大招3特殊值極限法秒解函數圖象題

大招總結

函數圖象是函數的靈魂，識圖、作圖與用圖是高考的重點考查方向.中學階段

函數圖象的描繪一般是描點作圖和變換作圖.選擇題中，根據點在圖象上，抓

住特殊值，可以代人排除.由基本的極限知識，也容易把握住變化趨勢，快速

做出選擇題.解圖象選擇題的一般步幌是先看定義域，其次看有沒有特殊值，

然后看極限值，如果還不行，最后判斷單調性.因為單調性涉及到求導，有些

復雜，所以不到萬不得已，不要用.

附：函數圖象基礎知識

1.函數圖象的識辨可從以下方面人手：

(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上

下位置；

(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；

(5)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.

2.掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便：

⑴/(%)為偶函數=/(x)=/(|x|).(2)若奇函數在x=0處有意義，則

/(0)=0.

3.圖象變換

(1)平移變換

內(x)+無

上k(k>0)

移個單位

左移右移

y=f(x+h)\]y=f(x)\*|y=/(x-A)

A個單位九個單位

(A>0)下*(*>0)(A>0)

移個單位

-k

(2)對稱變換

⑴)，=/意)關于謝對稱〉y=_/(%);

(2)y=),=/(一幻；

(3)y=/(x)關于原點對稱〉y=_/(-x)；

(4)y=a\a>0且awl)—關土'=*對稱>y=log”x(a〉0且4工1).

(3)伸縮變換

橫坐標變為原來的一倍，縱坐標不變

①y=/(x)--------------------------1y=f(ax).

一、縱坐標變為原來的。倍，橫坐標不變,,、

?y=/(x)--------------------------=a/(x).

(4)翻折變換

GC、保留工軸上方圖象

①尸八外將，軸下方圖象n折上去9=1/(x)l-

自〃、保留，軸右傅圖象..

@y=f(Q技二亡利七.=f(I力)?

將y軸右側圖象翻折到左側

典型例題

[x=3t-4t3

例1.(2021?上海)已知參數方程,一，"-1,1],以下哪個圖符合該

[y=2rVr?

?程()

解利用特株值法進行排除,

當y=0時，=0,1,-1,

當t=0時，x=0,

當t—\時，x=—1,

當r=-l時，x=l,

故當y=()時，%=。或1或T即圖象經過(-1,0),(0,0),(1,0)三個點,

對照四個選項中的圖象，只有選項B符合要求.

故選B.

例2.(2021?天津)函數/?(犬)=型義的圖象大致為()

X+2

ABCD

解根據題意，/(幻=空詈，其定義域為{X|XHO},有

人—幻=坐1=/(幻，是偶函數，排除AC,

x+2

在區間(0,1)上，ln|x|=lnx<0,必有/(x)<0,排除D,故造B.

例3.函數f(x)=a'--(a>O,a^l)的圖象可能是()

a

a

函數f(x)=ax--,為增函數，且當x=-l時，/(-1)=0,即函數愜經過

a

點(-1,0),故選D.方法2:當x=-l,y=O,特殊值代入，選D.

例4函數y=log“(x+a)(a>0,axl)的圖象可能是()

解方法1:若?>1,函數y=log〃(x+a)為增函數，且圖象是把y=log“x

左移?個單位，由此可知選項C中的圖象等合.故選C.

方法2：當x=O,y=l,特殊值代入，選C.

例5函數/(幻=電區的圖象可能是()

解方法1：■/(幻=皿勾,;.函數定義域為(e,0)U(0,m)，

X

/(—月=皿二以=_業1=-/(幻,二函數/(X)為奇函數，圖象關于原點對

XX

稱.故排除B、C.?/當0<x<l時，lnx<0,二

/(x)=U3<0,xe(0,l).故排除D.故選A.

X

方法2:此函數分子是偶函數，分母是奇函數，所以這個函教是奇函牧，故排

除B和C,又因為x趨向于正無窮時，函數值為正，所以選A.

例6函數y=lg(|x+l|)的大致圖象是()

解方法1：--函數y=lg(|x+l|)=|IS(X+1)，X>-1當x>-\時，

Jg(-X-]),x<—1

y=lg(尤+1)的圖象，是函數y=lgx的圖象向左平移1個單位得到的；

當%<-1時，y=lg(-x-l)的圖象，與函數y=lg(尤+1)的圖象關于直

線x=T對稱，.?.函數y=lg(|x+l|)的大致圖象是B.故選B.

方法2：直接看定義域xwT,只有B選項符合.

例7已知函數f(x)=4-x2,y=g(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時,

g(x)=log2X,則函數/(x)-g(x)的大致圖象為()

因為函數/(x)=4-x2為偶函數，y=g(x)是定義在R上的奇函數，所以

函數fM-g(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，所以排除A,B.當

2

X—>+oo時，g(x)=log2x>0,f(x)=4-x<0.所以此時/(x)-g(x)<0.所以

排除C.故選D.

例&函數y=lg」一的大致圖象為()

次+1|

解方法1函數y=lg」一，故函數的圖象關于直線x=-l對稱.當

|x+l|

x>-l時，由于y=lg」一=lg」一是減函數，圖象從左向右是下降的，故

|x+l|x+\

選D.

方法2:先看定義域，排除A和C,然后x超向于正無窮時，函數值為

負，所以選D.

例9.函數y=k>g“|x+b|(a>O,awl,ab=l)的圖像只可能是()

解由a>O,ab=\,可知/?>0,又y=log"|x+Z?|的圖象關于x--b

對稱，故排除A、C.由選項B、D可知-人<一1,.?)>1,.?.0<。<1,由單調

性可知，B正確.故選B.

例K)函數>的圖象大致為()

解方法1:函數有意義，需使e^-e-^O,其定義域為{x|xwO},排除

x+p-x巳2Ki2

C,D,又因為丁=e三二=三==1+*1，所以當尤>0時函數為減函

e-ee-1e—1

數，故選A.方法2:當x從正無窮趨向于0時，函數值趨向于正無窮，所

以選A.

例11函數y=4的圖象大致是（）

?e*

解函數是非奇非偶的,故可排除C、D,對于選項A、B,當x趨向于正

無窮大時，函數值超向于0,故可排除B,故選A.

自我檢測

1.（2019.全國卷III）函數y=a在［-6,6］的圖象大致為（）

答案B

解y=/?）=之一，分子是奇函數，分母是偶函數，所以/（%）是奇函數.

2+2

2"

因此排除C.又人4）=/口>1，因此排除A,D.故選B.

1.（2019?全國卷I）函數/（x）=sinx+：的圖象在［一肛劃上的大致為

COSX+JT

（）

答案D

解???分子是奇函數,分母是偶函數為,/（X）為［-乃，乃］上的奇函數，因此排

sin?+乃71

除A;又/(%)=2＞0,因此排除B,C.故選D.

COS7T+7V\+7T-

2.（2018?浙江）函數y=2wsin2x的圖象可能是（）

答案D

解根據函數的解析式y=2wsin2x,得到函數的圖象為奇函數,故排除A和

B.當x=-時，函數的值也為0，故排除C.故選D.

2

3.（2018?全國卷III）函數y=-x4+x2+2的圖象大致為（）

解函數過定點（0,2）,排除A,B.函數的導數

32

y-（x）=-4X+2%=-2x（2x-1）,由,f（x）＞0得2x（2%2-1）＜（）,得

x〈-節或0＜x〈手，此時函數單調遞增，由/'（x）＜0得2%（2/-1）〉0,

得》〉也或一受＜》＜0,此時函數單調遞減，排除C.也可以利用

22

/(1)=一1+1+2=2〉0,排除A,B.故選D.

4.（2017-全圖卷I）函數y=回生的部分圖象大致為（）

1-COSX

答案c

解函數可知函數是奇函數，排除選項B.當X5時，

1-C0SX

/（萬）=0,排除D.當xf0+（可以理解為%=0.00001）時，f（x）＞Q,排除

A.故選C.

例6.函數＞=2/一/在［-2,2］的圖像大致為（）

答案D

2

解函數為偶函數，當x=±2時，y=8-ee（0,l）,故排除A,B.當

xe［0,2］時，/（x）=y=2x2—e\，r（x）=4x—e*=0有解，故函數

y=2/一炭在［0,2］不是單調函數，故排除C.

故選D.

例7.函數丁=黑的大致圖像為（）

ABCD

答案A

解分子為奇函數，分母為偶函數，所以函數為奇函數，排除C和D.當%一0+

（可以理解為x=0.00001）時，f（x）＞0,排除B.故選A

&函數y咨的部分圖象大致為。

答案B

解根據題意，對于/(x)=sinx?『，有

e-1

p-v+1e*+1

/(-x)=sin(-x)-^^=sinx?2=/(x),即函數f(x)為偶函數，據此可以

e-+1e-1

e，+I

排除A、C.又由在((),乃)上，sinx>0,與一>0,有/'(九)>(),則函數

e-1

/(x)>0,據此排除D;故選B.

2.已知函數/(%)=6、+。龍.

(1)/(X)在x=0處的切線過點(2,-1),求。的值；

(2)討論函數/(x)在(1,收)上的單調性；

⑶令a=l,F(x)=xf\x)-x2,若F(X)=F(X2)(X產Z)，證明：％+%2<一2.

解析：⑴f\x)=ex+a,：.f(0)=e(l=1,/'(0)=l+a,

.?./(%)在％=0處的切線為》—1=3+1)"將(2,—1)點帶入切線方程可得。=-2.

⑵由⑴得/'(無)="+。.

①當時，r(x)20恒成立，.??/(X)在(1,+8)上單調遞增；

②當a<0時，令/'(x)=(),解得x=ln(—a),

當尤<ln(-a),f'(x)<0;當x>ln(-a),/'(x)>(),

/(x)在(-a)/n(—a))上單調遞減，在(ln(-?),+a))上單調遞增，

???當ln(-a)<1,即-eWa<0時，/(x)在(1,+oo)上單調遞增;

當In(-a)>1,即a<—e時，/(x)在(l,ln(-?))上單調遞減，在(ln(-a),+s)上單調遞增.

綜上所述：

當aN-e時，/(幻在上單調遞增；

當a<—e時，/(x)在(l,ln(—0)上單調遞成在(ln(—a),+a>)上單調遞增.

(3)證明;F(x)=xex,尸'(%)=旄*+d=(l+x)e”.令尸(x)=0,x=-l.

當％<—1時,F(x)<0,

當%>-1時，F'(x)>0.尸(x)在(—8,—1)上單調遞減，在上單調遞增，

又"(())=(),

，當x<0時，F(x)<0,當x>0時，F(x)>0.

由題可知/(%)=/(々)(尤1。無2).不妨設％<尤2，則有％<-1<々<0，

對于％<-1,-2-X1<-1,現比較F(%2)與F(-2")的大小.

x

F(X2)~F(-2-xt)=/(尤|)-F(-2-x,)=x[e'+(2+無])e-f,

設g(x)=xe'+(2+x)e~2~x(x<-l),g'(x)=(1+x)(e*-e~2~x),

可證：當x<-l時,1+止<0,ex-e~2~x<0,g'(x)>0.

二函數y=g(無)在(F,-D單調遞增.

Xvg(-l)=--+-=0,Ag(x)<g(-l)=0,F(x)-F(-2-X))<0.

ee2

?.?工2-2-%€(-1,+00)且/0)在(一1,+00)單調遞增，X2<-2-%1,即可+々<-2.

3.已知函數/(幻=。111%-12+(2。-1)式。€口)有兩個不同的零點

(1)求a的取值范圍；

(2)設X],%2是/(X)的兩個零點，證明X+%2>2。.

解析：⑴/(x)的定義域是(