PAGEPAGE1重慶市2023-2024學年高一上學期期中七校聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以，，，，所以.故選：B.2.函數的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據函數的解析式可知，要得到函數的定義域，需滿足，得且，即函數的定義域為.故選：C.3.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】全稱命題的否定是特稱命題，則命題：的否定是：.故選：D.4.已知冪函數，且，則實數（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，即，解得，所以，則.故選：A.5.設函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由解析式可知，.故選：D6.函數的圖像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得函數為奇函數，排除B項，由，得，則排除C、D兩項.故選：A.7.若、是方程的兩個根，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，，，則，.故選：B.8.已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在區間上，函數單調遞增，且，所以在區間，，在區間，，因為函數為奇函數，所以，在區間，，在區間，，不等式等價于或，所以不等式的解集為.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若實數，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A：因為且在定義域上單調遞增，所以，故A正確；對于B：當，，滿足，但是，故B錯誤；對于C：因為且在定義域上單調遞增，所以，故C正確；對于D：當時與均無意義，故D錯誤.故選：AC.10.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，是解析數論的創始人之一，以其命名的函數，稱為狄利克雷函數，則關于，下列說法正確的是（）A.的值域為 B.的定義域為C.為周期函數 D.為偶函數【答案】BCD【解析】因為，所以的值域為，定義域為，故A錯誤，B正確；對于任何一個非零有理數，若為有理數，則也為有理數，則，若為無理數，則也為無理數，則，即任何一個非零有理數都是函數的周期，即為周期函數，故C正確；當為有理數時，為有理數，則，當為無理數時，為無理數，則，故為偶函數，故D正確.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.函數與是同一函數C.函數的單調遞增區間是D.已知的定義域為，則函數的定義域為【答案】AD【解析】對于A：由，即，解得或，所以由推得出，故充分性成立，由推不出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件，即A正確；對于B：因為函數，所以，解得，所以函數的定義域為，因為，則，解得或，故的定義域為，函數和函數的定義域不同，故不是同一函數，故B錯誤；對于C：由，解得或，即函數的定義域為，故C錯誤；對于D：因為函數的定義域為，所以，得，故函數的定義域為，故D正確；故選：AD.12.已知定義在R上的偶函數的圖像是連續的，，在區間上是增函數，則下列結論正確的是（）A.的一個周期為B.在區間上單調遞減C.的圖像關于直線對稱D.在區間上共有個實根【答案】BCD【解析】令，則，則，因為函數是R上的偶函數，則，所以，即，那么，所以函數的一個周期為，故A錯誤；因為函數在區間上是增函數，且為偶函數，則在區間為減函數，函數的周期為12，則函數在區間為減函數，故B正確；因為函數滿足，所以函數關于對稱，故C正確；根據以上可知，，且在區間上是增函數，為減函數，所以函數在一個周期內有2個零點，，即在區間有168個周期，其中包含336個零點，在區間中，其中，所以在區間有個零點，則在區間有個零點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數，則____________.【答案】【解析】法一：令，則，，即.法二：直接令，得.故答案為：.14.若、為正實數，且，則的最大值為_______.【答案】【解析】因為，即，即，所以，又、為正實數，所以，當且僅當，即、時取等號.故答案為：.15.已知集合，，且，則實數的取值范圍是____________．【答案】【解析】因為，，所以，又，所以，即實數的取值范圍是.故答案為：.16.已知定義域為R的函數，則滿足條件的實數的取值范圍是____________.【答案】或【解析】，所以函數為奇函數，且單調遞增函數，所以不等式，則，即，解得：或.故答案為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.化簡求值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.設集合，，．（1）若時，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍．解：（1）當時，所以或，又，所以（2）因為“”是“”充分不必要條件，所以，當，即，解得，符合題意；當時，則，解得，當時，符合題意，當時，符合題意，綜上可得實數的取值范圍為.19.求解下面兩題：（1）已知關于的不等式的解集為，求不等的解集；（2）若對于任意實數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）由不等式的解集為，則對于方程的兩個根分別為或，可知，解得：，則不等式，等價于，解得：，所以不等式的解集為.（2）若對于任意實數，不等式恒成立，則，解得：.20.（1）已知，求的最小值；（2）若，且滿足條件，求的最小值．解：（1）因為，所以，所以，當且僅當，即等號成立，所以當時，的最小值為9.（2）因為，，所以，，，則，當且僅當，即，等號成立，所以當，時，的最小值為.21.黨的二十大報告明確要求繼續深化國有企業改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業.某企業抓住機遇推進生產改革，現在準備從單一產品轉為生產、兩種產品，根據市場調查與市場預測，生產產品的利潤與投資成正比，其關系如圖①；生產產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）．（1）分別求出生產、兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；（2）該企業已籌集到12萬元資金，并全部投入、兩種產品的生產，問：怎樣分配這12萬元資金，才能使企業獲得最大利潤，最大利潤是多少？解：（1）設投資為萬元，產品的利潤為萬元，產品的利潤為萬元，由題設，，由圖知，故，又，所以，從而，．（2）設產品投入萬元，則產品投入萬元，設企業利潤為萬元，則，令，則，所以，當時，，此時，故產品投入萬元，產品投入萬元，才能使企業獲得最大利潤，最大利潤是萬元.22.已知是定義在上的奇函數．（1）求的值；（2）已知函數若函數與在上有兩個交點，求實數的取值范圍．解：（1）因是定義在上的奇函數，故解得：此