:第i段切線的長度。：第j段圓弧的長度。L：從原點到達最終目標點的最短路徑的總長度。K:障礙物上的任一點與行走路徑之間的最短距離。模型的建立5.1模型猜想：猜想一：具有圓形限定區域的最短路徑是由兩部分組成的：一部分是平面上的直線段，另一部分是限定區域的部分邊界（即圓弧段），這兩部分是相切的，連續的。（即問題分析中的拉繩子拉到最緊時的狀況）證明：假設在平面中有A(-a,0)和B(a,0)兩點，中間有一個半圓形的障礙物，證明從A到B的最短路徑為AQUOTEB。平面上連接兩點最短的路徑是通過這兩點的直線段，但是連接兩點的線段于障礙物相交，所以設法嘗試折線路徑。在y軸上取一點C0,y，若y適當大，則折線ACB與障礙物不相交，折線ACB的長度為：ACB=2a2+y2顯然ACB隨著y的減小而減小，減小y得y→y1，即C→C1,使得AC1與C1B都與障礙物相切，切點分別為E和F,顯然AC1B是這種折線路徑中最短的。由于滿足0<∠AC1O∠π2的角滿足,所以易知弧EF小于EC為了使結果更具有說服力，下面再考察一條不穿過障礙物的任何一條路徑，設其分別于OE和OF的延長線交與P、Q兩點，記A和P之間的路徑長度為APQUOTE，顯然QUOTEAP>|AP|,又因AEEO,所以|AP|>AE,從而APQUOTE>AE同理可得BQQUOTE再來比較PQ之間路徑長度QUOTEPQ和圓弧EF的長度的大小。若PQ之間的路徑可有極坐標方程QUOTEρ=ρ(θ),則有QUOTEρ>1,可得：PQ即路徑APQB的長度超過路徑AEFB的長度。以上證明足以說明AEFB是滿足條件A到B的最短路徑。猜想二：假設一個圓環可以繞著環上一個定點轉動，那么過圓環外兩定點連接一根繩子，并以該圓環為支撐拉緊繩子，達到平衡時，圓心與該頂點以及兩條切線的延長線的交點共線圖2證明猜想：如圖2所示，E點就是圓環上的一個頂點，AQUOTEB就是拉緊的繩子，就是切線AC和BD的延長線的交點，證明、E、三點共線。我們可以用力學的知識進行證明，因為是拉緊的繩子，所以兩邊的繩子拉力相等，設為，它們的合力設為，定點對圓環的作用力設為。那么由幾何學的知識我們可以知道一定與共線，而又由力的平衡條件可知：=-即與共線，、和三點一定共線。5.2模型一的準備1）、有了5.1的定理，我們就可以認為，無論起點到目標點的途中有多少個障礙物，最短路徑都應該是由若干個線圓結構所組成的。根據本題中存在障礙物的情況，且障礙物在拐角處的危險區域是一個半徑為10的圓弧。所以結合定理5.1，求兩點之間的最短路徑時，我們應該按照最小的轉彎半徑來計算才可達到最優。線圓結構5.21如線圓結構5.21，設A點坐標為(X1,Y1),B點坐標為(X3,Y3)QUOTEQUOTE分別為機器人經過拐點分別于隔離危險線拐角小圓弧的切點，圓的半徑為r，AB的長度為c，AO的長度為a，BO的長度為b,角度==QUOTE,=QUOTE，∠COD=QUOTE.求AQUOTEB的長度，設為解法如下：如上圖可得有以下關系：∵L=ACCDBDa=b=c=α=arccosβ=arccosγ=arccosθ=2π-α-β-γ∴L=2）、而對于下圖兩種情況我們不能直接采用線圓的結構來解決，需要做簡單的變換。情況一如圖4所示：線圓結構5.22我們假設A點坐標為(X1,Y1)QUOTE，兩圓心坐標分別為O(X2,Y2)和O(X3,Y3)這樣我們可以利用5.21中的方法，先求A到M，再求M到B，這樣把整個過程分成兩段進行解即：L=+情形二：線圓結構5.23這里我們依然設圓心坐標分別為O1(x2,y2)QUOTEQUOTE和O2(x3,y3)QUOTE半徑為ACCDDE=EF=rBFbaOdbaOd這樣用D和E任意一點作為分割點都可以將上圖分割成兩個如圖2所示的線圓結構，這樣就可以對其進行求解。求解方法運用MATLAB軟件進行求解（程序見附錄）。同理有多個這樣的轉彎時，用同樣的方法都可以進行分割計算。4）、模型一的建立假設機器人從原點O到達任意目標點QUOTE,由5.2知機器人所走路徑一定是由直線段和圓弧組成。設有m條線段，n條圓弧，那么目標函數可以表示為：Min=S.t=建立此模型運用MATLAB軟件就可對原點到目標點之間的最短路徑進行優化求解（見附表）。5)、模型二的建立圖6如圖6所示，建立直角坐標系，C點坐標為(0,300)，B點為(300,0)，坐標系中陰影5為正方形，CB與OA相垂直，交點為D(x,y),陰影5的左上角的坐標為(80,210)，半徑r在線段CB上，利用兩點之間的距離公式得出：（機器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個單位），再利用求導公式求出半徑的最小值。a=b=c=cabdd=r六、模型的求解一、模型一的求解1、以下給出的是原點O到各個目標點的可能的最短路徑：1）、如下圖7，解決的就是O到目標點A的最短路徑問題。圖中給出了可能路徑的最短路徑（圖中標注紅色箭頭的黑色線段），我們可以分別計算出兩條可能路徑的最短路徑的長度，然后進行比較，求得的最小值就是O到A的最短路徑。圖72）、如下圖8，解決的是O到目標B的最短路徑問題。圖中給出了兩條可能路徑的最短路徑（圖中標注紅色箭頭的黑色線段），我們同樣可以分別計算出兩條可能的最短路徑，取最小值即為O到B得最短路徑。圖83）、如下圖9所示，解決的是O到C的最短路徑問題。圖中給出了兩條可能路徑的最短路徑（圖中的紅線所示），我們采用上述同樣的計算方法，分別計算出兩條可能的最短路徑，選擇最小值作為O到C得最短路徑。圖94）、如下圖10所示，解決的是原點的最短路徑問題。圖中給出了兩條可能路徑的最短路徑（圖中的紅線、黑線所示，有一部分路徑重疊），我們采用同樣的三中分法來計算，分別計算出兩條可能路徑的最短路徑，然后通過分析比較選出最小值作為的最短路徑。圖102、計算結果如下：1）、原點O到A點的可能的最短路徑有兩條，如圖7所示，運用matlab編程求解O到A第一條路徑是繞過障礙物5，且走在其上方的總距離為471.0372；第二條路徑走在障礙物的下方的總距離為498.4259；比較得到O到目標點A的最短路徑為：471.0372。（最短路徑詳細數據見下表）起點坐標終點坐標圓弧圓心坐標圓弧半徑直線長或弧長機器人行走總時間OQUOTE線段一0,070.506,213.1406224.499444.89988圓弧一70.506,213.140676.6064,219.406680,210109.0513.6204線段二76.6064，219.4066300,300237.486847.49736機器人行走總距離471.037296.017642）、原點O到B點的可能的最短路徑有兩條，如圖8所示，一條是：機器人從障礙物6的左下頂點處經過到達B點；另一條是走在了障礙物6的右上頂點到達B點。機器人繞過障礙物到達B點的這條路徑由六條線段和五段圓弧組成。直接用1）中的解發不能求解出來。于是我們采用三中分法把路徑分為如圖5.21、5.22、5.23的情況，分別求出每段線段（或圓弧）的長度然后總的相加，便可找出O到B的兩條路徑，即從障礙物6的左下頂點處經過到達B點的路徑為877.384，從障礙物6的右上頂點到達B點的路徑為853.7001。最終求得最短路徑為853.7001。（最短路徑詳細數據見下表）起點坐標終點坐標圓弧圓心坐標圓弧半徑直線長或弧長機器人行走總時間OQUOTE線段一0,050.1353,301.6396305.777761.15554圓弧一50.1353,301.6396,51.6795,305.547060,300104.23301.6932線段二51.6795,305.5470141.679,440.6795162.249832.44996圓弧二141.679,440.6795147.9621,444.7901150,435107.77563.11024線段三147.9621,444.7901222.0379,460.209975.663815.13276圓弧三222.0379,460.2099230,470220,4701013.65575.46228線段四230,470230,5306012圓弧四230,530225.4967,538.3538220,530109.88833.95532線段五225.4967,538.3538158.3538,591.646296.953619.39072圓弧五158.3538,591.6462140.6916,605.2542150,600106.14742.45896線段六140.6916,605.2542100,700111.355322.27106機器人行走總距離853.7001179.080043）、原點O到C點的可能的最短路徑同樣也是兩條，如圖9所示，我們同樣采用上述中三中分的方法把兩條路徑分割成如圖5.21、圖5.22、圖5.23的形式，再分別求每段路徑的長度然后總的相加，即走在障礙物5左上頂點處的距離為1098.9548，另一條走在了其下方距離為1090.8041，得到O到C的最短路徑為1090.8041。(最短路徑詳細數據見下表)起點坐標終點坐標圓弧圓心坐標圓弧半徑直線長或弧長機器人行走總時間OQUOTE線段一0,0407.4009,90.2314421.900584.3801圓弧一407.4009，90.2314418.3448,107.7203410,100107.71663.08664線段二418.3448,107.7203491.6552,205.5103134.164126.83282圓弧二491.6552,205.5103508.5213,194.7666500,200103.31271.32508線段三508.5213,194.7666727.9377,525.2334388.201077.6402圓弧三727.9377,525.2334730,520720,520,106.53812.61524線段四730,520730,60079.372515.8745圓弧四730,600727.7178,606.3589720,600106.89162.75664線段五727.7178,606.3589700,64043.58908.7178機器人行走總距離1090.8041223.229024）、原點QUOTE的可能最短路徑有兩條，如圖10（圖中的紅線、黑線所示，有一部分路徑重疊），利用三中分法并結合線圓結構（圖5.21、圖5.22、圖5.23），分別計算出兩條可能路徑的最短路徑，即黑色線為2716.0471，紅線距離為2772.0445，然后經比較選出的最短路徑為2716.0471.（最短路徑詳細數據見下表)起點坐標終點坐標圓弧圓心坐標圓弧半徑直線長或弧長機器人行走總時間OQUOTE線段一0,070.5060,213.1406224.499444.89988圓弧一70.5060,213.140676.6959,219.438480,210109.14593.65836線段二76.6959,219.4384286.5939,313.9504231.055746.21114圓弧二286.5939,313.9504300.7093,309.0475291.4707,305.22021015.36096.14436線段三300.7093,309.0475229.7525,532.2111235.019247.00384圓弧三229.7525,532.2111225.4967,538.3538220,530106.80982.72392線段四225.4967,538.3538144.5033,591.646296.953619.39072圓弧四144.5033,591.6462140.2475,597.7891150,600105.70622.28248線段五140.2475,597.789199.9635,688.4328101.113820.22276圓弧五99.9635,688.4328110.2329,703.9685108.14,694.19106.80982.72356線段六110.2329,703.9685269.6405,689.9935161.245232.24904圓弧六269.6405,689.6635272,689.7980270,680103.50391.40156線段七272,689.7980368，670.202097.979619.59592圓弧七368,670.2020370，670370,680102.01360.80544線段八370,670430,6706012圓弧八430,670435.5878,671.7068430,680105.92912.37164線段九435.5878,671.7068542.5741,738.2932119.163823.83276圓弧九542.5741,738.2932540,740540,730105.92912.37164線段十540,740670,74013026圓弧十670,740679.7788,732.0917670,7301011.48554.5942線段十一679.7788,732.0917700.1603,636.806297.440919.48818圓弧十一700.1603,636.8062702.7889,631.9068709.9391,638.8979106.74472.69788線段十二702.7889,631.9068727.1502,606.991034.84636.96926圓弧十二727.1502,606.9910730，600720,600107.32342.92936線段十三730，600730,5208016圓弧十三730,520711.4787，525.2334720,520106.53812.61524線段十四711.4787,525.2334492.0623,206.0822387.814477.56288圓弧十四492.0623,206.0822491.6552,205.5103500,200103.31271.32508線段十五491.6552,205.5103418.3448,94.4897133.041426.60828圓弧十五418.3448,94.4897412.1387,90.2314410,100107.71663.08664線段十六412.1387,90.23140，0421.544884.30896機器人行走總距離2716.0471564.075二、模型二的求解：圖11圖11A的坐標為（），圓心O的坐標（），B點坐標為（），根據各線段之間的位置關系以及線段與角的位置關系，列出了以下的函數關系式：（1）（2）(3)(1)(2)取等號聯立利用導數求得r的極值利用MATLAB求解得=87.0711把（=87.0711）代入求得r=20;然后把x1=0,y1=0,x2=87.0711,y2=202.9289,x3=300,y3=300,r=20代入求得最短時間94.2697秒（Matlab程序見附錄模型二的求解）七、模型評價一、模型優點1、本模型簡單易懂，便于實際的檢驗與應用，易于推廣。2、模型優化后運用解析幾何進行求解，精確度比較高。3、運用多個方案對路徑進行優化求解，對相對優化的解進行比較得到最優解。總的來說，該模型科學合理，考慮仔細，精確度高。比如在求解過程中全面的考慮了機器人所要途經的各種路線情況，然后依據題目要求，優化選擇了與題意緊密相關的路線進行求解分析，找出了符合題目要求的最佳路徑。二、模型改進在障礙物較多時且形狀不規則時，模型還需進一步改進。在本題中有12個障礙物，從起點到終點的路徑是有限的，我們利用線圓結構、枚舉法求解比較科學合理，求得結果較符合提意要求。當障礙物增多時，我們可以考慮采用另為一種求解方式，如dijkstra算法等。八、模型推廣該模型科學合理，首先全面地考慮了機器人在到達各目標點時所要行走的所有路線，然后根據題目要求，選擇與題目緊密關聯的路線進行分析求解，最終求出符合題意要求的最短路徑。求解過程中簡單易懂，便于實際問題的求解與應用，易于推廣。雖然本模型是為計算機器人行走的最短路問題而建立的，但根據本模型的特點，仍然可以運用到現實生活中的最短路問題的求解。如：油氣管道的布置問題、城市交通的規劃問題、排水系統的規劃問題等。九、參考文獻[1]韓忠庚，數學建模使用教程，北京：高等教育出版社，2012.[2]尤承業，解析幾何，北京：北京大學出版社，2004.[3]黃玉清，梁靚，機器人導航系統中的路徑規劃算法[J],微計算機信息，2006.7：[4]王沫然，MATLAB與科學計算，北京：電子工業出版社，2004.[5]胡海星，RPG游戲中精靈的移動問題，雜志《程序員》，2011。[6]邦迪，圖論及其應用，西安，西安科學出版社，1984十、附錄附表一計算線圓結構模型5.21symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;（輸入對應已知數據）a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1（線圓結構模型5.22分解為兩個模型5.21進行計算）計算線圓結構模型5.23Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=50;y2=40;x3=20;y3=23;x4=30;y4=20;r=10;（輸入對應已知數據）a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)路徑O→A第一條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=471.0372路徑O→A第二條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=230;y2=60;x3=300;y3=300;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=498.4259路徑O→B第一條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=157.5;y3=255;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=321.9278Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=157.5;y1=255;x2=235;y2=300;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=389.4767symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=165.9795路徑O→B第二條：Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=60;y2=300;x3=150;y3=435;x4=185;y4=452.5;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=517.8680Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=452.5;x2=220;y2=470;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=169.8526symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=165.9795路徑O→C的第一條：Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=400;y3=330;x4=416.7;y4=343.3;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=602.0599Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=416.7;y1=343.3;x2=550;y2=450;x3=640;y3=520;x4=730;y4=560;r1=80;r2=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r1^2);b1=acos(r1/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r1*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r2/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r2*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r1^2)+r1*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r2*d2+sqrt(b^2-r2^2)L3=406.4143symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=730;y1=560;x2=720;y2=600;x3=700;y3=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=90.4806路徑O→C的第二條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=410;y2=100;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=500;y2=200;x3=610;y3=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=263.7405>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=610;y1=360;x2=720;y2=520;x3=720;y3=600;x4=700;y4=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=330.9259路徑O→A→B→C→O的第一條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=185.7354;y3=257.6101;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=349.1733Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185.7354;y1=257.6101;x2=291.4707;y2=305.2202;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=422.1021Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=108.14;y3=694.19;x4=189.07;y4=687.095;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=259.8770symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=189.07;y1=687.095;x2=270;y2=680;x3=320;y3=680;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=133.7345>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=320;y1=680;x2=370;y2=680;x3=430;y3=680;x4=485;y4=705;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=176.5144>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=485;y1=705;x2=540;y2=730;x3=670;y3=730;x4=689.9696;y4=684.4490;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=257.8321>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=689.9696;y1=684.4490;x2=709.9391;y2=638.8979;x3=714.9696;y3=619.4490;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=74.9790>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=714.9696;y1=619.4490;x2=720;y2=600;x3=720;y3=520;x4=610;y4=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=305.6100>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=610;y1=360;x2=500;y2=200;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=236.7405symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=410;y2=100;x3=0;y3=0;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377路徑O→A→B→C→O的第二條：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=190;y3=255;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=352.3992>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=190;y1=255;x2=300;y2=300;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=432.9754Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=185;y1=565;x2=150;y2=600;x3=100;y3=700;x4=167.5;y4=695;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=255.0408Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=167.5;y1=695;x2=235;y2=690;x3=500;y3=600;x4=570;y4=560;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=433.9867>>Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=570;y1=560;x2=640;y2=520;x3=720;y3=520;x4=730;y4=560;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=222.1430symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=730;y1=560;x2=720;y2=600;x3=700;y3=640;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=90.4806Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=700;y1=640;x2=720;y2=600;x3=720;y3=520;x4=610;y4=360;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;m=r*d1;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;n=r*d2;h=sqrt(b^2-r^2);L3=sqrt(a^2-r^2)+r*d1+sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2)+r*d2+sqrt(b^2-r^2)L3=330.9259>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=610;y1=360;x2=500;y2=200;x3=455;y3=150;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=263.7405>>symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=455;y1=150;x2=410;y2=100;x3=0;y3=0;r=10;a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=sqrt(b^2-r^2)+sqrt(a^2-r^2)+r*d1L1=496.1377計算線圓結構模型5.21切點坐標symsxx1x2yy1y2rx1=0;x2=80;y1=0;y2=210;r=10;（輸入已知對應數據）(y-y2)*(y-y1)*(x-x2)^(-1)*(x-x1)^(-1)+1a='(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2=0';(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2b='ans=0';s=solve(a,b)double(s.x(1))double(s.x(2))double(s.y(1))double(s.y(2))計算線圓結構模型5.23的切點symsxx1x2x3yy1y2y3rx1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;（輸入已知對應數據）>>(y-y2)/(x-x2)*(y3-y2)/(x3-x2)+1ans=9/22*(y-210)/(x-80)+1>>a='9/22*(y-210)/(x-80)+1=0';>>(x-x2)^2+(y-y2)^2-r^2ans=(x-80)^2+(y-210)^2-100>>b='(x-80)^2+(y-210)^2-100=0';s=solve(a,b)s=x:[2x1sym]y:[2x1sym]>>double(s.x(1))ans=83.7863double(s.x(2))double(s.y(1))計算線圓結構5.21各個對應的弧長：symsabcx1x2x3y1y2y3a1b1c1d1rL1x1=0;y1=0;x2=80;y2=210;x3=300;y3=300;r=10;%輸入已知的數據a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);b=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*b*a));b1=acos(r/b);c1=acos(r/a);d1=2*pi-a1-b1-c1;L1=r*d1%求對應的弧長計算線圓結構5.23各對應弧長Symsx1x2x3x4y1y2y3y4abcdfghmna1a2b1b2d1d2L3x1=190;y1=255;x2=308.7976;y2=295.2457;x3=220;y3=530;x4=185;y4=565;r=10;%輸入已知數據a=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);g=sqrt(a^2-r^2);b1=acos(r/a);f=sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2);c=sqrt((x3-x1)^2+(y3-y1)^2);a1=acos((a^2+f^2-c^2)/(2*a*f));d1=2*pi-a1-b1-pi/2;b=sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);d=sqrt((x4-x2)^2+(y4-y2)^2);a2=acos((f^2+b^2-d^2)/(2*f*b));b2=acos(r/b);d2=2*pi-a2-b2-pi/2;L3=r*d1或L3=r*d2%對應弧1的長度和對應弧2的長度計算路徑經過A點時點A所在圓弧的圓心symsxyk1k2>>k1=(y-530)/(x-220);>>k2=(y-300)/(x-300);>>(k2-k1)/(1+k1*k2)-sqrt(3)/2ans=((y-300)/(x-300)-(y-530)/(x-220))/(1+(y-530)/(x-220)*(y-300)/(x-300))-