第2課時空間幾何體的切、接、截問題

［細研考點?突破題型］重難解惑?直擊高考

□考點一簡單幾何體的外接球枷生共研

［典例1］⑴已知三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩互相垂直，且ABM，BC

=巾，AC=2,則此三棱錐的外接球的體積為()

A8「趴回1632

A?3兀B?3兀C?3兀D?3兀

(2)已知直三棱柱ABC-4BC1的各頂點都在以。為球心的球面上，且N3AC

=苧，AAi=BC=2,則球。的體積為()

A.4小兀B.8兀C.127rD.20兀

(1)B(2)A［(1)；AB=小，BC=巾,AC=2,：.PA=\,PC=4,PB=

2.以膽，PB,PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖所示，則長方體的外接

球同時也是三棱錐P-ABC的外接球.

?；長方體的體對角線長為W+3+4=2也，

.?.球的直徑為2啦，半徑7?=6，

44r-8、歷

因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是鏟斤=鏟x(/)3={—兀故選B.

(2)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r=

BC_2_r-

2sinNBAC.-3兀"

2sina

則直三棱柱ABC-A\B\C\的外接球的半徑為

q（啦）2+12=小,

4r~

則直三棱柱ABC-AiBiCi的外接球的體積為鏟收=45兀.故選A.］

［母題變遷］

1.若將本例(2)的條件“N84C=i,A4i=BC=2”換為“AB=3,AC=4,

AB±AC,A4i=12”，則球。的半徑為.

V［如圖所示，過球心作平面ABC的垂線，則垂足為的中點M.

又0M=^AAi=6,

所以球。的半徑R=OA=

2.若將本例⑵的條件改為“正四面體的各頂點都在以0為球心的球面

上”，則此正四面體的表面積S與其內切球的表面積S2的比值為.

［設正四面體棱長為a,則正四面體表面積為Si=4X乎./=小屋，其

內切球半徑r為正四面體高的、

即萍a=^a,因此內切球表面積為§2=4兀7=哈，

43120

加盧=溟=述1

02Tear兀」

6

3.若將本例⑵的條件改為“側棱和底面邊長都是3啦的正四棱錐的各頂點

都在以。為球心的球面上”，則其外接球的半徑為.

3［依題意，得該正四棱錐底面對角線的長為36X啦=6,高為

寸(3&)2_&義6)=3,

因此底面中心到各頂點的距離均等于3,所以該正四棱錐的外接球的球心即

為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.］

畬反思領信通過本例及母題變遷訓練，我們可以看出構造法、補形法等是

處理“外接”問題的主要方法，其關鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑.

2

(1)若球面上四點P,A,B,C中出，PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側

棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體，利用27?=#/+天+,2求R.

(2)一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱.先借助幾何體的

幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解.

［跟進訓練］

1.(1)(2021.天津高考)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面

一

上，若球的體積為弩327r，兩個圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為

()

A.3兀B.4兀C.9兀D.12兀

(2)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑

分別為4和5,則該圓臺的體積為.

(1)B(2)61兀［(1)如圖，設球。的半徑為凡由題意，%我3=半，可得R

=2,則球。的直徑為4,

?.?兩個圓錐的高之比為1:3,：.AO\=\,80=3,

由直角三角形中的射影定理可得：戶=1X3,即尸小.

這兩個圓錐的體積之和為V=|TTX(V3)2X(14-3)=471.

故選B.

⑵截面圖如圖所示，下底面半徑為5,圓周直徑為10.

JT

則圓臺的下底面位于圓周的直徑上，OC=OB=5,O'C=4,NOO'C=］,

則圓臺的高為3,V=1/i(5i+Vs^4-S2)=257t4-167i+207t=61n.］

□考點二簡單幾何體的內切球(師生共研

3

［典例2］(2020.全國II］卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐

內半徑最大的球的體積為CS1都

［法一：如圖，在圓錐的軸截面A3C中，CO_LAB,BD=\,BC=3,

圓O內切于△ABC,E為切點，連接OE,則OE,8c.在RtABCD中，CD=

、8。2-302=2色易知8￡=3。=1,則。后=2.設圓錐的內切球半徑為七則OC

、歷

=26一R,在RtZkCOE中，0。2—。序=32,即Q也一R)2—R2=4,所以R=與，

4、歷

圓錐內半徑最大的球的體積為以我3=牛兀.

法二:

如圖，記圓錐的軸截面為△ABC,其中AC=BC=3,AB=2,CD±AB,在

RtABCD中，CD=7BC-BU=2?則S“BC=2近.設△ABC的內切圓。的

半徑為R,則琴,所以圓錐內半徑最大的球的體積為31火3=冬.］

DIDI乙乙D。

畬反思領悟“切”的問題處理規律

(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決.

(2)體積分割是求內切球半徑的通用方法.

［跟進訓練］

2.在封閉的直三棱柱ABC-AiBG內有一個體積為V的球.若ABLBC,AB

=6,BC=8,A4i=3,則V的最大值是()

“c9兀一，r32兀

A.4無B.5C.6兀D.

B［要使球的體積最大，必須使球的半徑最大.設球的半徑為R,?.'△ABC

4

的內切圓半徑為一2—=2,：.R^2,由題意易知球與直三棱柱的上、下底面

都相切時，球的直徑取得最大值為3,

.?.RW],.*<Vmax=^7t^2^=/兀.故選B.]

□考點三空間幾何體的截面'截線問題《師生共研

[典例3](l)Q020?全國II卷)已知△ABC是面積為竽的等邊三角形，且其

頂點都在球0的球面上.若球0的表面積為16兀,則。到平面ABC的距離為()

A.小B.1C.1D.坐

(2)(2020.新高考I卷)已知直四棱柱ABCD-A\B\C\D\的棱長均為2.ZBAD=

60°,以n為球心，小為半徑的球面與側面BCCB的交線長為.

(DC(2)華](1)由等邊三角形ABC的面積為竽，得坐XAB2=呼,得

AB—3,則△ABC的外接圓半徑乎48=坐48=小.設球的半徑為R,則

由球的表面積為1671,得4兀爐=16無，得R=2,則球心O到平面ABC的距離d

=y]R2—r=1,故選C.

(2)

如圖，連接3。，易知△BiGDi為正三角形，所以明。|=。。=2.分別取

B\C\,BB\,CG的中點M,G,H,連接。iM,D\G,D\H,則易得DiG=Di〃

=轉+12=小,D\M^-B\C\,且。|加=小.由題意知G,”分別是BBi,CG與

球面的交點.在側面BCC\B\內任取一點P,使MP=?連接D\P,則D\P=

^D\M-+MP-=y](73)2+(^2)2=75，連接MG,MH,易得MG=MH=小,

故可知以M為圓心，啦為半徑的圓弧GH為球面與側面BCCiBi的交線.由

?5

ZBiMG=ZCiMH=45c知NGM”=90°,所以命的長為;義2九義小=號.]

令反思領悟巧用直角三角形解決截面圓問題的步驟

5

(1)確定球心。和截面圓的圓心O；

(2)探求球的半徑R和截面圓的半徑r；

(3)利用|OOF+d=R2計算相關量.

一［跟進訓練i

3.如圖，以棱長為1的正方體的頂點A為球心，以色為半徑作一個球面,

則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長之和為()

3兀

A.B.也兀

-3兀—9兀

J02—F)—4

nG

C［正方體的表面被該球面所截得的弧長是相等的三部分，如圖，上底面被

球面截得的弧長是以4為圓心，1為半徑的圓周長的點所以所有弧長之和為

3義竽=挈故選C.］

技法戰高考

5.尋找球心解決與球有關的問題

簡單幾何體外接球與內切球問題是立體幾何中的難點，也是歷年高考重要的

考點，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力.此類

問題實質是解決球的半徑長或確定球心。的位置問題，其中球心的確定是關鍵.

類型1利用直棱柱上下底面外接圓

圓心的連線確定球心

［典例4］一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六

6

9-

棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為、底面周長為3,則這個

O

球的體積為.

4兀1

■y[設正六棱柱底面邊長為a,正六棱柱的高為/?,則a=],底面積為S=

6坐圖vu=S/i=^g^/z=|,：.h=y[3,&=（乎）+（羅=1,R=l,球

確定球心

[典例5]已知邊長為2的等邊三角形A8C,。為BC的中點，沿AO進行折

7T

疊，使折疊后的N5DC=],則過A,B,C,。四點的球的表面積為（）

A.3兀B.4兀C?5兀D.6兀

C[連接3c（圖略），由題知幾何體4?。￡＞為三棱錐，B0=C0=1,

BD±AD,CD±AD,BDLCD,將折疊后的圖形補成一個長、寬、高分別是小,

1,1的長方體，其體對角線長為刈+1+3=小,故該三棱錐外接球的半徑是坐,

其表面積為571.]

令素養提能若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可

構造墻角模型（如下圖），直接用公式（2火）2=層+/+，求出R

圖①圖②

7

根據球與長方體的對稱性可知，長方體的對稱中心就是球心，所以長方體（或

可補形為長方體的柱體、錐體）的體對角線就是其外接球的直徑.

類型3利用底面三角形與側面三角形的

外心探索球心

［典例6］平面四邊形A3CO中，AB=AD=CD=l,BD=?BO_LCD.將

其沿對角線BD折成四面體A'BCD,使平面48。，平面BCD若四面體A'BCD

的頂點在同一球面上，則該球的體積為（）

A［如圖，設BD,BC的中點分別為E,F.因點F為底面直角△BCD的外

心，知三棱錐A'-BCD的外接球球心必在過點R且與平面BCD垂直的直線/i上.又

點E為底面直角AA，8。的外心，知外接球球心必在過點E且與平面A'BD垂直

的直線/2上.因而球心為Zi與人的交點.又知在，平面48D

從而可知球心為點F.又48=40=1,CD=\知BD=也,球半徑7?=尸。=萬-=

坐故T71快|3=察1

畬素養提能三棱錐側面與底面垂直時，可緊扣球心與底面三角形外心連線

垂直于底面這一性質，利用底面與側面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑.

類型4利用截面圖形的幾何性質確定球心

［典例7］在四面體ABC。中，AB=小,DA=DB=CA=CB=1,則四面體

ABCD的外接球的表面積為（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

8

C

D

B[取AB的中點O,

由AB=?DA=DB=CA=CB=l,

111

所以C42+C32=A32,AD+BD=AB,

可得NAC3=NADB=90°,

J2

所以QA=OB=OC=00=￥，

即。為外接球的球心，球的半徑R二坐,

所以四面體ABCD的外接球的表面積為5=4兀火2=4兀義；=2兀.]

全索養提能由圓的幾何性質可知，直徑所對的圓周角是直角，故當遇有公

共斜邊的直角三角形的四面體外接球問題時，常采用取中點的方式解答.

Flaw]

4.(1)已知三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，且SA=1,SB=SC=2,若

點