合肥一中2021-2022學年第一學期高一年級期末考試數學試卷時長：120分鐘分值：150分命題人：劉昱審題人：張中發一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.若A、B是全集I的真子集，則下列四個命題：①ABA；②ABA；③A(CB)；④ABI;中與命題AB等價的有()IA.1個B.2個C.3個D.4個①ABAAB;②ABABA;③ABAB;ABIBI故ABI與AB不等價;故和命題AB等價的有①③，故選B.x2.函數ysin的最小正周期為()242A.B.2C.4D.【答案】CT214，故選C.xx解：ysinsin，可得函數的最小正周期24242111，則xy的最小值為().x2y263.已知x，y均為正數實，且A.20B.32C.24D.28【答案】A本題考查基本不等式和不等式的解法，屬基礎題．第1頁，共16頁xy由已知式子變形可得xy4x4y20，由基本不等式，解關于的一元二次不等111x式可得．解：，y均為正數，且，x2y26xy41，整理可得xy4x4y20，x2y26xy2，整理可得xy24xy200，由基本不等式可得4x4y2022xy解得xy20，或xy4(舍去)xy20，當且僅當時取等號，故選A4.已知tan1，則sin2()3453531A.B.C.D.1010【答案】B本題主要考查三角恒等變換中的二倍角的正弦公式和同角三角函數間的基本關系，屬于基礎題.先用二倍角公式化為的三角函數，再化弦為切代入已知可得.212sincos2tan33,1sin22sincos解：tan1sin2costan1352219故選：B.5.給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角的大小，它們與扇形的半徑的大小無關；③若sinsin，則與的終邊相同；④若cos0，是第二或第三象限的角.其中正確的命題個數是()A.1B.2C.3D.4【答案】A本題綜合考查了象限角與象限界角、弧度制與角度制、三角函數值與象限角的關系等基礎知識，屬于基礎題．由任意角的三角函數的定義，三角函數值與象限角的關系，即可得出結論．解：①370是第一象限角，170是第二象限角，故①不對②不論是用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關，正確，③若sinsin，則與的終邊相同或終邊關于y軸對稱，故不正確．x，則是第二或第三象限角或的終邊落在軸的非正半軸上，故不正④若cos0第2頁，共16頁確．其中正確的個數為1個.故選A.6.下列各組函數f(x)與g(x)的圖象相同的是A.f(x)x,g(x)(x)2x(x0)B.f(x)|x|,(gx)x(x0)f(x)1,g(x)x0C.D.f(x)x2,g(x)(x1)2【答案】B本題考查函數的概念，是中檔題.兩個函數圖象相同，則要求對應法則相同，定義域相同、值域相同，逐項判斷即可得.解：對于A，函數f(x)x的定義域為R，值域為R，g(x)(x)2x(x0)的定義域為[0,)，值域為[0,)，故A不合題意；而對于B，函數f(x)|x|的定義域為R，值域為[0,),x(x0)g(x)x(x0)|x|，則f(x)與g(x)的定義域、值域均相同，解析式相同，而故B符合題意；對于C，函數f(x)1的定義域為R，但g(x)x0的定義域為(,0)(0,)，定義域不同，故C不合題意；對于D，兩個函數的解析式不同，故D不合題意；綜上，故答案為B.7.已知函數f(x)logxyx的圖象與函數的圖象關于直線對稱，函數g(x)h(x)3是滿足h(x2)h(x)的偶函數，且當x[0,1]時，h(x)g(x)1，若函數ykf(x)h(x)有3個零點，則實數k的取值范圍是()B.(2,2log3)C.(2log3,1)D.(log3,1)5572(1,2log3)7A.【答案】B本題考查函數的奇偶性，函數的周期性和對稱性，函數的零點與方程根的關系，函數圖象的應用，涉及反函數，指數與對數函數的性質，屬于中檔題.第3頁，共16頁把函數ykf(x)h(x)有3個零點，轉化為klogxh(x)有3個不同根，畫出函3數yklogx與yh(x)的圖象，轉化為關于k的不等式組求解即可．3解：由函數f(x)logxyx的圖象與函數的圖象關于直線對稱，得g(x)3xg(x)，3函數h(x)是最小正周期為2的偶函數，當x[0,1]時，h(x)g(x)13x1，函數ykf(x)h(x)有3個零點，即klogxh(x)有3個不同根，3畫出函數yklogx與yh(x)3的圖象如圖：要使函數yklogx3與yh(x)的圖象有3個交點，則klog32k0，且klog52，即332k2log3.實數k的取值范圍是(2,2log3).故選：B.553x2,x08.設函數fx，則下列結論錯誤的是()3x2,x0A.函數f(x)的值域為RC.f(|x|)是偶函數B.函數是奇函數f(x)D.f(x)在定義域上是單調函數【答案】D本題考查分段函數，函數的單調性、奇偶性，指數函數及其性質，函數圖象的應用.根據指數函數及其性質畫出f(x)的圖象，根據圖象逐一判斷.解：畫出3x2,x0fx的圖象如圖，3x2,x0第4頁，共16頁x0x0可知時，f(x)1；時，f(x)1，則函數f(x)的值域為，正確；B.若x0，則x0，f(x)3x2，f(x)3x2，則f(x)f(x)，x0BC.因為f(|x|)f(|x|)，所以f(|x|)是偶函數，C正確；D.由圖知，f(x)在定義域上不是單調函數，D錯誤.故選D.二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9.給出下列四個命題，其中正確的命題有()23A.tan4cos2sin的符號為正；4B.函數ycosxtanx的定義域為2k,2k2k,2k,kZ；223133C.若(0,)，sincos,tan3則或；2costan()1.D.sin【答案】BD本題考查了任意角的三角函數值，考查了誘導公式，考查了三角函數的定義域及值域，屬于基礎題.由任意角的三角函數值可判定A，C;由三角函數的定義域及值域可判定B;由誘導公式及同角三角函數的基本關系可判定D.第5頁，共16頁23解：A:因為tan40，cos20，sinsin6sin0,444所以tan4cos2sin(23)的符號為負，故A錯誤；4cosxtanxsinx02kx2kB:由題意可得：xk2，kZ，故B正確;xk2C:由題意知：sin30,cos10tan3.故C錯誤;22D:cos()sin()cossincostan()tan1.故D正確.sincossin故選BD.0,上為單調增函數的有()10.以下函數在區間2A.ysinxcosxC.ysinxcosx【答案】BDB.ysinxcosxD.ysinxcosx本題考查三角函數的圖象與性質，屬中檔題.對于AB選項，由兩角和與差的正弦函數公式將函數化為yAsin(x)形式，再由函數yAsin(x)的圖象與性質求解即可判定；對于C選項，由二倍角公式可得y1sin2x，再由正弦函數的性質即可判定；對于D選項，由同角三角函數基本關系2可得ytanx，再由正切函數的性質即可判定.解：對于A選項，ysinxcosx2sin(x)，430,上不在區間當x0,x,444，所以，函數ysinxcosx時，22單調；對于B選項，ysinxcosx2sinxx0,時，x,，444，當42第6頁，共16頁所以，函數ysinxcosx在區間0,上單調遞增；2，對于C選項，ysinxcosx1sin2x，當x0,時，2x0,22所以，函數ysinxcosx在區間0,上不單調；2ysinxtanx，所以，函數ysinx0,對于D選項，當x0,時，在區間22cosxcosx上單調遞增.故選：BD.11.給出下列結論，其中正確的結論是().1x2112yA.函數的最大值為2(0,1)B.已知函數ylog2ax(a0且a1)在上是減函數，則實數a的取a1,2值范圍是C.已知函數f()x滿足f()x2f()x2x1，則f(3)3；f()xf()xD.已知定義在R上的奇函數在,0內有1010個零點，則函數的零點個數為2021【答案】CD本題考查了復合函數的單調性，函數的最值，函數的奇偶性，函數的對稱性，指數函數及其性質，對數函數及其性質和函數的零點與方程根的關系，屬于中檔題.利用指數函數的性質，結合函數的最值對A進行判斷；利用對數函數的性質及復合函數f()x2f()x2x12的單調性對B進行判斷；由得，f()xx1，3f()x2f()x2x12f()xx1，對C進行判斷；利用函數的零點與方程根的關系，結合奇函數的性質3對D進行判斷，從而得結論.解：A錯，因為x211，所以()，因此y()1111有最小值，無最大x21x212222值；第7頁，共16頁B錯，因為函數ylog(2ax)(a0且a1)在(0,1)上是減函數，aa1所以2a01,2，解得1a2，實數的取值范圍是；af(x)2f(x)2x122得，f(x)x1，f(x)x1，f(3)3.33C正確，由f(x)2f(x)2x1D正確，因為定義在R上的奇函數f(x)在(,0)內有1010個零點，所以函數f(x)在(0,)內有1010個零點，而f(0)=0，因此函數f(x)的零點個數為2101012021.故選CD.12.已知f(x)為R上的奇函數，且當時，f(x)lgx.記g(x)sinxf(x)cosx，下列結論正確的是()A.g(x)為奇函數x0xx0，則lg(x)tanx0B.若g(x)的一個零點為，且0000,C.g(x)在區間的零點個數為3個27xx3xxD.若g(x)大于1的零點從小到大依次為，，…，則1212【答案】ABD本題考查函數的圖象與性質，函數的零點與方程的根的關系，屬于難題.運用奇函數的定義和誘導公式可判斷A；由零點的定義和同角的商數關系可判斷B；由x0零點的定義和圖象的交點個數，可判斷C；由時，ylgx和ytanx的圖象，結合正切函數的性質，可判斷D.解：因為g(x)sin(x)f(x)cos(x)sinxf(x)cosxg(x)，所以函數g(x)為奇函數，故A正確;假設cosx0，即xkkZ時，，2sinxf(x)cosxsin(k)cosk0，2所以當xkkZ時，g(x)0，，2，kZ時，sinxf(x)cosx0tanxf(x)，當xk2第8頁，共16頁當x0，x0，則f(x)f(x)lg(x)g(x)x0，由于的一個零點為，00000則tanxf(x)lg(x)lg(x)tanx0，故B正確;00000如圖：當x0時，令ytanx，ylgx，則g(x)大于0的零點為ytanx，ylgx，1212的交點，由圖可知，函數g(x)在區間(0,)的零點有2個，由于函數g(x)為奇函數，則函數g(x)在區間(,0)的零點有1個，并且g(0)sin0f(0)cos00，2所以函數在區間(,)的零點個數為4個，故錯誤；C239xx3，所以4，123由圖可知，g(x)大于1的零點，4xx2，2129而47，故推出7xx3，故D正確.12故選ABD.三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知，均為銳角，tan=1，tan=，則+的值為__________2534【答案】本題主要考查了三角函數關系式的恒等變換，以及兩角和的正切關系式的應用，屬于基礎題型．直接利用兩角的和的正切關系式，即可求出結果．2解：已知，均為銳角，tan1，tan=，則0+，5312+53.==1，故+=.故答案為4tan+tan所以：tan(+)=1tantan12415第9頁，共16頁14.衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發而體積縮小，剛放進的新丸體積為a，經過t天4后體積V與天數t的關系式為：V=ae.a.已知新丸經過50天后，體積變為若kt98一個新丸體積變為，則需經過的天數為__________.a27【答案】75本題考查了指數函數模型的應用，指數與指數冪的運算.屬于基礎題.由ae50k4a，得到e25k，然后解方程aekt8a求出t的值.293274kt，新丸經過50天后，體積變為，則aae50k4a，即解：Vae99e50k(e25k)24228a2，所以e25k，若一個新丸體積變為，則279333aekt8a，所以ekte82e75k，325k27273t75，則需經過的天數為75.故答案為75.15.已知函數f(x)定義域為D，若滿足①f(x)在D內是單調函數；②存在[a,b]Dab使f(x)在a,b上的值域為[,]，那么就稱yf(x)為“半保值函數”，若函22數f(x)log(axt2)(a0且a1)是“半保值函數”，則t的取值范圍為a______.【答案】(1,0)(0,1)22解：函數f(x)log(axt2)(a0且a1)是“半保值函數”，a由a1時，zaxtRylogz在(0,)遞，增可得f(x)為上的Ra在上遞，增2函增數；當0a1時，zaxtRylogz在(0,)遞減，可得f(x)a在上遞減，2為R上的函增數；f(x)為R上的函增數，f(x)log(axt2)1x，2aaxt2a(12x)ua(x)u01，令，，2uut20有兩個不同的正根，可得14t20，且t0，即有22解得t(1,0)(0,1)，故答案為(1,0)(0,1).2222本題利用指數函數對數函數的單調性，將題目轉化為一元二次函數根的分布問題求解．本題考查了指數函數、對數函數的單調性以及一元二次函數根的分布問題．屬于中檔題．第10頁，共16頁16.函數f(x)Acos(x)(A0,0)的部分圖象如圖所示，則f(1)f(2)f(3)…f(2020)f(2021)的值為__________.【答案】22本題考查了根據三角函數的圖象與性質求函數解析式的應用問題，也考查了根據三角函數的周期性求值的應用問題，屬于中檔題．函數f(x)Acos(x)(A0,0)的圖象與性質，求出A、與的值，再利用函數的周期性即可求出答案．解：由圖象知A2，T28，，又由五點作圖可得：20，可44求得，f(x)2cos(x)2sin(x)，f(1)f(2)f(3)f(4)…2424f(8)0，f(1)f(2)f(3)…f(2021)252[f(1)f(2)f(3)f(4)…f(8)]f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)54f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)2sin2sin2sin32sin2sin4242222202(2)22.222故答案為：22.四、解答題（本大題共6小題，共70分）x217.(本題10分）設UR，A{x|x24x30}，B{x|0}，x4C{x|axa1,aR}.(1)分別求AB，A(B)；U(2)若BCC，求實數a的取值范圍．解：(1)A{x|x24x30}，A[1,3]，x20，得(x2)(x4)0，B(2,4)，x4又由AB(2,3],B(,2][4,)，UA(B)(,3][4,)；U第11頁，共16頁(2)BCC，CB，又C[a,a1]，B(2,4)，a2,2,3.解得2a3，實數a的取值范圍為a+14,【解析】本題考查的是一元二次不等式的解法，集合的交集，并集，補集運算，集合間的基本關系.18.(本題12分）已知函數f(x)b.ax(a,b為常數且，a1)的圖象經過點a0A(1,8)，B(3,32).(1)求a，b的值;11(2)若不等式()()m0在x1時恒成立，求實數m的取值范圍。xabxab8解：(1)由題意a3b32a0a1a2b4，，，解得，，所以f(x)42x2x2.1111(2)設g(x)()()()()x，所以g(x)在R上是減函數，xxxab2411()()xm0在x(,1]時恒成立，3x1所以當時，g(x)g(1).若不等式xabmin433即m.所以，m的取值范圍為(,].44【解析】本題考查指數函數的圖象與性質的應用，考查函數解析式求解以及函數的單調性的判定以及由函數最值的求解解決不等式恒成立求參數的取值范圍，屬于中檔題目.(1)將A，B兩點代入函數解析式求出a，b即可；11(2)令g(x)()()x，由指數函數的性質得g(x)的單調性求出g(x)在xabx(,1]時的最小值，得出m的取值范圍即可.19.(本題12分）已知函數f(x)4cosxsinx1.6(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區間,上的最大值和最小值.64第12頁，共16頁解：(1)因為f(x)4cosxsinx14cosx3sinx1cosx16223sin2x2cos2x13sin2xcos2x2sin2x，6;所以f(x)的最小正周期為2(2)因為x，所以2x.64663故當2x，即xf(x)2;時，取得最大值626當2x，即x時，取得最小值1.f(x)666【解析】本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，屬于中檔題.20.(本題12分）已知函數f(x)sin2x2，g(x)f(x)23cosx3.2(1)若角滿足tan13，求f；tan(2)若圓心角為半徑為2的扇形的弧長為l，且g()2，(0,)，求l；1sincos123，解：(1)tantancossinsincossin2sin2，f()8.233(2)(2)g(x)sin2x223cos2x3sin2x3cos2x222sin(2x)g()22sin(2)2，sin(2)0，3335.25或.l2(0,)，或3633【解析】本題考查同角三角函數關系、二倍角公式、扇形的弧長公式、輔助角公式問題，屬于中檔題.21.(本題12分）為了凈化空氣，某科研單位根據實驗得出，在一定范圍內，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：16x1,0x3.若多次噴灑，則某一時刻空小時)變化的函數關系式近似為y92162x3,3x7氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，第13頁，共16頁當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．(0.1結果精確到，參考數據：lg20.3，lg151.17)(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達幾小時？(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后再噴灑2個單位的凈化劑，設第二次噴灑t小時后空氣中凈化劑濃度為g(t)(毫克/立方米)，其中0t3.①求g(t)的表達式；②求第二次噴灑后的3小時內空氣中凈化劑濃度的最小值．解：(1)一次噴灑4個單位的凈化劑，164(1),0x3，則空氣中凈化劑的濃度為f(x)92x4(162x3),3x7，即4(161)4，解得，當0x3時，f(x)4210x3，x92x當3x7時，f(x)4，即4(162x3)4，解得3x3log15，2lg15又log153.9，lg226.9綜上所述，0x6.9，故凈化時間約達小時．g()t2(162t)2(161)302t132(0t3)(2)①，9292tt②g()t182t13212，92t320t3，182t10，0，92t182t1322923226416，