第第頁專題5.5三角恒等變換2（重點題型解題技巧）【題型1三角函數非特殊角填空問題】【題型2探究最值】【題型3三角函數和差、半角正切公式】題型1三角函數非特殊角填空問題一些非特殊角的三角恒等變形求值填空題，由于最后得出的是一個具體的數值，故將其設為一個元，再利用恒等變形公式計算其結果形如1、利用三角公式化簡：解：令，即故形如2、求的值解：令即即則必須滿足條件形如3、求的值解：令即：即：故：形如4、求值解：令即即即同時除以得：1．化簡：（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】根據題意，由輔助角公式以及正弦函數的和差角公式化簡，代入計算，即可得到結果.【詳解】.故選：B2．（

）A．16 B．32 C．48 D．52【答案】B【分析】根據輔助角公式，倍角公式化簡計算.【詳解】，所以．故選：B3．若，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角函數的誘導公式、同角公式、二倍角正弦公式和輔助角公式求解.【詳解】依題意，，即，則，即，而，所以.故選：D4．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用積化和差和和差化積公式，結合半角公式，誘導公式化簡得到結果.【詳解】由積化和差公式可得，故，由和差化積公式可得，故所以.故選：A【點睛】和差化積公式：，，，積化和差公式：，，，.5．下列等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】A選項，逆用余弦二倍角公式進行求解；B選項，逆用正弦二倍角公式進行求解；C選項，利用輔助角公式和誘導公式求出答案；D選項，將換為，逆用正切差角公式進行求解.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D正確.故選：BCD6．下列等式正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】A選項，利用三角恒等變化得到，結合，判斷出函數值的正負，求出答案；B選項，利用正切和角公式逆運算得到；C選項，利用平方差公式，同角三角函數關系及二倍角公式求出C錯誤；D選項，利用差角公式化簡計算出D正確.【詳解】A中，.，,，，，原式，所以A錯誤；B中，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，D正確；故選：BD7．下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】誘導公式結合和角余弦公式計算判斷A；誘導公式結合倍角余弦公式計算判斷B;湊特殊角并結合差角的余弦計算判斷C；切化弦并利用輔助角公式、二倍角公式計算判斷D.【詳解】對于A，，A是；對于B，，B不是；對于C，，C是；對于D，，D不是.故選：AC8．化簡并求值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據給定條件，利用切化弦、二倍角公式、輔助角公式化簡計算作答.（2）根據給定條件，利用切化弦、誘導公式、二倍角公式、輔助角公式化簡計算作答.（3）根據給定條件，利用特殊角的三角函數值、二倍角公式、湊角的思想結合和差角的正弦化簡計算作答.【詳解】（1）.（2）.（3）.9．計算求值：(1)已知、均為銳角，，，求的值(2)計算的值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平方和公式和三角函數的和差公式即可得答案.（2）根據誘導公式、二倍角公式、輔助角公式即可得答案.【詳解】（1）、均為銳角，則，所以，，所以.（2）.10．計算求值：(1)；(2)已知，均為銳角，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）發掘角關系再利用誘導公式，降冪公式化簡求值即可.（2）先將用來表示，代入，利用兩角和差公式求解即可.【詳解】（1）（2）∵、都為銳角，∴，又，∴，，∴.題型2探究最值定理：若存在最大值，若存在最小值，若最大值最小值都可以根據函數的奇偶性來求算，其中求最值得充要條件：證明最大值如下：∴時取最值①必要信息：若取最大值，若取最小值.②，則則注意：Ⅰ若中帶有的式子，則中必有帶，若中帶有的式子，則中必有帶.Ⅱ若，則，反之亦然Ⅲ最小值時通常取形如1、已知函數，則的最小值是____________解：第一步：第二步：取得最值時按照必要信息，滿足最值的式子，此時求得最大值.，滿足最值的式子，此時求得最小值為.形如2、已知函數，則的最小值是__________解：第一步：第二步：取得最值時求最小值時取負號滿足最值的式子，此時求得最小值為形如3、已知函數，則的最大值是______解：第一步：第二步：取得最值時根據必要信息，求最大值時取正號，，滿足最值的式子，此時求得的最大值為1．關于函數有以下四個結論：①是周期函數．②的最小值是0．③的最大值是4．④的零點是．其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用二倍角的正弦及輔助角公式變形函數的解析式，再逐一分析各個命題即可判斷作答.【詳解】依題意，，因為的最小正周期為，因此的最小正周期為，①正確；當，即時，，②正確；當時，，③錯誤；由得：，則或,解得或，即或，因此，④正確，所以正確結論的個數是3.故選：C2．已知函數，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數關系式整理函數解析式，換元，根據輔助角公式，整理可得二次函數，可得答案.【詳解】，令，即，由，則.故選：A.3．函數，則的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡函數的解析式，利用正弦型函數的基本性質可求得的最大值.【詳解】因為，故函數的最大值為.故答案為：.4．已知則函數的最大值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換、輔助角公式表示出的解析式，再用換元法將函數轉化為二次函數即可求最大值.【詳解】，,令,因為,所以,所以,所以,所以,對稱軸,所以在單調遞增,所以當時，,即當,時，有最大值.故答案為:.5．函數，若的最大值和最小值是．【答案】，【分析】注意sinx+cosx與sinx?cosx之間的關系，進行換元可將原函數轉化成一元二次函數來解．【詳解】令t＝sinx+cosx＝sin（x+），當x∈[0，]時，則t∈[1，]，所以2sinxcosx＝t2﹣1，則y＝t2+t+1＝（t+）2+，在t∈[1，]上單調遞增，此時y的最大值是，而最小值是3．故答案為：，6．已知實數，若函數的最大值為，則a的值為.【答案】【分析】利用換元法，令，結合同角三角函數的平方關系，將函數化為關于的函數，然后分類求最值.【詳解】設，則，則，，，對稱軸方程為，當時，，解得（舍）或（舍）；當時，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數的恒等變換與化簡求值，同角三角函數平方關系的應用，利用換元法求函數的最值問題，分類討論求二次函數的最值問題，是中檔題.7．函數y=sinx+cosx+2sinxcosx的最大值為．【答案】【分析】利用換元法，將三角函數轉化成二次函數式，依據參數的取值范圍求得最值．【詳解】令且，所以則，所以所以對稱軸為，因為所以當時取得最大值為【點睛】本題考查了換元法在求函數最值中的應用，這種三角形整體換元法不是很常見，需要特別注意，屬于難題．8．已知，則的最大值為．【答案】【分析】設，，求得的取值范圍，再用表示函數，求出的最大值．【詳解】設，，則又，則∴，∴．∵∴∴∴時，函數單調遞增則時，取得最大值為．故答案為：．題型3三角函數和差、半角正切公式技巧總結①②③④⑤⑥⑦只要都有只要都有只要都有⑧中，（正切恒等式）形如1、若，則的值為（）A． B． C． D．解：因為，則.故選：D.形如2、已知為正三角形，則的值為（）A． B． C． D．解：因為為正三角形，所以，所以.故選：B.形如3、已知、、為的三內角，且角為銳角，若，則的最小值為（）A． B． C． D．1解：在中，，，，,角為銳角,，，當且僅當，即時，等號成立，的最小值為.故選：C.1．（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據兩角和的正切公式以及誘導公式求得正確答案.【詳解】，，，所以，所以.故選：A2．化簡（

）A．8 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】構造兩角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可.【詳解】因為，所以，即，故選：B3．的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據正切和差角公式即可求解.【詳解】,故選：C4．已知，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩角和正切公式及條件求得，然后化切為弦，結合兩角差的余弦公式求得，從而利用兩角和余弦公式得，從而利用二倍角公式可求解.【詳解】由題意可得，因為，所以，由，得，故，所以.故選：C.5．的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】.故選：B6．（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【分析】根據題意，逆用正切的和差角公式，即可得到結果.【詳解】，故選：A．7．求值：（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用兩角和差的正切公式即可得出．【詳解】．故選：D．【點睛】本題考查兩角和差的正切公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．8．等于（

）A． B． C．1 D．1【答案】D【分析】直接利用兩角和的正切公式的變形公式化簡計算即可【詳解】，故選：D9．A．1 B．-1 C． D．【答案】B【詳解】分析：利用兩角和的正切函數，化簡求解即可.詳解：，即有，故選：B.點睛：本題考查兩角和與差的正切函數，考查計算能力.10．（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】將代入所求的式子，即可求解.【詳解】.故選:C.【點睛】本題考查非特殊角的三角函數求值，考查公式變形應用，化非特殊角為特殊角，非特殊角相消相約，達到求值目的，屬于基礎題.11．“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分亦不必要條件【答案】D【分析】根據兩角和的正切公式，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【詳解】由（1+tanα）（1+tanβ）＝2得1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝2，即tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，∴1，∴．(k，不一定有“”；反之，“”不一定有“”，如=，，此時無意義；∴“”是“”的既不充分亦不必要條件．故選D．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查了兩角和的正切公式，舉反例說明命題不成立是解決此類題的常用方法，屬于基礎題．12．值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以所以.故選：C.13．已知，則的值為．【答案】3【分析】根據題意，由正切函數的和差角公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】已知，所以，故答案為：14．已知，滿足，則．【答案】【分析】根據題意結合兩角和差公式整理得，進而可得結果.【詳解】因為，即，整理得，即，所以．故答案為：．15．在中，已知．(1)求；(2)若的面積為，，求AB的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由及可求；（2）方法1：由題條件及求