅱ)∵數(shù)列{｝為等差數(shù)列，并且首項為=1，公差為4,∴=1+4(n—1），∴，∵an〉0，∴，bn＝=，

∴Sn＝b1＋b2+…＋bn==例4設(shè)，則不超過的最大整數(shù)為。(2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽浙江省預(yù)賽試題)解： ， ，，,不超過的最大整數(shù)為。模型三：eq\f（2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(1，2n－1）－eq\f(1，2n+1－1)例5設(shè)數(shù)列的前項的和,n=1,2,3,….(Ⅰ）求首項與通項；(Ⅱ)設(shè)，n=1，2，3，…,證明：(2006年全國數(shù)學高考理科試題).解:（Ⅰ)由Sn=eq\f(4，3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f（2，3),n=1，2，3，…,①得a1=S1=eq\f(4，3）a1－eq\f(1，3）×4+eq\f(2,3)所以a1=2。再由①有Sn－1=eq\f（4,3）an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2，3),n=2,3,4,…將①和②相減得：an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3）（an－an－1)－eq\f（1，3）×（2n+1－2n)，n=2,3，…整理得：an+2n=4（an－1+2n－1）,n=2,3，…,因而數(shù)列｛an+2n｝是首項為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列,即an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2，3，…，因而an=4n－2n,n=1,2，3,…,(Ⅱ）將an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4，3)×(4n－2n)－eq\f(1,3）×2n+1+eq\f(2，3)=eq\f（1，3)×(2n+1－1）（2n+1－2）=eq\f(2，3)×（2n+1－1）（2n－1)Tn=eq\f（2n,Sn）=eq\f(3，2)×eq\f（2n,(2n+1－1)（2n－1))=eq\f（3,2）×（eq\f(1，2n－1)－eq\f(1,2n+1－1））所以,=eq\f(3，2）eq\f(1，2i－1)－eq\f（1,2i+1－1））=eq\f(3,2)×(eq\f（1，21－1）－eq\f(1，2i+1－1））<eq\f(3,2)模型四:,且，則例6設(shè)函數(shù)的圖象在處的切線平行于直線。記的導(dǎo)函數(shù)為。數(shù)列滿足：，。(Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ)試判斷數(shù)列的增減性,并給出證明；（Ⅲ）當時，證明:.解：（Ⅰ）∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，由于在處的切線平行于，∴，∴(Ⅱ)∵，∴,∵,故，所以,所以是單調(diào)遞增.（Ⅲ）∵，∴=，∴∴，，…令當時,∴例7已知數(shù)列滿足，滿足，證明:。(2006年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽浙江省預(yù)賽試題)證明：記，則。而。因為，所以.從而有.（1）又因為，所以,即。從而有.（2)由（1）和（2）即得。綜合得到