第一章空間向量與立體幾何章末素養提升|體系構建||核心歸納|1．空間向量的有關概念名稱概念表示零向量模為0的向量0單位向量長度(模)為1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個平面的向量—2．空間向量中的有關定理(1)共線向量定理空間兩個向量a與b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數λ，使得a＝λb．(2)共面向量定理共面向量定理的向量表達式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b為不共線向量．(3)空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空間的一個基底．②兩向量的數量積已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空間向量數量積的運算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．4．空間向量的坐標表示及其應用設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．5．空間位置關系的向量表示(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量，一條直線的方向向量有無數個．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有無數個，它們是共線向量．(3)空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0|素養提升|素養1數學運算角度1基向量的運算(2)在所有棱長均相等的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，M是AA1的中點，則異面直線BM與B1C所成角的余弦值為________.解決空間向量線性運算問題的方法及技巧(1)進行向量的線性運算，實質上是在正確運用數乘運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．(2)和空間向量的線性運算相關的結論角度2坐標運算如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，F為A1B1的中點．(1)求證：DE⊥C1F；(2)求異面直線A1C與C1F所成角的余弦值．2．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．(1)求證：PA∥平面BDE；(2)求二面角B－DE－C的余弦值．(1)證明：如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD＝DC＝2，則A(2，0，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，B(2，2，0)，素養2邏輯推理如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，P為側棱CC1上一點．(1)求證：側棱CC1上不存在點P使B1P⊥平面ABB1A1．(2)CC1上是否存在點P使得B1P⊥A1B？若存在，確定PC的長；若不存在，說明理由．(1)證明：(反證法)若CC1上存在點P，使B1P⊥平面ABB1A1，則平面BCC1B1⊥平面ABB1A1．又∵BC⊥BB1，∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB，與題意矛盾．∴CC1上不存在點P使B1P⊥平面ABB1A1．巧用空間向量證明空間中的位置關系(1)線面平行：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②可在平面內找到一個向量，證明其與直線的方向向量是共線向量；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內兩不共線向量線性表示．(2)線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；②利用線面垂直的性質定理轉化為線線垂直問題．(3)面面平行：①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)；②轉化為線面平行、線線平行問題．(4)面面垂直：①證明兩個平面的法向量互相垂直；②轉化為線面垂直、線線垂直問題．3．如圖，四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．求證：(1)AD∥平面PCB；(2)平面PDE⊥平面PAC．證明：(1)∵∠ADC＝∠DCB＝90°，∴AD∥BC，且AD?平面PCB，BC?平面PCB．∴AD∥平面PCB．(2)以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(2，1，0)，B(0，3，0)，P(0，0，2)，D(2，0，0)，E(1，2，0)，|鏈接高考|

(2020年浙江)如圖，在三棱臺ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．(1)求證：EF⊥DB；(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．線面角圖1

方法二，由三棱臺ABC－DEF，得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為θ．如圖2，以O為原點，分別以射線OC，OD為y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz．【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關系，線面垂直的判定定理的應用，直線與平面所成的角的求法，意在考查學生的直觀想象能力和數學運算能力，屬于基礎題．面面角(2)取A1B的中點E，連接AE，因為AA1＝AB，所以AE⊥A1B．又因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC，得AE⊥BC，BB1⊥BC．又因為AE，BB1?平面ABB1A1且相交，所以BC⊥平面ABB1A1．所以BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點，建立空間直角坐標系，如圖，【點評】本題考查空間向量的相關計算，平面與平面所成的角的求法，能夠根據題意求出點D的坐標是解題的關鍵．

(2019年新課標Ⅰ)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．(1)求證：MN∥平面C1DE；(2)求點C到平面C1DE的距離．距離圖1

∴ME綉ND．∴四邊形MNDE是平行四邊形，故MN∥ED．又∵MN?平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．方法二，∵直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD