榮昌中學(xué)高2026級高一上期第二次月考數(shù)學(xué)試題總分：150分時間：120分鐘一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合要求的)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A，再根據(jù)交集運算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定得到其否定形式，進行判斷即可.【詳解】“，”的否定為“，”.故選：D3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求值可得答案.【詳解】因為，所以．故選：B4.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.【詳解】、奇函數(shù)，不符合題意.在上單調(diào)遞減，不符合題意.是偶函數(shù)，且，所以在上單調(diào)遞增.故選：D5.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于當(dāng)時，，所以當(dāng)時，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為函數(shù)的值域為，所以，得，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：D.6.通過加強對野生動物棲息地保護和拯教繁育，某瀕危野生動物的數(shù)量不斷增長，根據(jù)調(diào)查研究，該野生動物的數(shù)量（t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動物的最大數(shù)量.當(dāng)時，該野生動物的瀕危程度降到較為安全的級別，此時約為（）（）A9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，結(jié)合對數(shù)運算求得.【詳解】解析根據(jù)題意，所以，所以，所以，得.故選:C7.設(shè)，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性證明，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性證明，即可得到正確結(jié)論.【詳解】指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，∴，∵冪函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴，∵對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，∴，即，∴.故選：A.8.已知兩個正實數(shù)x，y滿足，則的最大值是（）A. B. C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】由題意得，再利用基本不等式求解即可【詳解】因為正實數(shù)x，y滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：B二、多選題(本題共四小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多個符合要求的選項，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分)9.已知實數(shù)a，b，c，若，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】A選項：因為，所以，故A正確；B選項：因為，，所以，故B錯；C選項：因為，所以，故C錯；D選項：因為，所以，故D正確.故選：AD.10.下列命題是真命題的是（）A.函數(shù)與是同一函數(shù)B.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若時，，則時，C.不等式的解集是D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)、奇函數(shù)、分式不等式、必要不充分條件等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域是，所以不是同一函數(shù)，所以A選項錯誤，B選項，當(dāng)時，，所以，所以B選項錯誤.C選項，不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為，所以C選項正確.D選項，等價于“且”，所以則“”是“”的必要不充分條件，D選項正確.故選：CD11.已知，函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先由得出，再分類討論和的取值范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像即可得出答案．【詳解】因為，即，所以，當(dāng)時，則，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，且過點；對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增且過點，將的圖像關(guān)于軸對稱得到的圖像，則在上單調(diào)遞減且過點，故A符合題意；當(dāng)時，，同理可得，指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且過點，在上單調(diào)遞增且過點，故B符合題意；故選：AB．12.19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（，18051859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個定義在實數(shù)集R上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則（）A.B.C.若為有理數(shù)，，則D.存在三個點，，，使得為正三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論為有理數(shù)和無理數(shù)，依次判斷各個選項，即可得解.【詳解】對于A，是無理數(shù)，若為有理數(shù)，是無理數(shù)，則；若為無理數(shù)，有可能為有理數(shù)，如，此時，故A錯誤；對于B，當(dāng)為有理數(shù)，為有理數(shù)，則；當(dāng)為無理數(shù)，為無理數(shù)，則，故B正確；對于C，為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，則；若為無理數(shù)，是無理數(shù)，則，故C正確；對于D，存在三個點且為有理數(shù)，則，，是邊長為的等邊三角形，故D正確；故選：BCD三、填空題(本題共4個小題，每小題5分，共20分)13.函數(shù)(且)的圖象經(jīng)過定點_____________.【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，令，即，則，所以的圖象經(jīng)過定點.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，分段解不等式即得.【詳解】由函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，得在上單調(diào)遞減，顯然，不等式，當(dāng)時，，則有，當(dāng)時，，則有，所以不等式的解集為.故答案為：15.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】先求出定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求出答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：16.已知函數(shù)（）的最小值為2，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先得到，然后根據(jù)當(dāng)時，恒成立分離常數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，恒成立，注意到，所以由得在區(qū)間上恒成立，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，任取，，其中，，，所以，所以在上遞增，，所以在區(qū)間上，所以，即的取值范圍是.故答案為：【點睛】含有參數(shù)的分段函數(shù)最值有關(guān)的問題，可先考慮沒有參數(shù)的一段函數(shù)的最值，然后再結(jié)合這個最值考慮含有參數(shù)的一段函數(shù)，結(jié)合分離常數(shù)法以及函數(shù)值域的求法可求得參數(shù)的取值范圍.四、解答題(本題共6小題，第17題10分，其余每小題12分，共70分.作答時，請寫出必要的解答過程)17.計算下列各式．（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算法則化簡求值；（2）利用對數(shù)的運算法則化簡求值.【小問1詳解】解：原式=【小問2詳解】解：原式=.18.設(shè)集合，.（1）若為空集，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式解集為空集，列出不等式求解即得.（2）解對數(shù)不等式化簡集合A，再分類討論解不等式化簡集合B，并結(jié)合包含關(guān)系求解即得.【小問1詳解】依題意，不等式解集為空集，于是，即，解得，所以.【小問2詳解】不等式，解得，即，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，而，顯然不是的子集；當(dāng)時，，則，由，得，解得，所以的取值范圍是或.19.設(shè)函數(shù)，，且，．（1）求的值及的定義城；（2）判斷的奇偶性，并給出證明；（3）求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）定義域，（2）函數(shù)為偶函數(shù)，證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)真數(shù)大于0求解定義域，由求的值.（2）根據(jù)奇偶性的定義判斷.（3），根據(jù)真數(shù)的范圍求解.【小問1詳解】由可得，故函數(shù)的定義域，因為，由題意，故【小問2詳解】因為，又定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，【小問3詳解】由（1）可知，，，所以，所以函數(shù)的值域為．20.已知點在冪函數(shù)的圖像上.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)a，使得最小值為5？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由【答案】（1）（2）存在，1【解析】分析】（1）設(shè)冪函數(shù)，代入點坐標(biāo)，待定系數(shù)求解即可；（2）代入可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分類討論求解即可.【小問1詳解】設(shè)冪函數(shù)，由點在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以.【小問2詳解】函數(shù)，，且二次函數(shù)的圖象是拋物線，對稱軸是.①當(dāng)，即時，在上是單調(diào)增函數(shù)，最小值為，解得，滿足題意；②當(dāng)，即時，在上先減后增，最小值為，方程無解；綜上知，存在實數(shù)，使得有最小值為.21.為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，且C(x)＝每件產(chǎn)品售價為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完．（1）寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)．（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）P(x)＝；（2）8萬件；萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合流動成本關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系，即可求得結(jié)果；（2）判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)最值即可.【詳解】（1）因為每件產(chǎn)品售價為10元，所以x萬件產(chǎn)品銷售收入為10x萬元．依題意得，當(dāng)0＜x＜8時，P(x)＝10x－－5＝＋6x－5；當(dāng)x≥8時，P(x)＝10x－－5＝30－.所以P(x)＝；（2）當(dāng)0＜x＜8時，P(x)＝－＋13，當(dāng)x＝6時，P(x)取得最大值P(6)＝13；當(dāng)x≥8時，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).當(dāng)x＝8時，P(x)取得最大值P(8)＝.由13＜，則可知當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為萬元．【點睛】本題考查分段函數(shù)模型的應(yīng)用，屬中等題.22.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若關(guān)于的不等式在上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和恒等式的性質(zhì)，可得所求值；（2）函數(shù)在