第八單元

數(shù)列

位曾

翳翳看普

氧

§8.1數(shù)列的概念

(對應(yīng)答案分冊第24頁)

學(xué)基礎(chǔ)知識少夯實基礎(chǔ)鞏固提升

?知識清單一

L數(shù)列的有關(guān)概念

(1)數(shù)列的概念

的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項.

(2)數(shù)列的簡單表示方法：、、

2.數(shù)列的分類

(1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可以將數(shù)列分為：、

(2)按照數(shù)列的每一項隨序號變化的情況分類為：、、、^

3.數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛*的第〃項與之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式就叫作

這個數(shù)列的通項公式.

3拓展知識

1.數(shù)列的遞推公式

如果已知數(shù)列｛a｝的第一項(或前幾項)，且任一項

a,,(G2)與它的前一項4-(或前幾項)間的關(guān)系可

以用一個式子來表示，那么這個式子就叫作數(shù)列

｛a｝的遞推公式.

2.數(shù)列㈤的前0項和S與通項公式包的關(guān)

系

(1)S“=a、+a^+a”(neN).

=1,

⑵aqSn-Snwn>2.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“J”，錯的打“X”）

⑴一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.（）

（2）數(shù)列的通項公式的表達(dá)式是唯一的.（）

⑶數(shù)列｛言二｝的第4項為￡+2.（）

⑷任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（）

【對接教材】

在數(shù)列｛a｝中，已知為二1,生之且為也=則32是數(shù)列的第（）項.

A.4B.5C.6D.7

已知aw）七〃我8,則從第（）項起,這個數(shù)列是遞增的.

A.1B.2C.3D.4

【易錯自糾】

已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S,之〃2*3,貝I]a,=

已知數(shù)列｛4｝中，國⑹斑4瞑測/021

講考點考向7精研考向錘煉技能

C1點委由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式【題組過關(guān)】

根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式:

(1)4,6,8,10,-;

1371531

(9'——-------????

“248工6,32，’

115132961

/Q\-----------------

‘，2'4'816'32,64*'

⑷9,99,999,9999,….

根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，注意以下幾個方面:(1)分式中分子、分

母的各自特點;⑵相鄰項之間的聯(lián)系;⑶拆項后各部分的特點;⑷符號的變化規(guī)律.解決涉及這些方面的問題

時，應(yīng)多進(jìn)行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、猜想.

CS點委由s與a的關(guān)系求通項公式【典例遷移】

劍’3已知數(shù)列｛&｝的前〃項和S="2-2c,那么它的通項公式a.=.

【變式設(shè)問】已知數(shù)列｛a,｝的前〃項和為&引-2,則ay.

,已知S求2的三個步驟：

⑴當(dāng)n=1時，利用a尸S求出a；

(2)當(dāng)時,%=&-5?；

⑶對時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合時&的表達(dá)式，如果符合，就把數(shù)列的通項公式合寫，如果

不符合，就寫成分段形式.

【追蹤訓(xùn)練1】設(shè)數(shù)列｛a.｝滿足a+3ai?2〃T)a〃=2",則a.=.

由遞推公式求數(shù)列的通項公式【考向變換】

考向1形如"=%+/(〃),求??

劍0已知在數(shù)列｛a。｝中,a之0向“=&+2〃-1,"6；則數(shù)列匕｝的通項公式為=.

形如4“=a?蟲力的遞推關(guān)系,可采用累加法，然后結(jié)合等差或等比數(shù)列的求和公式求解通項公式.

【追蹤訓(xùn)練2】在數(shù)列｛a.｝中,a產(chǎn)1,為4"+%」(〃》2),則a產(chǎn)..

考向2形如a=",/[〃),求4

硼短ft數(shù)列｛$｝中，已知則a產(chǎn)

ann+l-------

』形如冬.產(chǎn)@“/(〃)的遞推關(guān)系，可采用累積法求解通項公式.

【追蹤訓(xùn)練3]已知數(shù)列⑸滿足&=1，竺紀(jì)也把則數(shù)列㈤的通項公式是____________.

Q”+l

數(shù)列的性質(zhì)【考向變換】

考向1數(shù)列的單調(diào)性

劍?已知數(shù)列｛a,｝的通項公式&喧;廁數(shù)歹羽4｝是().

A.遞減數(shù)列B.遞增數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

』解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法:Q溯作差上徽法根據(jù)的符號判斷數(shù)列｛4｝是遞

增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列;②用作商匕徽法,根據(jù)如或/<0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷;婀以將數(shù)

an

列看成定義域為正整數(shù)集上的函數(shù)，結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.

【追蹤訓(xùn)練4】已知數(shù)列｛a.｝的通項公式為-學(xué),若數(shù)列｛&｝為遞減數(shù)列,則實數(shù)4的取值范圍為（）.

A.（3產(chǎn)8）B.（2產(chǎn)8）

C.（1,+8）D.（0,+8）

考向2求最大（小）項

倒豺已知數(shù)列儂｝的通項公式a.則數(shù)列｛a.｝中的最大項是（）.

A.3-710B.19

1Vio

C訪C出

數(shù)列的最值問題可以利用數(shù)列的單調(diào)性或求函數(shù)最值的思想求解.

【追蹤訓(xùn)練5］若數(shù)列｛a.｝滿足a=13.”-4=〃現(xiàn)片的最小值為（）.

2314

A-TB,T

C，V26-^D.13

考向3數(shù)列的周期性

圓@殳S,是數(shù)列｛a,,｝的前"項和，若團(tuán)弓,廁52021）.

2Q?i

2017

A.---B.1009

2

2019

C.-^—D.1010

根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期,進(jìn)而求出有關(guān)項的值或者前〃

項的和.

【追蹤訓(xùn)練6】若數(shù)列｛a｝中,4］3,132學(xué),品，1二&-2］（77￡2）,則4021）:::（）.

A.1B.-2

C.3D.-3

的方法技巧上方法探究分類突破

（5造突破Q函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用

因為數(shù)列可以看作一類特殊的函數(shù)，所以數(shù)列也具備函數(shù)的性質(zhì)，可以借助函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列的性質(zhì),

但一定要注意自變量的特殊性.

倒U已知函數(shù)4X）/（:'數(shù)列｛&｝滿足為=/S）（〃eN）且對于任意的正整數(shù)〃"7,都有

（產(chǎn)。,x>7,

氏生X）,則實數(shù)a的取值范圍是

。方法總結(jié),

在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列相關(guān)問題時，需

要注意定義域的取整問題.

【突破訓(xùn)練1】已知數(shù)列｛a,｝的通項公式為4當(dāng)則該數(shù)列中最大項是第項.

2n-V2016--------

（包衣突破⑥函數(shù)的周期性在數(shù)列中的應(yīng)用

由函數(shù)的周期性或根據(jù)已知推理得出數(shù)列的周期，進(jìn)行求解運算.

O包已知數(shù)列｛&,｝滿足xex.,x*[Xn.「xJ（nGN\若乂=1,=*足1且aWO）,則數(shù)列｛x.｝的前2020項的

和^2020為（）.

A.673B.670

C.1342D.1347

0方法總結(jié)

求函數(shù)的周期有列舉法,圖象法，定義法等，在

求解數(shù)列周期時，常用列舉法計算前幾項,然后計

算到重復(fù)項為止，即可得到數(shù)列的周期.

【突破訓(xùn)練2】已知數(shù)列｛&｝中a=1,品=1一二（〃）1）,則au?=（）.

an-X

1

A.5B.

4

44

D.~5

請完成爆后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P47

§8.2等差數(shù)列

（對應(yīng)答案分冊第2425頁）

....................因基礎(chǔ)知識,…＞夯實基礎(chǔ)鞏固提升

?＜知識清單.

1.等差數(shù)列的有關(guān)概念

⑴定義:一般地,如果一個數(shù)列，每一項與它的前一項的，那么這個數(shù)列就叫

作等差數(shù)列，這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差，通常用字母"表示，定義的表達(dá)式為

⑵等差中項:若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫作a、b的

（3）等差數(shù)列的通項公式及其變形

通項公式：，其中囪是首項/是公差.

通項公式的變形：（力

（4）等差數(shù)列的前〃項和公式:=〃四尸（41）.

2.等差數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為&前〃項和為S,則有如下的性質(zhì)：

⑴若小□=p+q（m,n,p,q￡N）網(wǎng)

（2）在等差數(shù)列中下標(biāo)成等差的項組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列.

⑶｛a｝,｛〃｝都為等差數(shù)列則｛〃礴+柩｝也為等差數(shù)列（其中而均為常數(shù)）.

⑷￡￡6,SA-%,…也成等差數(shù)列.

o拓展知識

1.已知數(shù)列｛a｝的通項公式是a,w，0（其中

PM為常數(shù)）,則數(shù)列■｝一定是等差數(shù)列，且公差為

P-

2.用定義法證明等差數(shù)列應(yīng)注意“從第2項

起"，如:證明國」應(yīng)主，后、/—國

是否等于a若生-awa則數(shù)列｛a｝不為等差數(shù)列.

3.若｛&｝與｛〃｝為等差數(shù)列，且前〃項和分別為s

與S1則魯普工

bmb2m-l

??夯實基礎(chǔ)》?

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.（對的打“J”，錯的打“X”）

⑴若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.（）

⑵“數(shù)列｛品｝為等差數(shù)列”的充要條件是“對任意"CN：都有2a*a“+a“J.（）

（3）若數(shù)列3｝滿足為“=為/,則數(shù)列a.｝為等差數(shù)列.

⑷“數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列｛4｝的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)”.)

【對接教材】

在等差數(shù)列｛4｝中,a之,熱力金，則a；等于（）.

A.-2B.0C.3D.6

在等差數(shù)列｛嗎中同=1,且數(shù)列｛4｝的前5項和W=15,則a,=.

【易錯自糾】

已知等差數(shù)列｛&｝的通項公式為a,H"-ll,則數(shù)列｛/a4的前〃項和T?=.

已知｛%｝為等差數(shù)列,S為其前〃項和.若a45=&,則a=,S"=.

講考點考向7精研考向錘煉技能

C5點血等差數(shù)列基本量的計算【題組過關(guān)】

已知｛a｝為等差數(shù)列,囪+a1々5=105,及+當(dāng)+京印9,則a決二..

已知遞增的等差數(shù)列｛4｝滿足d=l,a也名",則a尸.

/（1）等差數(shù)列運算問題的T殳求法是設(shè)出首項4和公差4然后由通項公式或前〃項和公式轉(zhuǎn)化為

方程（組）求解.

⑵等差數(shù)列的通項公式及前〃項和公式，共涉及五個量為,a“4〃,S“知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用

方程的思想解決問題.

⑶根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式，若已知首項和公差，則使用公式Sa=na、△啜4若已知通項

公式，則使用公式&史竽立,同時注意與性質(zhì)“囪+an=&2-+%-2=*'"的結(jié)合使用.

語點?等差數(shù)列的判定與證明【典例遷移】

閱圓記S為數(shù)列｛a｝的前〃項和，已知a“X）圓名科且數(shù)列｛質(zhì)J是等差數(shù)列,證明:｛a,,｝是等差數(shù)列.

對于任意自然數(shù)區(qū)n72),a「a“，(心2,〃dN)為同一常數(shù)=｛a｝是等差數(shù)列.用定義證明等差數(shù)列時,

容易漏掉對起始項的檢驗，從而產(chǎn)生錯解.

比如，對于滿足】=1(〃23)的數(shù)列｛a,｝而言并不能判定其為等差數(shù)列因為不能確定起始項a>-a是否

等于1.

【追蹤訓(xùn)練】記S為數(shù)列⑸的前〃項和也為數(shù)列⑸的前〃項積，已知g4-=2.

3rlbn

⑴證明:數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列.

(2)求｛&｝的通項公式.

C5點@等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用【題組過關(guān)】

若等差數(shù)列｛a.｝的前17項和％石1,則&-ai均9-an+ai3-.

已知等差數(shù)列｛*與｛/>,｝的前〃項和分別為S,和加若如辛馬，則詈等于（）.

1nZn-rlby

（一題多解）在等差數(shù)列⑸中5為其前〃項和，且aM5,S3=S,求數(shù)列｛*的前多少項和最大.

」應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個注意點：

⑴如果｛4｝為等差數(shù)列,加〃招飛那么烝+a產(chǎn)出加（見因此,若出現(xiàn)為e國一等項時可以利用此

性質(zhì)將已知條件轉(zhuǎn)化為與國（或其他項）有關(guān)的條件;若求&項，可由T&f）轉(zhuǎn)化為求3叫或—E

的值.

⑵要注意等差數(shù)列通項公式及前〃項和公式的靈活運用，如

,i\九（Qi+Q?i）九（。2+的1-1）

a,=a^n-nijd,d?coc42刀-1）&,￡----------（-〃,-/-〃-￡-N-）等.

n-m

....................宿方法技巧........》方法探究分類突破

C包突破O求等差數(shù)列前〃項和s最值的兩種方法

⑴運用配方法將S,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解.

⑵通項公式法:求使a20（aW0）成立時最大的〃值即可.一般地，在等差數(shù)列｛a｝中，若@>0,且5；二良（7工0）,

則謂“g為偶數(shù)，則當(dāng)〃哼時,S最大;彝p+q為奇數(shù)，則當(dāng)〃號。或〃上*■時5最大.

初已知在等差數(shù)列｛%中⑶=31,S是它的前〃項和,S產(chǎn)位.

⑴求&;

（2）這個數(shù)列的前多少項和最大？并求出這個最大值.

到回殳等差數(shù)列｛a“｝的前〃項和為S,,已知a=12國刀,5。

(1)求公差d的取值范圍；

(2)指出S,S,…，5中，哪一個最大？并說明理由.

方法總結(jié)]

(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前"項和的函數(shù)表

達(dá)式S尸ad外〃,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)

最值的方法求解.

⑵鄰項變號法

四紈過火)時滿足『2么的項數(shù)0使得

Um+1W0

S取得最大值S；

謂a,@力0時，滿足-八的項數(shù)/〃使得

lam+l三U

S取得最小值S.

【突破訓(xùn)練】在數(shù)列｛a｝中,2a產(chǎn)為一1+見.](〃22),且a=10,注=￡

(1)求｛品｝的通項公式；

(2)求｛“,｝的前〃項和S,的最大值.

請完成彈后作亞

鏈接《精練案》分冊P48

§8.3等比數(shù)列

(對應(yīng)答案分冊第2526頁)

學(xué)基礎(chǔ)知識?卜夯實基礎(chǔ)鞏固提升

＜?知識清單＞?

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列，每一項與它的前一項的，那么這個數(shù)列

就叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母＜?表示，定義的表達(dá)式為皿

⑵等比中項:若況46成等比數(shù)歹II廁A叫作為6的

(3)等比數(shù)列的通項公式及其變形

通項公式：，其中@是首項,q是公比.

通項公式的變形：(見心)

nalfq=1,

(4)等比數(shù)列的前〃項和公式5二q]

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

設(shè)等比數(shù)列｛d｝的公比為g,前〃項和為S,則有如下的性質(zhì)：

⑴若m+n=p+q(m,5p,q￡N),則烝?an=ap?a,).

(2)在等比數(shù)列中下標(biāo)成等差的項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.

⑶｛&｝,他｝都為等比數(shù)列則｛&幼也為等比數(shù)列.

(4)顯￡「&品-甌尻-￡小-(其中各項均不為0)也成等比數(shù)列.

1“地蜜幽

1.由4產(chǎn)曬后0,并不能立即斷言｛4｝為等

比數(shù)列，還要驗證aiXO.

2.在運用等比數(shù)列的前"項和公式時，要注意對

(7=1與q/l分類討論，防止因忽略＜7=1這一特殊

情形而導(dǎo)致解題出錯.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“J”，錯的打“X”)

(1)滿足a”\=qa，SGN.,q為常數(shù))的數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列.

(2)G為a,。的等比中項

(3)若｛叫為等比數(shù)列,4=初“也”，則數(shù)列｛3也是等比數(shù)列.

(4)數(shù)列｛a.｝的通項公式是a產(chǎn)/則其前"項和為$,上吧

f1-Q

【對接教材］

已知正項等比數(shù)列｛&｝的前〃項和為則a^+a+ai+4+的+a\o=..

已知等比數(shù)列｛a｝的前n項和為S,若SN83劑)，則SH).

A.83B.108C.75D.63

【易錯自糾】

若a是2與8的等比中項,是-1與1-2歷的等差中項，則a切的值為.

....................因考點考向，精研考向錘煉技能

C5SO等比數(shù)列的判定與證明【典例遷移】

劍?1已知數(shù)列｛4｝的首項a2，前〃項和為S,且35,Y,4,2-巖特12)總是成等差數(shù)列.

⑴證明:數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列.

(2)求滿足不等式a"?Y)"’的正整數(shù)n的最小值.

【變式設(shè)問】若團(tuán)=|自電=力,設(shè)c產(chǎn)&T,求證:｛端是等比數(shù)列.

:一等比數(shù)列判定與證明的兩個注意點：

(1)等比數(shù)列的證明經(jīng)常利用定義法和等比中項法,通項公式法、前〃項和公式法在選擇題、填空題中用

來判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列.

(2)證明一個數(shù)列｛a｝不是等比數(shù)列，只需要說明前三項滿足?a”或者是存在一個正整數(shù)網(wǎng)使得

1*&,4以即可.

【追蹤訓(xùn)練1】已知｛a｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64.｛4｝是公比大于0的等

比數(shù)列力iN,A也=48.

(1)求｛叫和｛6｝的通項公式.

1

⑵記C0%1-,/7WN*.

⑦iff明:｛C*-Q｝是等比數(shù)列.

劭I明:y竽垠＜2^②f).

k=ljck'c2k

C3S?等比數(shù)列基本量的計算【題組過關(guān)】

已知｛&｝為等比數(shù)列，&9之，念戊=~8廁a+a產(chǎn).

已知等比數(shù)列⑸為遞增數(shù)列，且硝=外,2（%域2）=54“則數(shù)列值,｝的通項公式為=.

設(shè)｛a0｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列5為其前"項和.已知則.

二產(chǎn)⑴等比數(shù)列運算問題的T殳求法是設(shè)出首項冷和公比為然后由通項公式或前〃項和公式轉(zhuǎn)化為

方程（組）求解.

（2）等比數(shù)列的通項公式及前〃項和公式,共涉及五個量a,a,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用

方程的思想解決問題.

nax,q=1,

（3）根據(jù)不同的已知條件選用兩個求和公式，若已知首項和公比，則使用公式S產(chǎn)ai（l-q"）1

,1-q，q

（考點一O等比數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用【考向變換】

考向1等比數(shù)列通項的性質(zhì)

L'J在等比數(shù)列｛4｝中，若及4ak1,413al向5Hl63,則含1國2出.

__⑴通項公式的推廣：&=&?gk（〃/瘧N）

⑵若勿加招廿2鳳〃7,〃血0左3：）則產(chǎn)

⑶若數(shù)列｛喻⑷（項數(shù)相同）是等比數(shù)列則｛44｝,｛^｝,｛欣｝,｛9｝,｛強(qiáng)｝（久W0）仍然是等比數(shù)列.

【追蹤訓(xùn)練2】⑴已知等比數(shù)列｛2｝滿足囪我全刃（a「l）,則&=（）.

4

11

A.2B.1C-D-

28

⑵已知數(shù)列｛a｝是遞增的等比數(shù)列閉煬4，及a=5,則a-=.

考向2等比數(shù)列前〃項和的性質(zhì)

初圖已知數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列5為其前〃項和,〃CN?，若份依/書，團(tuán)為+a6s則.

』在等比數(shù)列｛a,J中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即a*a）i0為a“.3&j*?為等比數(shù)列，公比

為q.

【追蹤訓(xùn)練3］設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的前n項和為S,若So/S=1；2,則S,5/&=（）.

3211

A-JB-3D-3

...............................E3方法技巧.....＞方法探究分類突破

（5比突破◎等比數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用

在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時,要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形.此外，解題時注意設(shè)而不

求思想的運用.

￡3侵）在等比數(shù)列｛&｝中，如果句9為。,國上四寸0,那么出+生氣）.

A.135B.100C.95D.80

方法總結(jié)

在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘

隱含條件利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若〃吐〃學(xué)場則

a.a.=a,a,"，可以減少運算量，提高解題速度.

【突破訓(xùn)練】已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,且獸搭廁衛(wèi)工二（心2,且"GN）

S&9an-an，i—

--------請完成瞟后作業(yè)--------.

鏈接《精練案》分冊P49

§8.4數(shù)列求和

(對應(yīng)答案分冊第2621頁)

因基礎(chǔ)知識……＞夯實基礎(chǔ)鞏固提升

??知識清單毋

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前〃項和公式求和.

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式：

cn(ai+an)^(n-l)

S-------2-------〃句~2-&

(2)等比數(shù)列的前〃項和公式：

'叫(q=1),

產(chǎn)口

Sl(l-qn)_ai-anq(八

2.幾種數(shù)列求和的常用方法

⑴分組求和法:一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，因此求和時可用分

組求和法，分別求和后再相加減.

(2)裂項相消法:把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時使中間的一些項可以相互抵消，從而求得前〃項

和.

(3)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這

個數(shù)列的前〃項和即可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法與并項求和法：

①倒序相加法

如果一個數(shù)列｛4｝的前〃項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等,那么求這個數(shù)列的前〃項和可用倒

序相加法，如等差數(shù)列的前〃項和公式就是用此法推導(dǎo)的.

②并項求和法

在一個數(shù)列的前"項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如43-1)”?力的數(shù)列，可考慮采用兩項

合并求解.

R拓展知識

]

1.

n(n+k)追去)

2,而+VHTT"11+1而

,2n(n+l)(2n+l)

3.lz/22*???+/?———y---.

6

4.應(yīng)用裂項相消法時，應(yīng)注意消項的規(guī)律具有對

稱性，即前面剩第幾項則后面剩倒數(shù)第幾項.

出夯實基礎(chǔ)》＞

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打“J”，錯的打“X”)

⑴若數(shù)列｛叫為等比數(shù)列,且公比不等于1,則其前"項和S,駕組士()

i-q

(2)當(dāng)心2時佳書一左)()

⑶求$七+2，+3才*?+〃目'時,只要把等式等號兩邊同時乘以a,即可根據(jù)錯位相減法求得.()

3n-l

(4)若數(shù)列a?a2-a,-,a-a,,是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,則數(shù)列｛4｝的通項公式是a,—.()

【對接教材】

在等差數(shù)列｛&｝中，已知公差@[+?)+虎*“*如.=80廁a1+az+&+-"+am=().

A.175B.180C.185D.190

在數(shù)列｛&｝中,(九;1)，若｛&｝的前〃項和為則項數(shù)〃氣).

A.2017B.2018C.2019I).2020

【易錯自糾】

」1473n-2

求和：5宗宗人---------

《九章數(shù)學(xué)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題.“今有墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠

也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢，各穿幾何？”題意是“有兩只老鼠同時從墻的兩邊打洞穿墻，大

老鼠第一天進(jìn)一尺,以后每天加倍，小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半”.如果墻厚20尺，則這兩只老鼠相

逢所需天數(shù)至少為().

A.4B.5C.6D.7

講考點考向…邛精研考向錘煉技能

得點基利用公式分組求和【典例遷移】

包初已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S,￡^,〃GN,.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

⑵設(shè)&,=2°飛-1)”,津數(shù)列｛4｝的前2〃項和.

【變式設(shè)問】在例1的條件下，求(2)中數(shù)列｛4｝的前〃項和T:

?一(1)分組轉(zhuǎn)化求和的通法

數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求

數(shù)列的前"項和的數(shù)列求和.

⑵分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

-

J4斗田/bj,｛c“｝為等差或等比數(shù)利分

組

求

-T：；：需要｛-為等差或和

n一

項

和等比數(shù)列

【追蹤訓(xùn)練1］設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項和為S,滿足S,=l-〃a"GN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列'上的前〃項和為力,求應(yīng)的表達(dá)式.

拷息⑥錯位相減法求和【題組過關(guān)】

設(shè)｛4｝是公比不為1的等比數(shù)列固為曲a,的等差中項.

⑴求?｝的公比；

⑵若&=1,求數(shù)列｛〃&》的前"項和.

設(shè)數(shù)列｛&｝滿足

⑴計算題a,猜想｛為｝的通項公式并加以證明；

⑵求數(shù)列｛23｝的前〃項和S.

利用錯位相減法求和的策略：(1)若數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列,｛/>｝是等比數(shù)列,求數(shù)列｛為?4｝的前n項和,

則可采用錯位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列｛4｝的公比，然后作差求解;⑵在寫“S”與“gS”的

表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“S"S,”的表達(dá)式;⑶在應(yīng)用錯位相減法

求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，則應(yīng)分公比等于1和不等于I兩種情況求解.

(5豆⑥裂項相消法求和【考向變換】

]

考向

n(n+k)

初?已知等差數(shù)列｛a,｝滿足備乂,全9=14,｛aj的前〃項和為S,.

⑴求a0及總

1

⑵令若對于任意數(shù)列｛4｝的前〃項和。⑦恒成立，求實數(shù)/〃的取值范圍.

』禾IJ用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后

面也剩兩項，另外，將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原項相等,

如:若卜｝是等差數(shù)列，則」一片（--二一），」—J

aa

nn+ld\an0n+i，anan^-22d\cin0n+2，

【追蹤訓(xùn)練2】已知等差數(shù)列｛&,｝的公差為2,前〃項和為S.且S,S,S成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛叫的通項公式；

4n

⑵令MH）------，求數(shù)列｛4｝的前〃項和Tn.

anan4-1

1

劍?已知等差數(shù)列｛&｝的前"項和為S,公差為〃其中為函數(shù)qx)=(x-2)(x~99)的兩個零點且d<S>.

⑴求數(shù)列｛a,｝的通項公式;

1

(2)若b,尸:(力6),求數(shù)列低｝的前〃項和北.

Van+l+>/?n

1

形如4幅方赤型的數(shù)列采用裂項相消求和時，本質(zhì)為分母有理化過程.

【追蹤訓(xùn)練3】已知數(shù)列｛%｝的通項公式為44工+行,其前〃項和為S”若SR,則仁

n+1

'r”2

n2(n+2)z

劍正項數(shù)列｛4｝的前〃項和s滿足S：(/+〃T)SN〃2+〃)=O.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

數(shù)列｛4｝的前〃項和為7；.證明:對于任意的"WN：都有

n+1

形如訴百2的數(shù)列采用裂項相消求和時，可以將平方項看成一個整體,然后調(diào)整系數(shù)求解.

【追蹤訓(xùn)練4】已知數(shù)列｛*的前n項和S,滿足2SNa/l)(&+2),且a?^O(neN").

(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；

⑵若c/(2n-D(〃wN)求數(shù)列⑷的前〃項和T”.

......宿方法技巧....................，方法探究分類突破

（方比一—?利用模型法求解數(shù)列的實際問題

模型法就是在實際問題中,構(gòu)造數(shù)列模型（如通項公式、前〃項和公式或遞推關(guān)系式）或構(gòu)造其他模型，進(jìn)

而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,通過構(gòu)造模型，使問題得到順利解決.

人們津津樂道的兔子數(shù)列是指這樣的一個事例:一對幼兔正常情況下一年后可長成成兔,再過一

年后可正常繁殖出一對新幼兔，新幼兔又如上成長，若不考慮其他意外因素,按此規(guī)律繁殖，則每年的兔子總對

數(shù)可構(gòu)成一奇妙的數(shù)列.兔子數(shù)列具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，該數(shù)列在西方又被稱為斐波拉契數(shù)列.它最初

記載于意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契在1202年所著的《算盤全書》.現(xiàn)有一兔子數(shù)列｛用:a書=1,￡=&產(chǎn)兒（">2）,

若將數(shù)歹也身的每一項除以2所得的余數(shù)按原來項的順序構(gòu)成新的數(shù)列｛a,｝,則數(shù)歹的前2021項和

為

10方法總結(jié)

在處理實際問題時，要能從題意中提煉出該

問題所具備的數(shù)列模型,或等差數(shù)列、等比數(shù)列，

或根據(jù)條件列出遞推關(guān)系,然后根據(jù)數(shù)列相關(guān)知

識分析處理.

【突破訓(xùn)練1】中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧

三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大

意是，現(xiàn)有俸糧305石,分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員，依照品級遞減13石分這

些俸糧，問:每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）.

A.74石B.61石

C.48石D.35石

oils?倒序相加法求和

先觀察數(shù)列前后是否具有“對稱性”，即與首末兩端等“距離”的兩項的和是否相等，若是則采用倒序

相加法（先把數(shù)列求和的式子倒過來寫，然后兩個求和式子相加）求和.

倒■對于三次函數(shù)4*）=aN班『4"戊4羊0）,給出定義:設(shè)/“（X）是函數(shù)尸/（x）的導(dǎo)數(shù)（x）是函數(shù)

「出的導(dǎo)數(shù)，若方程/'”（x）加有實數(shù)解科則稱點（痢4%）為函數(shù)尸/（x）的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任

何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)

*力字亭*3x磊，請你根據(jù)上面的探究結(jié)果，解答以下問題：

115

⑦函數(shù)/犬3y+3x方的對稱中心坐標(biāo)為；

②討算（短）"（短）"（短（黑〉------

0方法總結(jié)】

倒序相加是根據(jù)對稱性，將一定順序的某些

項相加，它們的和相等，或具有某些固定的特征，然

后根據(jù)這些和的特征得到所求結(jié)論的和.

【突破訓(xùn)練2】設(shè)右）誥才若$=/（六）*/（嘉）"（嘉）一〃（篇），則S=-------

--------請完成驟后作業(yè)--------.

鏈接《精練案》分冊P51

解答題題型突破三數(shù)列

（對應(yīng)答案分冊第2728頁）

（突破點，與數(shù)列有關(guān)的比較大小問題

OfligS為等差數(shù)列｛a.｝的前〃項和,聞是等比數(shù)列向=&,4=備八=9,公=243.是否存在實數(shù)4使得

:我本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用