第4章數

列等差數列的前n項和（第1課時）學習目標1.掌握等差數列前n項和公式的推導方法．(難點)2.掌握等差數列的前n項和公式，能夠運用公式解決相關問題．(重點)3.掌握等差數列的前n項和的簡單性質．(重點、難點)1.等差數列定義：an－an－1

＝d

(n∈N*，n≥2)或

an+1－an＝d(n∈N*).2.等差數列通項公式：

(1)

通項公式：an＝a1＋(n－1)d

(n∈N*)(2)公式變式：an＝am＋(n－m)d，(3)函數形式：

an＝pn＋q(p、q是常數)3.等差中項：4.等差數列的中項性質：m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.m，n，p，q∈N*情境1.高斯(1777－1855)，德國著名數學家、物理學家、天文學家，是近代數學的奠基人，享有“數學王子”的美譽.高斯7歲時，有一天老師在黑板上出一道題“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”對全班同學說：“你們算一算從1開始一直加到100的和是多少？看誰算得又快又準確！”，同學們不約而同地拿出筆在小石板上沙沙地算起來.不到一分鐘，高斯站起來說：“老師，我算出結果來了，是5050！”老師和其他同學都很吃驚.你知道高斯是怎樣快速計算出來的嗎？情境2.建筑工地上放著一堆圓木，從上到下每層的數目分別為1，2，3，……，100.你知道共有多少根圓木嗎？問題歸結：計算等差數列｛n｝的前100項之和：1＋2＋3＋…＋99＋100=？高斯算法：1＋2＋3＋…＋99＋100=？(1+100)+(2+99)+(3+98)+?+(50+51)=101×50=5050高斯算法的高明之處在于他發現這100個數可以兩兩配對，分為50組：第一個數與最后一個數一組；第二個數與倒數第二個數一組；第三個數與倒數第三個數一組，……，每組數的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算，迅速準確得到了結果.求解依據：等差數列{an}中，m＋n＝p＋q

am＋an＝ap＋aq.m，n，p，q∈N*首尾配對相加法探索與發現：第1層到21層一共有多少根圓木？問題即：S21=1+2+3+…+21=？使用高斯的辦法有何問題？如何使用高斯的方法解決此問題？方案1：S21=1+2+3+…+19+20+21方案2：S21=1+2+…+11+…+20+21=10×22+11=231方案3：S21=1+2+…+11+…+20+21S21=21+20+…+11+…+2+12S21=(1+21)+(2+20)+(3+19)+…+(21+1)=21×22=10×21+21=231若用首尾配對相加法，n可能是奇數也可能是偶數，需要分類討論.方案三很好的解決了分類討論的繁瑣性，具有一般意義。此法稱為“倒序求和法”。倒序求和法：已知等差數列{an}的首項為a1，項數為n，第n項為an，求前n項和Sn.Sn=a1+a2+a3+……+anSn=an

+an-1+an-2+……+a1①②2Sn=(a1+an)

+(a2+an-1)+(a3+an-2)+……+(an+a1)=n(a1+an)

即：其幾何意義為：等差數列的前n項和的公式：（公式一）（公式二）=an2+bn（二次型）Sn=an2+bn(a,b為實數，常數項為0)特別的：對數列{n}：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…….+[a1+(n-1)d]Sn=an+(an-d)+(an-2d)+……+[an-(n-1)d]兩式相加得：2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)+(a1+an)=n(a1+an)公式的其它推導方法：方法二：即：方法三：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…….+[a1+(n-1)d]=na1+[0+1+2+……+(n-1)]d即：特征.在等差數列{an}中，如果已知5個元素

a1,an,n,d,Sn中的任意三個,總可求出其余兩個量?等差數列的基本公式：通項公式：前n項和公式：知三求二公式一

的主要特征：（1）公式結構與梯形面積公式一致，可記憶等差數列前n項和公式。（2）公式中的主要運算a1+an，可實行“化和為項”，

實現“降維處理”；也可結合等差數列的中項性質使用。例2.已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？故Sn=3n2+n例2.已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？解法二：

①②∴10d=60;a20-a10=60∴d=6,a1=4解法三：

S20-S10

=a11+a12+……+a20=1220-310=910S10

=a1+a2+……+a10=310兩式對應項相減：10d+10d+……+10d=100d=600,∴d=6公式一“化和為項”和的定義“化和為項”2.已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261.求此數列中間一項的值以及項數.1.等差數列{an}中，已知a10=10,求S19的值.=19a10=19×10=190解：公式一結合中項性質的應用：公式二

的主要特征：（1）公式結構與梯形面積分割比較，可記憶等差數列前n項和公式。（2）公式中由“a1，d”計算Sn，因此，等差數列的計算

常用“基本量法”。如例2解法一。（3）公式展開整理為：Sn=an2+bn(a,b為實數，常數項為0)，體現了公式的代數結構特

征“常數項為0的二次型”，可用此式簡化運算，或從二次函數的角度解決前n項和的有關問題。例2.已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？解法四：設Sn=An2+Bn(A,B為常數)。故Sn=3n2+n例2.已知一個等差數列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數列的前n項和的公式嗎？由已知得b10=31,b20=61,故其公差為（61-31）/10=3∴bn=b10+(n-10)×3=31+3n-30=3n+1∴Sn=nbn=n(3n+1)=3n2+n跟蹤訓練：1.在某等差數列中，前10項和為100.前100項和為10，求前110項和？（僅提供以下兩種解法）解法一：解法二：一般地：在某等差數列{an}中，若Sm=n,Sn=m,則

Sm+n=-(m+n).例3.

某校新建一個報告廳,要求容納800個座位，報告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個座位.問第1排應安排多少個座位？知識小結1．等差數列前n項和的公式；2．等差數列前n項和公式的推導方法：3.公式的應用：倒序求和法知三求二；注意公式特征，靈活求解，包括“基本量法”，“化和為項”，“中項性質”，“構造數列”等求解技巧。達標訓練1．已知數列{an}的前n項和為Sn，若an＋1＝an－1，a1＝4，則S5等于(

)A．25

B．20C．15D．10答案：D2．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＋a9＝24，則S9＝(

)A．36B．72C．144D．70答案：B3．已知a1，a2，a3，a4成等差數列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，則公差d為(

)A．8B．16C．4D．