2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）

填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2

1.設片，F,分別是雙線［->2=］（。>0）的左、右焦點，。為坐標原點，以KE為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近

a-

線分別交于A8兩點（AB位于y軸右側），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.x+y=0B.s/3x+y=0C.x±y/3y=0D.3x±y=0

2.已知將函數/（x）=sin（0x+。）-3<8<3）的圖象向右平移g個單位長度后得到函數g（x）的圖

7T

象，若/（X）和g（x）的圖象都關于尤=一對稱，則①的值為（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

3,若各項均為正數的等比數列{4}滿足4=3%+2/，則公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

4.若集合A={x|國<2,xw/?},B={y|y=-%2,xe/?},則AcB=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<0}D.0

5.復數z滿足（l+i）z=|l-q,貝!Jz=（）

,.nJ.「夜夜.V2V2.

AA.1-iB?］+iC?-----------1nD?-----1-------1

2222

6.要得到函數y=—的圖象，只需將函數>=6sin（2x—圖象上所有點的橫坐標（）

TT

A.伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移I個單位長度

71

B.伸長到原來的2倍（縱坐標不變）,再將得到的圖像向左平盯個單位長度

C.縮短到原來的，倍（縱坐標不變）,再將得到的圖象向左平移357r個單位長度

224

1

D.縮短到原來的1倍（縱坐標不變）,再將得到的圖象向右平移上個單位長度

224

7.設等比數列｛〃”｝的前項和為S“，若8。刈9+。2016=0,則考的值為（）

）3

8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正（主）視圖側（左）視圖

32

A.—B.64D.32

3T

9.已知正三棱錐A-BCO的所有頂點都在球。的球面上，其底面邊長為4,E、F、G分別為側棱A8,AC,AD

的中點.若。在三棱錐A-BCD內，且三棱錐A-38的體積是三棱錐0-58體積的4倍，則此外接球的體積與

三棱錐O-EFG體積的比值為（）

A.6岳B.8岳C.12岳D.24百萬

10.”=2”是“函數/（犬）=（2。2—?為常數）為幕函數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

11.已知4-6,0）,B（V3,0）,P為圓龍2+y2=i上的動點，而=耳，過點p作與AP垂直的直線/交直線QB

于點M,若點M的橫坐標為％,則兇的取值范圍是（）

A.|x|>lB.|x|>lC.|x|>2D.|x|>V2

..------1.UUU1uuu

12.已知AAHC是邊長為3的正三角形，若BD=/C，則AD.BC=

315

A.一一B.—

22

315

C.-D.——

22

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.有編號分別為1,2,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為

14.若函數/(x)=xln(x+Ja+x2)為偶函數,則。=.

55S

15.已知等比數列｛4｝的前〃項和為S,,,4+/=]，且。2+4="，則｝=.

16.AB,C三所學校舉行高三聯考，三所學校參加聯考的人數分別為160,240,400,為調查聯考數學學科的成績,

現采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取樣本，若在8學校抽取的數學成績的份數為30,則抽取的樣本容量為

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，AABC為等腰直角三角形，AB=AC=3,。為4c上一點，將沿80折起，得到三棱

錐且使得A在底面的投影E在線段上，連接AE.

(1)證明：BDVAEx

(2)若tan/ABO=g,求二面角C一一。的余弦值.

一20一

18.(12分)已知矩陣加=]],求矩陣M的特征值及其相應的特征向量.

19.(12分)如圖所示，在四棱錐P—ABC。中，R4_L平面PCO,底面A5CO滿足AO〃3C,AP=AB=BC=-AD=2,

2

ZABC=9Q°,E為AO的中點，AC與BE的交點為。.

p

(1)設H是線段BE上的動點，證明：三棱錐〃-尸8的體積是定值；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積；

(3)求直線5c與平面080所成角的余弦值.

X=1+/COS6Z

20.(12分)在直角坐標系直為中，直線/的參數方程為，.(f為參數，.在以。為極點，x軸

、y=l+/sina

正半軸為極軸的極坐標中，曲線C：/?=4cos。.

(1)當&=一時，求。與/的交點的極坐標；

4

(2)直線/與曲線C交于A，B兩點，線段AB中點為M(U)，求IA8I的值.

21.(12分)已知數列｛4｝的前"項和為S,,,且滿足S,=2a“-l(〃wN*).

(I)求數列｛4｝的通項公式；

￡14

(II)證明：X—<7-

jt=iqJ

22.(10分)已知橢圓C:二+反=l(a>b>0)的焦距為2,且過點P(2,0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設尸為C的左焦點，點M為直線x=T上任意一點，過點尸作心的垂線交C于兩點A,B

(i)證明：OM平分線段AB(其中。為坐標原點)；

\MF\

(ii)而取最小值時，求點”的坐標.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

由于四邊形。4工8為菱形，且|0月|=|。4],所以小。工為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.

【詳解】

如圖，因為四邊形。為菱形，|。閭=|。4|=|0臼，所以△AOg為等邊三角形，乙4。工=60°,兩漸近線的斜

率分別為百和-JL

【點睛】

此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數形結合的思想，屬于基礎題.

2.B

【解析】

因為將函數/(x)=sin(的+。)(0＜。＜6,—9＜8＜彳)的圖象向右平移彳個單位長度后得到函數g(x)的圖象,

可得g(x)=sin[0(x—(+(p

-s\x}\a)x-^a)+(p,結合已知，即可求得答案.

【詳解】

??,將函數/(x)=sin(s+。)(0＜。＜6,—3＜夕＜2)的圖象向右平移彳個單位長度后得到函數g(x)的圖象

71

二g(/x)\=sing(%——吟+夕]=si.n(cox——co+(p),

7T

又???山)和g⑴的圖象都關于x=]對稱'

冗,兀

一CD+（p=k［兀T----

412

?,由（4,&eZ）,

7171.71

-a>--co+（p=K2^+—

■rr

得§啰=（匕_&）乃,（K，左2eZ）,

即ey=3（K-A2）（4&ez）,

又：0<a><6,

co=3.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了三角函數圖象平移和根據圖象對稱求參數，解題關鍵是掌握三角函數圖象平移的解法和正弦函數圖象

的特征，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.

3.C

【解析】

由正項等比數列滿足%=34+24，即弓/=34+24闖，又qwO,即/一2夕一3=0,運算即可得解.

【詳解】

解：因為q=3q+2a2,所以％/=3q+2。聞，又。尸0,所以q2-2q-3=0,

又4>0,解得4=3.

故選：C.

【點睛】

本題考查了等比數列基本量的求法，屬基礎題.

4.C

【解析】

試題分析：化簡集合〃=[-22],3=(F,0L二〃03=|-20]

故選C.

考點：集合的運算.

5.C

【解析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.

【詳解】

解.Z.”ZL0-」（j）一夜（1）_夜V2.

z-z,

解.-777-TT7-（i+/）（i-z）-^^-TT

故選：c

【點睛】

本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.

6.B

【解析】

分析：根據三角函數的圖象關系進行判斷即可.

詳解：將函數y=Gsin（2x-g］圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），

得到y=V5si"（/x2x-q）=百5沅（％-9）,

再將得到的圖象向左平移個個單位長度得到y=Jis加X—5+彳）=Jis沅（X-^），

故選B.

點睛：本題主要考查三角函數的圖象變換，結合①和。的關系是解決本題的關鍵.

7.C

【解析】

求得等比數列｛4,｝的公比，然后利用等比數列的求和公式可求得引的值.

*

【詳解】

設等比數列｛4,｝的公比為心；8。刈9+。2016=0，，/=%幽==，，4=一：，

“2016?2

因此'*=1^=1+/=（.

故選：C.

【點睛】

本題考查等比數列求和公式的應用，解答的關鍵就是求出等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.

8.A

【解析】

根據三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.

【詳解】

由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：

可知該幾何體是底面在左側的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4,

164

^y=-x（4x4）x4=—

故選：A

【點睛】

本題考查了三視圖的簡單應用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎題.

9.D

【解析】

如圖，平面截球。所得截面的圖形為圓面，計算由勾股定理解得/?="，此外接球的體積為

*匹萬，三棱錐。-EEG體積為立，得到答案.

33

【詳解】

如圖，平面EFG截球。所得截面的圖形為圓面.

正三棱錐A-3C0中，過A作底面的垂線AH,垂足為H,與平面EFG交點記為K,連接久>、HD.

依題意匕一BCD=4%.88,所以AH=40H,設球的半徑為R,

在Rt&OHD中，OD=R>HD=--BC=2y>OH=-0A=—，

3333

由勾股定理：2=殍+圉，解得R="，此外接球的體積為粵^萬，

由于平面EFGH平面BCD,所以AH，平面EFG,

球心。到平面EFG的距離為K0,

則KO=QA-/C4=OA-LA"=R-2R=0=^,

2333

所以三棱錐O—EFG體積為』x■1x旦義下義國=顯,

34433

所以此外接球的體積與三棱錐O-EFG體積比值為246萬?

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的外接球問題，三棱錐體積，球體積，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

10.A

【解析】

根據密函數定義，求得b的值，結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.

【詳解】

???當函數〃x）=（2"-38—l）x"為幕函數時，2b2-3h-\=\,

解得〃=2或—,

2

=2”是“函數/（X）=（2b--3匕-1）￡為嘉函數”的充分不必要條件.

故選：A.

【點睛】

本題考查了充分必要條件的概念和判斷，幕函數定義的應用，屬于基礎題.

11.A

【解析】

由題意得11MBi-|M4|卜忸。|=2］。尸|,即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點，”=1的雙曲線，根據雙曲線的

性質即可得解.

【詳解】

如圖，連接OP,AM,

由題意得|。叫一|砌|=忸。|=210Pl=2,

二點"的軌跡為以A,B為左、右焦點，。=1的雙曲線,

二國N1.

【點睛】

本題考查了雙曲線定義的應用，考查了轉化化歸思想，屬于中檔題.

12.A

【解析】

由礪=；而可得=+=+因為AABC是邊長為3的正三角形，所以

33

AbBC=(AB+-BC)BC=ABBC+-BC=3x3cosl200+-x32,故選A.

3332

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.—

21

【解析】

試題分析：從編號分別為1,1,3,4,5的5個紅球和5個黑球，從中隨機取出4個，有C*=210種不同的結果,

由于是隨機取出的，所以每個結果出現的可能性是相等的；設事件A為“取出球的編號互不相同”，

QAQ

則事件A包含了c；?C；?G?C；?C；=8()個基本事件，所以尸(A)=布=*.

考點：1.計數原理；1.古典概型.

14.1

【解析】

試題分析：由函數f(x)=xln(x+Ja+x2)為偶函數=函數g(x)=InO+Ja+f)為奇函數，

g(0)=lna=O=a=l.

考點：函數的奇偶性.

【方法點晴】本題考查導函數的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力、特殊與一般思想、數形結

合思想與轉化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型.首先利用轉化思想，將函數f(x)=x\n(x+yla+x2)

為偶函數轉化為函數g(x)=ln(x+J^7M)為奇函數，然后再利用特殊與一般思想，取g(O)=lna=O=a=l.

15.63

【解析】

由題意知q=一~￡,繼而利用等比數列｛4｝的前?項和為s“的公式代入求值即可.

【詳解】

I.用「A

解：由題意知4="&=不，所以區==!一"=_^_=63.

%+。324*q5(l-q)(%

故答案為：63.

【點睛】

本題考查了等比數列的通項公式和求和公式，屬于中檔題.

16.100

【解析】

某層抽取的人數等于該層的總人數乘以抽樣比.

【詳解】

X

設抽取的樣本容量為X,由已知，30=240x—解得X=1()O.

160+240+400

故答案為：100

【點睛】

本題考查隨機抽樣中的分層抽樣，考查學生基本的運算能力，是一道容易題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)也

2

【解析】

(1)由折疊過程知AE與平面垂直，得AELBO,再取A4中點加，可證AA與平面MB。垂直，得

AA.1BD,從而可得線面垂直，再得線線垂直；

(2)由已知得。為AC中點，以E為原點，EB,￡4,所在直線為x,z軸，在平面BCD內過￡作8C的垂線為)'軸建

立空間直角坐標系，由已知求出線段長，得出各點坐標，用平面的法向量計算二面角的余弦.

【詳解】

(1)易知AE與平面BCO垂直，...AEL8。，

連接A4一取A4中點”，連接"

由。4=。4，胡=34得？14]VMD,A4,LMB,MB[\MD=M,

二A4,"L平面MB。，的匚平面雙弘)，，^，^。，

又A4mAE=A，平面A4/，...BOJLAE;

(2)由tan/A8O=L,知。是AC中點，

2

令顯=疵,則赤=而+而=(1—4)南+4/，

由麗=而—麗=—而，BD±AE>

.,.((l-A)AB+/lAC)-(-AC-Afi)=O,解得4=一，故BE=2&CE=C.

23

以E為原點,EB,EA所在直線為x，z軸，在平面8c。內過E作8c的垂線為)’軸建立空間直角坐標系，如圖，

則BQ五,0,0),CJ&0,0),A(0,0,1),。(—坐,沙,0),

44

反《=(—20,0,1),麗=(一還，逑,0),設平面A8D的法向量為五=(九,y,z),

44

麗?BA^=-2&x+z=0

則《—9723yli八取X=1,貝IJ7%=(1,3,2\/2).

m?BD=-----x+----y=0

44

又易知平面\BC的一個法向量為n=(0,1,0),

---m?n3>/2

cos<m,n>=iff=----7==--.

|m||n|1-3V22

二面角C-BAi-D的余弦值為也.

2

【點睛】

本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角.證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂

直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉化.求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空

間角.

0

18.矩陣M屬于特征值1的一個特征向量為］,矩陣/屬于特征值2的一個特征向量為

【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令/（2）=（）解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特

征向量.

【詳解】

/、2—209

由題意，矩陣M的特征多項式為/（幾）=?.=/t2-32+2,

令/"）=0,解得4=1,4=2,

（2-2）-x+0->'=0

將4=1代入二元一次方程組Z八,，解得x=0,

-x+（zt-l）y=0

「0〕

所以矩陣/屬于特征值1的一個特征向量為］；

1

同理，矩陣M屬于特征值2的一個特征向量為［v

【點睛】

本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵,

著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

19.(1)證明見解析(2)V…8=2近(3)察

【解析】

(1)因為底面A8CO為梯形，且BC=ED,所以四邊形5C0E為平行四邊形，則8E〃CZ),

又BE.平面PCD,COu平面PC。，所以BE||平面PC。，

又因為H為線段BE上的動點，APC。的面積是定值，從而三棱錐〃-28的體積是定值.

(2)因為平面PC。，所以P4_LC￡>,結合BE〃CD,所以AP_L8E,

又因為AB_LBC,AB=BC=-AD,且￡為AO的中點，所以四邊形A8CE為正方形，所以8E_LAC，結合

2

APcAC=A,則BE1平面APC,連接P。，則3ELP0,

因為平面PC。，所以Q4_LPC,

因為4。=夜48=及4尸，所以APAC是等腰直角三角形，。為斜邊AC上的中點，

所以POLAC,且ACIBE=O,所以PO_L平面ABC。，所以尸。是四棱錐P-A3CD的高，

又因為梯形48C。的面積為L(8C+A￡>)xAfi=L(2+4)x2=6,

22

在RtZ\APC中，P0=6,所以％梯揚既。.PO=gx6xa=2G?

(3)以。為坐標原點，建立空間直角坐標系。-型，如圖所示，

則8（夜，0,0）,C（0,叵,0）,0（—2啦，血,0）,P（0,0,0）,

則配=（-V2,y/2,0）,麗=（夜,0,-夜）,麗=（-272,夜,-應），

設平面PBO的法向量為〃=（“,匕卬），貝葉一，即｛「廣「，則《,

n-PD^O-2yl2u+y/2v->/2w=01v=3w

令卬=1,得到“=（1,3,1）,

則sina=|cos（BC,n）|=|嚏1=年，

設BC與平面尸8。所成的角為a

所以cosa—Vl-sin2a---,

11

所以直線BC與平面PBD所成角的余弦值為Ml.

11

20.(1)(0,0),(2后康；(2)20

【解析】

(1)依題意可知，直線/的極坐標方程為，=n?(夕eR),再對「分三種情況考慮；

4

(2)利用直線參數方程參數的幾何意義，求弦長即可得到答案.

【詳解】

7F

(1)依題意可知，直線/的極坐標方程為。=一(peR),

4

當「〉0時，聯立解得交點「夜

X7=4cos。，

當。=0時，經檢驗(0,0)滿足兩方程，(易漏解之處忽略2=0的情況)

當。<0時，無交點；

綜上，曲線c與直線/的點極坐標為(o,o),

(2)把直線/的參數方程代入曲線C,Wr2+2(sina-cosa)r-2=0,

可知：+?2=0,-t2=-29

所以IAB|=,_4=抱+幻2-4%=2&?

【點睛】

本題考查直線與曲線交點的極坐標、利用參數方程參數的幾何意義求弦長，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想、

分類討論思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.

21.(I)a,=2"，neN*.(H)見解析

【解析】

(1)由4=c>0,分〃=1和〃22兩種情況，即可求得數列｛4｝的通項公式；

(2)由題，得/=談\=*=(>”'，利用等比數列求和公式，即可得到本題答案.

【詳解】

(I)解：由題，得

當〃=1時，4=5]=2<7]-1,得4=1；

當〃..2時，an=Sn-S^=2a?-\-2a^+\,整理，得a“=2a,i.

，數列｛4｝是以1為首項，2為公比的等比數列，

.?.a,,=1.2"T=2"T,〃eN*;

111」、〃|

(II)證明：由(I)知，>=0.八2=而=(,)，

1_111

故匯下二F+T+…+方

4a