PAGEPAGE1陜西省渭南市韓城市2023-2024學年高二上學期期中數學試題注意事項：1．本試題分為選擇題和非選擇題兩部分．選擇題用2B鉛筆將答案涂在答題卡相應的位置；非選擇題，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡規定的區域內．2．答卷時，先將答題卡首有關項目填寫清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】將拋物線的方程化為標準形式，即，故其焦點坐標為．2.已知直線與直線，若，則（）A.1 B. C.1或2 D.或【答案】A【解析】因為，所以即解得.故選：A.3.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．4.已知點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線的斜率分別為,結合圖形可知：直線過點且與線段相交時，，故選：B5.已知圓，直線，設圓上恰有兩個點到直線的距離等于1．則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.或【答案】D【解析】圓，化簡為標準方程為，則圓的圓心為，半徑，若圓上恰有兩個點到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離，,即，得或故選：D6.設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.7.已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，點為軸上的動點，則的最大值是（）A. B.9 C.7 D.【答案】B【解析】圓：的圓心為，半徑為1，圓：的圓心為，半徑為3．，又，，所以．點關于軸的對稱點為，如圖，故，所以.故選：B8.如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】延長與雙曲線交于點，因為，根據對稱性可知，設，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.方程有實數解，則實數m的可能取值是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】設，，故有實數根即為兩個函數的圖象有交點，在同一直角坐標系中，畫出的圖象，如圖：則為直線的縱截距，當直線與半圓相切時，可得，當直線經過半圓的右端點時，可得，所以，故選：ABC10.下列說法正確的是（）A.拋物線的準線方程是B.若方程表示橢圓，則實數k的取值范圍是C.雙曲線與橢圓的焦點相同D.M是雙曲線上一點，點是雙曲線的焦點，若，則【答案】ACD【解析】對于A，拋物線的準線方程是，故A正確，對于B，當即時，方程表示圓，故B錯誤，對于C，雙曲線即，與橢圓的焦點均為，故C正確，對于D，雙曲線，頂點為，焦點為，，，而，則，故D正確，故選：ACD11.已知橢圓的左、右焦點分別是，左、右頂點分別是，點是橢圓上異于的任意一點，則下列說法正確的是（）A. B.若的面積為，則點的橫坐標為C.存在點滿足 D.直線與直線的斜率之積為【答案】BD【解析】依題意，所以，A選項錯誤.，，，B選項正確.，“”中的等號成立的條件是，所以不存在滿足，C選項錯誤.設，，，，D選項正確.故選：BD.12.為了迎接二十大的召開，我國全體航空人以昂揚的精神面貌?實際行動，踐行“航空報國?航空強國”的初心使命.2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標系中，半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G.若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則（）A.橢圓的長軸長為B.線段AB長度的取值范圍是C.的周長為D.不算橢圓在x軸上的端點，x軸上方橢圓上存在2個點A，使得【答案】ABC【解析】依題意，半橢圓所在橢圓的半焦距，短半軸長，得長半軸長，則長軸長，A正確；，因此，B正確；因點F，G是橢圓的兩個焦點，則的周長，C正確；顯然，在中，，因此不可能為直角，除橢圓在x軸上的端點外，x軸上方橢圓上不存在點A，使，D不正確.故選：ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，滿分20分．）13.兩平行直線，之間的距離為______.【答案】【解析】直線，即為，所以兩平行直線與之間的距離為.故答案為：14.過圓外一點作圓的兩條切線，切點A、B，則的外接圓的方程是________．【答案】【解析】由圓，得到圓心O坐標為，,，∴的外接圓為四邊形的外接圓，如圖所示，又，∴外接圓的直徑為，半徑為，外接圓的圓心C為線段OP的中點，即，則的外接圓方程是．故答案為：15.設，是雙曲線左、右焦點，是雙曲線在第一象限部分上的任意一點，過點作平分線的垂線，垂足為，則______.【答案】【解析】如圖所示，延長交于點，由為的平分線及，可得，所以，根據雙曲線的定義，可得，即，即，在中，由和分別為的中點，所以.故答案為：.16.已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線交于、兩點（點在第一象限），則________．【答案】【解析】設點、，則，，易知點，直線方程為，聯立可得，即，解得或，所以，.故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明，證題過程或演算步驟）17.（1）求經過點且在軸上截距等于軸上截距的直線方程；（2）求過直線與的交點，且與直線垂直的直線方程.解：（1）當直線過原點時，直線方程為；當直線不過原點時，由橫縱截距相等可設橫縱截距，直線方程，直線經過，即，直線方程為綜上所述：直線方程為或.（2）由得，交點為，又因為所求直線與垂直，所以所求直線斜率，故所求直線方程為，即.18.已知圓：，直線：.（1）求證：直線與圓相交；（2）計算直線被圓截得的最短的弦長.解：（1）將圓的一般方程化為標準方程得：，則圓心坐標為，半徑為，又直線：變形為，解不等式組，解得，即直線經過定點，又，則點在圓的內部，故直線和圓相交.（2）由圓的性質可得：當垂直弦時，弦長最短，又，則，即,故直線被圓截得的最短的弦長.19.已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內切，圓心的軌跡為曲線（1）求方程；（2）是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．解：（1）設動圓半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，設，，則，兩式相減得，得，即，由點斜式得直線方程為，即.所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，且該直線方程為.20.已知圓C經過點，及（3，0）．過坐標原點O，且斜率為k的直線l與圓C交于M，N兩點．（1）求圓C的標準方程；（2）若點，分別記直線PM，直線PN的斜率為，，證明：為定值．解：（1）設圓C的方程為，∴，解得，∴圓C的方程為，其標準方程為．（2）設，．由題意得直線l的方程為，由，得，∴，∴，∴，.即為定值0．21.已知拋物線，滿足下列三個條件中的一個：①拋物線上一動點到焦點的距離比到直線的距離大1；②點到焦點與到準線的距離之和等于7；③該拋物線被直線所截得弦長為16.請選擇其中一個條件解答下列問題.（1）求拋物線的標準方程；（2）為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，當時，求的面積的最小值.解：（1）若選擇①，則拋物線上一動點到焦點的距與到直線的距離相等，故，故，所以拋物線的方程為.若選擇②，則，解得，故拋物線的方程為.若選擇③，則由可得，所以，解得，故拋物線的方程為.（2）設，、，因為與拋物線相交于、，所以將代消去得：，則且，，由題意可知，，所以，所以，所以的面積，當且僅當時等號成立，所以的面積的最小值為.22.已知橢圓的離心率為，上頂點為A，右頂點為B.點在橢圓C內，且直線與直線垂直.（1）求C的方程；（2）設過點P的直線交C于M，N兩點，求證：以為直徑