2024屆山東省青島市即墨區(qū)重點(diǎn)高中高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2024屆山東省青島市即墨區(qū)重點(diǎn)高中高三上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,則()A. B.3 C. D.42.已知雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.3.正項(xiàng)等比數(shù)列中,,且與的等差中項(xiàng)為4,則的公比是()A.1 B.2 C. D.4.已知函數(shù),若函數(shù)的極大值點(diǎn)從小到大依次記為,并記相應(yīng)的極大值為,則的值為()A. B. C. D.5.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則公比()A. B.4 C. D.26.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.7.設(shè)全集為R,集合,,則A. B. C. D.8.記個(gè)兩兩無(wú)交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間9.已知全集,集合,則()A. B. C. D.10.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,211.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.12.“”是“直線與互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為________.14.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到一個(gè)偶函數(shù)圖象,則________.15.設(shè)實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最大值為______.16.已知,記,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點(diǎn),是上的點(diǎn).(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).21.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求的分布列.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)與連線的斜率為時(shí),直線的傾斜角為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn),求證:

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由正弦定理及條件可得,即.,∴,由余弦定理得。∴.選B。2、C【解析】

先求得的漸近線方程,根據(jù)沒(méi)有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為q,,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式,以及等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì),解方程可得公比q.【詳解】由題意,正項(xiàng)等比數(shù)列中,,可得,即,與的等差中項(xiàng)為4,即,設(shè)公比為q,則,則負(fù)的舍去,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,其中解答中熟記等比數(shù)列通項(xiàng)公式,合理利用等比數(shù)列的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了方程思想和運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

對(duì)此分段函數(shù)的第一部分進(jìn)行求導(dǎo)分析可知,當(dāng)時(shí)有極大值,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),而值域則是每一次前面兩個(gè)單位長(zhǎng)度定義域的值域的2倍,故此得到極大值點(diǎn)的通項(xiàng)公式,且相應(yīng)極大值,分組求和即得【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然當(dāng)時(shí)有,,∴經(jīng)單調(diào)性分析知為的第一個(gè)極值點(diǎn)又∵時(shí),∴,,,…,均為其極值點(diǎn)∵函數(shù)不能在端點(diǎn)處取得極值∴,,∴對(duì)應(yīng)極值,,∴故選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本函數(shù)極值的求解,從函數(shù)表達(dá)式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列,最后分組求和,要求學(xué)生對(duì)數(shù)列和函數(shù)的熟悉程度高,為中檔題5、D【解析】

由得,又,兩式相除即可解出.【詳解】解:由得,又,∴,∴,或,又正項(xiàng)等比數(shù)列得,∴,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時(shí)乘以,化簡(jiǎn)整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的常考問(wèn)題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.7、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意可得:,結(jié)合交集的定義可得:.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:本題主要考查交集的運(yùn)算法則,補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當(dāng)且時(shí)的導(dǎo)數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點(diǎn)值分別看作對(duì)應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當(dāng)且時(shí),.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對(duì)應(yīng)自變量范圍,導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題9、D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問(wèn)題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.11、C【解析】

在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進(jìn)行判定【詳解】當(dāng)時(shí),直線方程為與,可得兩直線平行;若直線與互相平行,則,解得,,則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件,故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì),充分條件,必要條件的定義和判斷方法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問(wèn)題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對(duì)稱可知關(guān)于對(duì)稱,進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于對(duì)稱即:本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸求解參數(shù)值的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠通過(guò)平移后的對(duì)稱軸得到原函數(shù)的對(duì)稱軸,進(jìn)而利用特殊值的方式來(lái)進(jìn)行求解.15、【解析】

試題分析:作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),最大,且考點(diǎn):線性規(guī)劃.16、【解析】

根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極小值為,無(wú)極大值.(2)見解析.【解析】

(1)對(duì)求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無(wú)極大值.(2)當(dāng)時(shí),要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,所以,即.因?yàn)闀r(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,極值,不等式的證明,構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18、(1)(2)為減函數(shù),為增函數(shù).(3)證明見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),求出切線方程,令得切線的縱截距,可得(必須利用函數(shù)的單調(diào)性求解);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性;(3)不等式變形為,由遞減,得(),即,即,依次放縮,.不等式,遞增得(),,,,先證,然后同樣放縮得出結(jié)論.【詳解】解:(1)對(duì)求導(dǎo),得.因此.又因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為,即.由題意,.顯然,適合上式.令,求導(dǎo)得,因此為增函數(shù):故是唯一解.(2)由(1)可知,,因?yàn)椋詾闇p函數(shù).因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù).(3)證明:由,易得.由(2)可知,在上為減函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.令,得,即.因此,當(dāng)時(shí),.所以成立.下面證明:.由(2)可知,在上為增函數(shù).因此,當(dāng)時(shí),,即.因此,即.令,得,即.當(dāng)時(shí),.因?yàn)椋裕?所以,當(dāng)時(shí),.所以,當(dāng)時(shí),成立.綜上所述,當(dāng)時(shí),成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力,把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調(diào)性得出數(shù)列的不等關(guān)系:,.這是最關(guān)鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.19、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)因?yàn)椋镁€面平行的判定定理可證出平面,利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系,得出和,由于底面,利用線面垂直的性質(zhì),得出,且,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,即可證出平面.(2)由(1)可知,,兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo),運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量,分別求出平面和平面的法向量,最后利用空間二面角公式,即可求出的余弦值.【詳解】(1)證明:因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫妫矫妫钥稍O(shè)平面平面,又因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫妫矫妫裕瑥亩?因?yàn)榈酌妫?因?yàn)椋?因?yàn)椋云矫?綜上,平面.(2)解:由(1)可得,,兩兩垂直,以為原點(diǎn),,,所在直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋裕瑒t,,,,所以,,,.設(shè)是平面的法向量,由取取,得.設(shè)是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算,還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等,同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.20、(1);(2)見解析;(3)見解析【解析】

(1)需滿足恒成立,只需即可;(2)根據(jù)的單調(diào)性,構(gòu)造新函數(shù),并令,根據(jù)的單調(diào)性即可得證;(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實(shí)數(shù)解,對(duì)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,結(jié)合題目條件與不等式的放縮,即可得證.【詳解】;令,則恒成立;,;的取值范圍是;(2)證明:由(1)知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;;令,;則;令,則;;;(3)證明:,,要證明有唯一實(shí)數(shù)解;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;即對(duì)于任意實(shí)數(shù),一定有解;;當(dāng)時(shí),有兩個(gè)極值點(diǎn);函數(shù)在,,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;又;只需,在時(shí)恒成立;只需;令,其中一個(gè)正解是;,;單調(diào)遞增,,(1);;;綜上得證.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮,屬難題.21、(1);(2)見解析.【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.22、(1);(2)詳見解析.【解析】

(1)由短軸長(zhǎng)可知,設(shè),,由設(shè)而不求法作差即可求得,將相應(yīng)值代入即求得

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