2023-2024學年福建省三明市A片區高中聯盟校高三上數學期末經典模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，2．已知函數的圖象的一條對稱軸為，將函數的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數圖象，則函數的解析式為（）A． B．C． D．3．計算等于()A． B． C． D．4．在中，角、、的對邊分別為、、，若，，，則（）A． B． C． D．5．一小商販準備用元錢在一批發市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數應分別為（）A．甲件，乙件 B．甲件，乙件 C．甲件，乙件 D．甲件，乙件6．已知點P不在直線l、m上，則“過點P可以作無數個平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．若的展開式中的常數項為-12，則實數的值為（）A．-2 B．-3 C．2 D．38．已知集合，，則的真子集個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．設集合，，則（）．A． B．C． D．10．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”11．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．812．關于函數，下列說法正確的是（）A．函數的定義域為B．函數一個遞增區間為C．函數的圖像關于直線對稱D．將函數圖像向左平移個單位可得函數的圖像二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足,且,則______.14．一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.15．已知雙曲線()的左右焦點分別為，為坐標原點，點為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.16．如圖是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，，則的面積為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數，，.（1）求函數的單調區間；（2）若函數有兩個零點，().（i）求的取值范圍；（ii）求證:隨著的增大而增大.18．（12分）數列滿足，，其前n項和為，數列的前n項積為.（1）求和數列的通項公式；（2）設，求的前n項和，并證明：對任意的正整數m、k，均有.19．（12分）如圖，三棱柱中，側面是菱形，其對角線的交點為，且．（1）求證：平面；（2）設，若直線與平面所成的角為，求二面角的正弦值．20．（12分）在平面四邊形中，已知，.（1）若，求的面積；（2）若求的長.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，，，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值．22．（10分）是數列的前項和，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列中最小的項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據二項分布的性質可得：，再根據和二次函數的性質求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質可得：，因為，所以，由二次函數的性質可得：，在上單調遞減，所以.故選：B【點睛】本題主要考查二項分布的性質及二次函數的性質的應用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

根據輔助角公式化簡三角函數式，結合為函數的一條對稱軸可求得，代入輔助角公式得的解析式.根據三角函數圖像平移變換，即可求得函數的解析式.【詳解】函數，由輔助角公式化簡可得，因為為函數圖象的一條對稱軸，代入可得，即，化簡可解得，即，所以將函數的圖象向右平行移動個單位長度可得，則，故選：C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數式的應用，三角函數對稱軸的應用，三角函數圖像平移變換的應用，屬于中檔題.3、A【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數值，結合對數運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查對數運算，屬于基礎題.4、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】，即，即，，，得，，.由余弦定理得，由正弦定理，因此，.故選：B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算，考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.5、D【解析】

由題意列出約束條件和目標函數，數形結合即可解決.【詳解】設購買甲、乙兩種商品的件數應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數的線性規劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數，是否是非負數，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.6、C【解析】

根據直線和平面平行的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】點不在直線、上，若直線、互相平行，則過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點只能作一個平面同時和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點可以作無數個平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合空間直線和平面平行的性質是解決本題的關鍵．7、C【解析】

先研究的展開式的通項，再分中，取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為，所以的展開式中的常數項為：，解得，故選：C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.8、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．9、D【解析】

根據題意，求出集合A，進而求出集合和，分析選項即可得到答案.【詳解】根據題意，則故選：D【點睛】此題考查集合的交并集運算，屬于簡單題目,10、B【解析】

解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項錯誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項正確；命題的否命題是“若，則”，C選項錯誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查四種命題的關系，考查推理能力，屬于基礎題.11、A【解析】

由垂心的性質，得到，可轉化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.12、B【解析】

化簡到，根據定義域排除，計算單調性知正確，得到答案.【詳解】，故函數的定義域為，故錯誤；當時，，函數單調遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內，故錯誤.平移得到的函數定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數單調性，定義域，對稱，三角函數平移，意在考查學生的綜合應用能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

數列滿足知，數列以3為公比的等比數列，再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【詳解】，數列是以3為公比的等比數列，又，，．故答案為：．【點睛】本題考查了等比數列定義，考查了對數的運算性質，考查了等比數列的通項公式，是中檔題．14、11【解析】

將圖形中左側的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數量進行分類，在其中會有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計數原理，求得總的方法數.【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個：，3個，2個：，1個，4個：，（2）左側兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個：，1個，2個：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點睛】本題考查了分類計數原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.15、【解析】

法一:根據直角三角形的性質和勾股定理得，，,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關于的式子,再令，則，令對函數求導研究函數在上單調性，可求得離心率的范圍.法二：令，，，，，根據直角三角形的性質和勾股定理得，將離心率表示成關于角的三角函數，根據三角函數的恒等變化轉化為關于的函數，可求得離心率的范圍.【詳解】法一:，，，,，,設，則，令，所以時，，在上單調遞增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關鍵在于將已知條件轉化為與雙曲線的有關，從而將離心率表示關于某個量的函數，屬于中檔題.16、【解析】

根據個全等的三角形，得到，設，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，所以.在三角形中，.設，則.由余弦定理得，解得.所以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點睛】本題考查了等邊三角形的面積計算公式、余弦定理、全等三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）（i）（ii）證明見解析【解析】

（1）求出導函數，分類討論即可求解；（2）（i）結合（1）的單調性分析函數有兩個零點求解參數取值范圍；（ii）設，通過轉化，討論函數的單調性得證.【詳解】（1）因為，所以當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，當時，的解集為，的解集為，所以的單調增區間為，的單調減區間為；（2）（i）由（1）可知，當時，在上單調遞增，至多一個零點，不符題意，當時，因為有兩個零點，所以，解得，因為，且，所以存在，使得，又因為，設，則，所以單調遞增，所以，即，因為，所以存在，使得，綜上，；（ii）因為，所以，因為，所以，設，則，所以，解得，所以，所以，設，則，設，則，所以單調遞增，所以，所以，即，所以單調遞增，即隨著的增大而增大，所以隨著的增大而增大，命題得證.【點睛】此題考查利用導函數處理函數的單調性，根據函數的零點個數求參數的取值范圍，通過等價轉化證明與零點相關的命題.18、（1），；（2），證明見解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關系求出數列的通項公式．（2）利用裂項相消法求出數列的和，進一步利用放縮法求出結論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數列，，，當時，數列的前項積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點睛】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，數列的前項和的應用，裂項相消法在數列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）根據菱形的特征和題中條件得到平面，結合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

2建立空間直角坐標系，利用向量知識求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，平面平面，又是的中點，，又平面（2）∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角．平面，∴直線與平面所成的角為，即．因為，則在等腰直角三角形中，所以．在中，由得，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．則所以設平面的一個法向量為，則，可得，取平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值的大小為．（注：問題（2）可以轉化為求二面角的正弦值，求出后，在中，過點作的垂線，垂足為，連接，則就是所求二面角平面角的補角，先求出，再求出，最后在中求出．）【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的長，進而由三角形的面積公式求得三角形的面積.（