江蘇省淮安市盱眙縣2023-2024學年九年級上學期期中數學試題一、選擇題（每小題3分，共24分．）1.下列方程中，是一元二次方程的是（）A.2x+y＝1 B.x2+3xy＝6 C.x+＝4 D.x2＝3x﹣2【答案】D【解析】A、原方程為二元一次方程，不符合題意；B、原式方程為二元二次方程，不符合題意；C、原式為分式方程，不符合題意；D、原式為一元二次方程，符合題意，故選：D．2.如圖，點A，B，C在上，連接．若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴；故選：C.3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若∠D=85°，則∠B的度數為（）A.95° B.105° C.115° D.125°【答案】A【解析】∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，且∠D=85°，∴；故選A．4.如圖，是的切線，B為切點，與交于點C，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是的切線，B為切點，∴，即，∵，∴，∵，∴．故選：B．5.如圖，冰淇淋蛋筒下部呈圓錐形，則蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圖可知，圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的側面積為，即蛋筒圓錐部分包裝紙的面積（接縫忽略不計）是，故選：C．6.據國家統計局發布的《2022年國民經濟和社會發展統計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據題意得，．故選：B．7.已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點B的直線折疊，點O恰好落在上的點D處，折痕交于點C，連接，則扇形的面積為（）A. B.2π C.π D.【答案】C【解析】由翻折的性質可知，，∵，∴，∴是正三角形，∴，∴，∴．故選：C．8.若關于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】設t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．

故選：B．二、填空題（每小題3分，共24分．）9.請填寫一個常數，使得關于的方程__________有兩個相等的實數根．【答案】1【解析】設這個常數為a，∵要使原方程有兩個相等的實數根，∴，∴，∴滿足題意的常數可以為1，故答案：1．10.如圖，用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了，假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了_________cm．（結果保留）【答案】【解析】根據題意，重物的高度為（cm）．故答案為：．11.請寫出一個兩根分別為，3的一個一元二次方程___________．【答案】【解析】由題意得，滿足題意的方程可以為，即，故答案為：（答案不唯一）．12.石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．【答案】8．【解析】連結OA，拱橋半徑OC為5cm，cm，m，cm，mm，故答案為：8．13.若a是一元二次方程的一個根，則的值是___________．【答案】6【解析】∵a是一元二次方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：6．14.如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環排列，共需要正五邊形的個數是________個．【答案】10【解析】根據題意可得：∵正五邊形的一個外角，∴，∴，∴共需要正五邊形的個數（個），故答案為：10．15.如圖，某博覽會上有一圓形展示區，在其圓形邊緣的點處安裝了一臺監視器，它的監控角度是，為了監控整個展區，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器___________臺．【答案】4【解析】∵，∴對應的圓心角的度數為，∵，∴最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監視器臺，故答案為：416.如圖，在中，，，D為邊上的一個動點，連接，以為直徑作圓交于點P，連接，則的最小值是______．【答案】【解析】如圖，取中點G，連接，∵為直徑，∴∵點G是中點，∴，在中，，在中，，即當點P在線段上時，最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共有11小題，共102分．）17.解方程：（1）；（2）．解：（1），∴，∴，∴，；（2），∴∴，∴，．18.小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：小敏：兩邊同除以，得，則．小霞：移項，得，提取公因式，得．則或，解得，．你認為他們的解法是否正確？如果不正確，請寫出你的解答過程．解：兩位同學的解法都不正確正確解答：移項，得，提取公因式，得，去括號，得，則或，解得，．19.如圖，在平面直角坐標系中，A(0，4)、B(4，4)、C(6，2)．（1）經過A、B、C三點的圓弧所在圓的圓心M的坐標為；（2）這個圓的半徑為；（3）直接判斷點D(5，﹣2)與⊙M的位置關系，點D(5，﹣2)在⊙M（填內、外、上）．解：（1）如圖，圓心的坐標為；（2），，，即的半徑為；（3），，，，點在內．20.如圖，是的直徑，是延長線上一點，點在上，且，的延長線交于點，若，求的度數．解：連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．21.已知關于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，方程總有兩個實數根；（2）若方程有一根為，求的值．解：（1）由一元二次方程的根的判別式，取任意實數時，，即，無論取何值，方程總有兩個實數根，故命題得證．（2）把代入方程，得：，解得，故答案為：．22.如圖，某小區矩形綠地的長、寬分別為，，現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地，若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．解：設將綠地的長、寬增加，則新的矩形綠地的長為，寬為，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，.答：新的矩形綠地的長為，寬為.23.如圖，已知，．（1）作一個圓，使圓心O在邊AC上，且與AB、BC所在的直線相切（不寫作法、保留作圖痕跡，并說明作圖理由）；（2）若，，求所作的半徑．解：（1）如圖所示，即為所求作的圖形（2）在中，由勾股定理，得：．設與AB的切點為D，連接OD則設的半徑為r，在中，依勾股定理，得：解得：即的半徑為．24.如圖，為的直徑，E為上一點，點C為的中點，過點C作，交的延長線于點D，延長交的延長線于點F．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑長．解：（1）如圖，連接，∵，∴，∵點C是的中點，即，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴的半徑為5．25.列方程（組）解應用題端午節期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：小王：該水果的進價是每千克22元；小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．根據他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？解：設這種水果每千克降價元，則每千克的利潤為：元，銷售量為：千克，整理得，或，要盡可能讓顧客得到實惠，即售價為（元）答：這種水果的銷售價為每千克29元．26.閱讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉化為一元一次方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，由于“去分母”可能產生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想轉化，把未知轉化為已知．用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉化為x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）問題：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；（2）拓展：用“轉化”思想求方程的解；（3）應用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=8m，寬AB=3m，小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B，沿草坪邊沿BA，AD走到點P處，把長繩PB段拉直并固定在點P，然后沿草坪邊沿PD、DC走到點C處，把長繩剩下的一段拉直，長繩的另一端恰好落在點C．求AP的長．解：（1），，所以或或，，；故答案為，1；（2），方程的兩邊平方，得即或，，當時，，所以不是原方程的解．所以方程的解是；（3）因為四邊形是矩形，所以，設，則因為，，兩邊平方，得，整理，得兩邊平方并整理，得，即，所以．經檢驗，是方程的解．答：的長為．27.【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點在折線段上，，則稱點是折線段的中點．（1）如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點，點是折線段的中點．若，則；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點是的中點，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點；【變式探究】（3）如圖4，若點是的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論．【靈活應用】（4）如圖5