第第頁(yè)2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列期末典例專練24：表面積的增減變化問(wèn)題一、填空題。1．有一個(gè)長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)減少2厘米，就變成一個(gè)正方體，正方體的表面積是96平方厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是()厘米，體積是()立方厘米。【答案】696【分析】根據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，用96÷6即可求出正方體一個(gè)面的面積，進(jìn)而求出正方體的棱長(zhǎng)，也就是長(zhǎng)方體原來(lái)的寬和高，根據(jù)題意可知，長(zhǎng)方體原來(lái)的長(zhǎng)比正方體的棱長(zhǎng)多2厘米，據(jù)此求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，然后根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式：長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高求出長(zhǎng)方體的體積。【詳解】96÷6＝16（平方厘米）16＝4×4長(zhǎng)方體的寬和高是4厘米，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：4＋2＝6（厘米）長(zhǎng)方體的體積：6×4×4＝96（立方厘米）原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是6厘米，體積是96立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體體積公式和正方體表面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式。2．用兩個(gè)棱長(zhǎng)是5分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，拼成的長(zhǎng)方體的表面積是()平方分米。【答案】250【分析】根據(jù)題意，用兩個(gè)棱長(zhǎng)是5分米的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，那么拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是（5×2）分米，寬和高都是5分米；根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。【詳解】長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是：5×2＝10（分米）長(zhǎng)方體的寬是5分米，高是5分米；長(zhǎng)方體的表面積：（10×5＋10×5＋5×5）×2＝（50＋50＋25）×2＝125×2＝250（平方分米）拼成的長(zhǎng)方體的表面積是250平方分米。【點(diǎn)睛】本題考查正方體、長(zhǎng)方體的拼接以及長(zhǎng)方體的表面積公式的運(yùn)用，也可以根據(jù)拼成的長(zhǎng)方體的表面積比原來(lái)2個(gè)正方體的表面積少2個(gè)正方形的面積進(jìn)行解答。3．有一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體，表面積是70平方分米，正好截成了3個(gè)體積相等的正方體，每個(gè)正方體的表面積是()平方分米。【答案】30【分析】如圖，原長(zhǎng)方體共（4×3＋2）個(gè)正方形的面，原長(zhǎng)方體表面積÷正方形個(gè)數(shù)，求出一個(gè)正方形面積，正方形面積×6＝正方體表面積，據(jù)此列式計(jì)算。【詳解】70÷（4×3＋2）＝70÷（12＋2）＝70÷14＝5（平方分米）5×6＝30（平方分米）每個(gè)正方體的表面積是30平方分米。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉長(zhǎng)方體特征，掌握并靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體和正方體表面積公式。4．一個(gè)長(zhǎng)方體的高增加2分米，就變成了一個(gè)棱長(zhǎng)為11分米的正方體，原長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是()分米，體積是()立方分米。【答案】1241089【分析】根據(jù)題意可知，原來(lái)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為11分米、寬為11分米、高為（11－2）分米，根據(jù)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和公式，用（11＋11＋9）×4即可求出原長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，用11×11×9即可求出原長(zhǎng)方體的體積。【詳解】11－2＝9（分米）（11＋11＋9）×4＝31×4＝124（分米）11×11×9＝121×9＝1089（立方分米）原長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和是124分米，體積是1089立方分米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)和公式和體積公式的靈活應(yīng)用。5．將兩個(gè)完全一樣的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，原來(lái)每個(gè)小正方體的每個(gè)面的面積是4平方厘米，拼成后的長(zhǎng)方體的表面積是()平方厘米。【答案】40【分析】一個(gè)小正方體有6個(gè)面，兩個(gè)小正方體有12個(gè)面；將兩個(gè)完全一樣的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體后，得到的長(zhǎng)方體的總面積跟拼接前的兩個(gè)小正方體的總面積相差2個(gè)面；因此，拼成后的長(zhǎng)方體的表面積＝原來(lái)正方體的一個(gè)面的面積×（12－2），據(jù)此解答。【詳解】4×（12－2）＝4×10＝40（平方厘米）【點(diǎn)睛】此題考查了立體圖形的拼接，求拼接后的表面積關(guān)鍵是弄清楚拼接前后面數(shù)的變化。6．如圖，把一根長(zhǎng)4米，橫截面為正方形的長(zhǎng)方體木料截成3段，表面積增加了64平方分米，原來(lái)這根木料的體積是()立方米，表面積是()平方米。【答案】0.646.72【分析】看圖，表面積增加的是4個(gè)底面積。用表面積增加的部分64平方分米除以4，求出長(zhǎng)方體的底面積。根據(jù)底面積，求出這根木料的寬和高。最后，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積和體積公式，列式求出原來(lái)這根木料的體積以及表面積。【詳解】64÷4＝16（平方分米）4×4＝16（平方分米）4分米＝0.4米4×0.4×0.4＝0.64（立方米）4×0.4×4＋0.4×0.4×2＝6.4＋0.32＝6.72（平方米）所以，原來(lái)這根木料的體積是0.64立方米，表面積是6.72平方米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。7．把一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積增加()平方分米。【答案】50【分析】把一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體切成兩個(gè)長(zhǎng)方體，表面積比原來(lái)增加了2個(gè)正方形面，據(jù)此解答。【詳解】5×5×2＝25×2＝50（平方分米）表面積增加50平方分米。【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形的切拼，注意切一刀會(huì)增加2個(gè)面。8．一根3米長(zhǎng)的方鋼，把它橫截成3段時(shí)，表面積增加100平方厘米，原來(lái)方鋼的體積是()立方分米。【答案】7.5【分析】把方鋼橫截成3段時(shí)，表面積比原來(lái)增加了4個(gè)橫截面的面積，即100平方厘米，據(jù)此求出一個(gè)橫截面的面積，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝Sh，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】100÷4＝25（平方厘米）3米＝300厘米25×300＝7500（立方厘米）＝7.5（立方分米）【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的體積，明確把方鋼橫截成3段時(shí)，表面積比原來(lái)增加了4個(gè)橫截面的面積是解題的關(guān)鍵。9．一根長(zhǎng)方體木料，長(zhǎng)20dm，寬12dm，高10dm，要把它鋸成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，表面積最多增加()dm2，最少增加()dm2。【答案】480240【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，把這個(gè)長(zhǎng)方體鋸成兩個(gè)相同的長(zhǎng)方體，增加了兩個(gè)截面，要使表面積增加最多，也就是橫截（與底面平行）；要使表面積增加最少，也就是縱截（與左、右面平行）；再根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式：S＝ab計(jì)算，據(jù)此解答。【詳解】表面積增加最多：20×12×2＝240×2＝480（dm2）表面積增加最少：12×10×2＝120×2＝240（dm2）【點(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方體的特征以及表面積的計(jì)算方法，關(guān)鍵是弄清楚怎樣鋸表面積增加的最多或最少。10．一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是8cm，它的表面積是()cm2，如果將它“十字形”切割成4塊（如下圖），表面積增加了()cm2。【答案】384256【分析】根據(jù)正方體的表面積＝棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出這個(gè)正方體的表面積；如果將正方體“十字形”切割成4塊，要切2刀；每切1刀增加2個(gè)截面的面積，切2刀增加4個(gè)截面的面積；每個(gè)截面是邊長(zhǎng)為8cm的正方形，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，求出一個(gè)面的面積，再乘4即可求出增加的表面積。【詳解】正方體的表面積：8×8×6＝64×6＝384（cm2）表面積增加了：8×8×4＝64×4＝256（cm2）【點(diǎn)睛】本題考查正方體表面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是明白正方體切割后，增加了哪些面的面積，以此為突破口，利用面積公式求解。二、解答題。11．如圖，將4.5米長(zhǎng)的長(zhǎng)方體木塊沿橫截面平均截成三段后，表面積比原來(lái)增加了72平方分米。這個(gè)長(zhǎng)方體木塊原來(lái)的體積是多少立方分米？【答案】810立方分米【分析】把4.5米長(zhǎng)的長(zhǎng)方體木塊沿橫截面平均截成三段后，表面積比原來(lái)增加了4個(gè)橫截面的面積，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝Sh，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。【詳解】4.5米＝45分米72÷4×45＝18×45＝810（立方分米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體木塊原來(lái)的體積是810立方分米。【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體的體積，明確把長(zhǎng)方體截成三段后，表面積比原來(lái)增加了4個(gè)橫截面的面積是解題的關(guān)鍵。12．一盒明信片的形狀是長(zhǎng)12厘米、寬8厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體，現(xiàn)在把3盒這樣的明信片包裝在一起成為一個(gè)長(zhǎng)方體的禮品盒，怎樣包裝最節(jié)省包裝紙？至少需要多少平方厘米的包裝紙？（接口處不計(jì)）【答案】將3個(gè)最大的面長(zhǎng)12厘米，寬8厘米重合，拼成一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高9厘米的長(zhǎng)方體最節(jié)省包裝紙；552平方厘米【分析】要想包裝最節(jié)省包裝紙，大長(zhǎng)方體的表面積最小，即把明信片的最大的面重合在一起，組合后的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬不變，高是原來(lái)小長(zhǎng)方體高的3倍，即：大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是12厘米，寬是8厘米，高是3×3＝9厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式，求出大長(zhǎng)方體的表面積，即可解答。【詳解】將3個(gè)最大的面長(zhǎng)12厘米，寬8厘米重合，拼成一個(gè)長(zhǎng)12厘米，寬8厘米，高3×3＝9厘米的長(zhǎng)方體最節(jié)省包裝紙。（12×8＋8×9＋12×9）×2＝（96＋72＋108）×2＝276×2＝552（平方厘米）答：至少需要552平方厘米的包裝紙。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是按什么樣的方法組成的長(zhǎng)方體的表面積最小，以及長(zhǎng)方體表面積公式的應(yīng)用，熟記公式。13．把三個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積與三個(gè)正方體的表面積之和誰(shuí)大？相差多少？【答案】三個(gè)正方體表面積之和大；相差36平方厘米【分析】拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3厘米、3厘米和9厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式求出它的表面積。根據(jù)正方體的表面積公式，求出一個(gè)正方體的表面積，再乘3，求出三個(gè)正方體的表面積之和。最后，比較出表面積誰(shuí)更大，同時(shí)利用減法求出相差多少。【詳解】3×3＝9（厘米）長(zhǎng)方體表面積：3×3×2＋3×9×4＝18＋108＝126（平方厘米）三個(gè)正方體表面積之和：3×3×6×3＝162（平方厘米）162＞126162－126＝36（平方厘米）答：三個(gè)正方體的表面積之和更大，與長(zhǎng)方體的表面積相差36平方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體、正方體的表面積，解題關(guān)鍵是熟記公式。14．一根3米的方鋼，沿橫截面把它截成3段時(shí)，表面積增加了80平方分米，原來(lái)方鋼的體積是多少立方米？【答案】0.6立方米【分析】把方鋼截成3段時(shí)，需要鋸2次，每鋸一次增加2個(gè)面的面積，所以共增加了2×2個(gè)面，用增加的面積除以4，求出1個(gè)橫截面的面積，即長(zhǎng)方體方鋼的底面積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式，再乘方鋼的長(zhǎng)度，即可求出原來(lái)方鋼的體積。【詳解】2×（3－1）＝2×2＝4（個(gè)）80平方分米＝0.8平方米0.8÷4×3＝0.2×3＝0.6（立方米）答：原來(lái)方鋼的體積是0.6立方米。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是理解立體圖形切割后表面積的變化情況，靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體的體積公式求解。15．一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高減少3厘米就變成了一個(gè)正方體，表面積就減少了96平方厘米，現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來(lái)長(zhǎng)方體的體積相差多少立方厘米？【答案】192立方厘米【分析】根據(jù)題意，長(zhǎng)方體的高減少3厘米變成了一個(gè)正方體，說(shuō)明長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬都等于正方體的棱長(zhǎng)；正方體比原來(lái)長(zhǎng)方體減少的表面積是4個(gè)長(zhǎng)為正方體的棱長(zhǎng)，寬為3厘米的長(zhǎng)方形的面積；先用減少的表面積除以4，求出一個(gè)長(zhǎng)方形的面積，再除以3，即可求出正方體的棱長(zhǎng)，也是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬；那么正方體與原來(lái)長(zhǎng)方體相差的體積是一個(gè)長(zhǎng)、寬等于正方體的棱長(zhǎng)，高為3厘米的小長(zhǎng)方體的體積，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。【詳解】96÷4＝24（平方厘米）24÷3＝8（厘米）8×8×3＝64×3＝192（立方厘米）答：現(xiàn)在這個(gè)正方體的體積與原來(lái)長(zhǎng)方體的體積相差192立方厘米。【點(diǎn)睛】本題考查立體圖形的切拼以及長(zhǎng)方體體積公式的應(yīng)用，明確表面積減少的是哪些面的面積，以此為突破口，求出正方體的棱長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。16．把一個(gè)長(zhǎng)方體木塊截成兩個(gè)完全一樣的正方體（如圖），這兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)之和比原來(lái)長(zhǎng)方體增加了48厘米，原來(lái)長(zhǎng)方體木塊的表面積是多少平方厘米？【答案】360平方厘米【分析】把一個(gè)長(zhǎng)方體截成兩段完全一樣的正方體，切一次增加2個(gè)面，增加了8條棱，因?yàn)榉殖珊蟮膬蓚€(gè)正方體的棱長(zhǎng)之和比原長(zhǎng)方體增加48厘米，即增加的8條棱的長(zhǎng)度和是48厘米，進(jìn)而用48÷8＝6厘米得出一條棱的長(zhǎng)度，則原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是6×2＝12厘米，寬和高都是6厘米，再根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據(jù)此計(jì)算即可。【詳解】48÷8＝6（厘米）6×2＝12（厘米）（12×6＋12×6＋6×6）×2＝（72＋72＋36）×2＝180×2＝360（平方厘米）答：原來(lái)長(zhǎng)方體木塊的表面積是360平方厘米。【點(diǎn)睛】此題應(yīng)結(jié)合題意進(jìn)行分析，理解增加兩個(gè)面，增加了8條棱，然后根據(jù)題中給出的條件，求出一條棱的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積計(jì)算公式進(jìn)行解答。17．三名同學(xué)觀察并測(cè)量了一個(gè)長(zhǎng)方體后，描述了以下信息。甲：如果高增加2分米，它恰好是一個(gè)正方體。乙：長(zhǎng)方體的前后左右四個(gè)面的面積之和是60平方分米。丙：它的底面周長(zhǎng)是20分米。請(qǐng)你根據(jù)他們描述的信息，求出這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。【答案】75立方分米【分析】由題意可知，這個(gè)長(zhǎng)方體上下兩個(gè)面是正方形，前后左右四個(gè)側(cè)面是形狀相同的長(zhǎng)方形，根據(jù)底面周長(zhǎng)求出底面正方形的邊長(zhǎng)，再利用長(zhǎng)方體四個(gè)面的面積之和求出一個(gè)面的面積，并根據(jù)底面正方形的邊長(zhǎng)求出長(zhǎng)方體的高，最后利用“長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高”求出這個(gè)長(zhǎng)方體的體積，據(jù)此解答。【詳解】底面正方形邊長(zhǎng)：20÷4＝5（分米）長(zhǎng)方體的高：60÷4÷5＝15÷5＝3（分米）長(zhǎng)方體的體積：5×5×3＝25×3＝75（立方分米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是75立方分米。【點(diǎn)睛】掌握長(zhǎng)方體的特征并求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高是解答題目的關(guān)鍵。18．一根長(zhǎng)9米的長(zhǎng)方體木料，橫截成3段，表面積增加了100平方分米，原來(lái)這根木料的體積是多少立方米？【答案】2.25立方米【分析】長(zhǎng)方體截成3段，表面積增加了4個(gè)橫截面，先用增加的總面積÷4即可求出橫截面的面積，再乘長(zhǎng)方體的長(zhǎng)即可求出長(zhǎng)方體的體積。【詳解】100平方分米＝1平方米1÷4×9＝0.25×9＝2.25（立方米）答：原來(lái)這根木料的體積是2.25立方米。【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體的體積的靈活應(yīng)用和立體圖形的切割。19．一個(gè)正方體的底面不變，高增加了3厘米，得