2023-2024學年重慶市沙坪壩區南開中學九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（每小題4分，共40分）.1．（4分）8的倒數是（）A．﹣8 B．8 C． D．﹣2．（4分）下列南開中學建筑簡圖中，是軸對稱圖形的是（）A．東門 B．藝術館 C．圖書館 D．傳鑒亭3．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，位似比為1：2，BC＝2，則EF的長度為（）A．3 B．4 C．6 D．84．（4分）下列計算正確的是（）A．x+x2＝x3 B．（a+1）a＝a2+1 C．2x+3y＝5xy D．b?b2＝b35．（4分）估計的值應在（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間6．（4分）如圖，用圓圈按照一定的規律拼圖案，其中第①個圖案有5個圓圈，第②個圖案有8個圓圈，第③個圖案有11個圓圈，…，按此規律拼下去，則第⑧個圖案中圓圈的個數為（）A．20 B．23 C．26 D．297．（4分）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數，每邊三步無疑．內方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D．8．（4分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標為（3，0），下列說法：①abc＞0；②4a+b＝0；③c＝3a；④若點，（4，y2）在拋物線上，則y1＜y2.其中正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊中點，G為BC邊上一點，連接AE，DG，相交于點F．若，則FE的長度是（）A． B． C． D．10．（4分）在多項式a﹣b+c﹣d﹣e中，任選兩個字母，在兩側加括號，稱為第一輪“加括號操作”．例如，選擇b，d進行“加括號操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e．在第一輪“加括號操作”后的式子中進行同樣的操作，稱為第二輪“加括號操作”，按此方法，進行第n（n≥1）輪“加括號操作”．以下說法：①存在某種第一輪“加括號操作”的結果與原多項式相等；②總存在第k（k≥1）輪“加括號操作”，使得結果與原多項式的和為0；③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結果．其中正確的個數為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將正確答案直接填寫在答題卡中對應的橫線11．（4分）計算：||+30＝．12．（4分）若五邊形的內角中有一個角為60°，則其余四個內角之和為．13．（4分）有四張完全一樣正面分別寫有漢字“我”“愛”“南”“開”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回．洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率是．14．（4分）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是BC上一點，連接CE．若，BD＝1，則DE的長度為．15．（4分）如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，過點A作AD⊥x軸于點D，點C為x軸負半軸上一點且滿足OD＝2OC，連接AC交y軸于點B，連接AO，若S△BOA＝2，則k的值為．16．（4分）若關于x的一元一次不等式組至少有4個整數解，且關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為．17．（4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E是CD的中點，連接AE，將△ADE沿AE折疊得△AFE，連接BD，分別交AF于點M，交AE于點N、若AF⊥CD于點G，，則AN的長度為．18．（4分）如果一個各數位上的數字均不為0的四位自然數（c≠d），滿足2（a﹣b）＝c+d，則稱這個四位數為“倍差等和數”．例如：四位數5171，∵7≠1，2×（5﹣1）＝7+1，∴5171是“倍差等和數”；又如：四位數6321，∵2×（6﹣3）＝2+1，∴6321不是“倍差等和數”．最大的“倍差等和數”為；將“倍差等和數”M＝的個位數字去掉后得到一個三位數，該三位數和M的個位數之差能被7整除，令G（M）＝c'﹣a﹣d'+b，若為整數，則滿足條件的數M的最小值為．三、解答題：（本大題2個小題，19題8分，20題10分，共18分）解答時每小題必須給出必要的演算過程19．（8分）計算：（1）（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）；（2）．20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BD是對角線．（1）用尺規完成以下基本作圖：在邊AD的下方作射線AE，使∠DAE＝∠1，射線AE分別交BD于點O，交BC的延長線于點E，連接DE．（只保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖形中，證明：AB＝DE．（請完成下面的填空）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴①，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝②，∵∠1＝∠DAE，∴③，∠ADB＝∠DAE，∴OB＝OE，④，∵⑤，∴△ABO≌△DEO（SAS），∴AB＝DE．四、解答題：（本大題6個小題，每小題10分，共60分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步21．今年是“一帶一路”倡議提出的10周年，為加深群眾對該戰略精神的認識，幫助大家了解沿線國家風土人情和合作發展成果，小南聯合社區黨員在甲、乙兩小區開展了“一帶一路”宣講活動，并圍繞宣講內容進行了問卷競答．從甲、乙兩小區中各隨機抽取20份問卷競答成績（成績均為整數，滿分為10分，9分及以上為優秀）進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：抽取的乙小區不含7分及8分的所有競答成績：6，6，6，6，6，6，9，10，10．甲乙小區競答成績統計表小區平均數中位數眾數優秀率甲7.75a940%乙7.457.5bm根據以上．信息，解答下列問題；（1）請填空：a＝，b＝，m＝；（2）根據以上數據，你認為甲、乙兩小區的競答成績誰更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）若甲小區收回200份競答問卷，乙小區收回180份競答問卷，估計這些問卷中兩小區競答成績為優秀的總份數是多少？22．小南從北關中學返回天津前，用300元購入青蓮紫筆記本和鐵藝胸針兩種紀念品若干，其中青蓮紫筆記本總費用比鐵藝胸針總費用的2倍少60元．（1）求購買青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的總費用各為多少元？（2）小南發現，兩種紀念品的單價和為10元，青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的數量相同，請幫助他算出紀念品的總個數．23．如圖1，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，點E在邊AB上且AE＝2．動點P，Q同時從點E出發，點P以每秒1個單位長度沿折線E→A→D方向運動到點D停止，點Q以每秒2個單位長度沿折線E→B→C方向運動到點C停止．設運動時間為t秒，△PQC的面積為y．（1）請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）如圖2，在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出△PQC的面積大于15時的t的取值范圍．24．校慶期間，小南同學從天津到北關中學瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事．他從沙坪壩火車站出站后，導航給出兩條線路，如圖：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．經勘測，點E在點A的北偏西45°方向米處，點D在點E的正北方向200米處，點M在點D的正東方向250米處，點B在點E的正東方向，且在點A的北偏東30°方向，點C在點D的正東方向，且在點B的北偏西37°方向．（1）求EB的長度；（結果保留根號）（2）由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？（參考數據≈1.41，1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）25．如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于，C兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線AC下方拋物線上的一動點，過點P作PD∥AC交y軸于點D，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線沿射線AC方向平移2個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內確定一點N，使得A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形，請寫出所有滿足條件的點N的坐標，并寫出其中一個點N的坐標的求解過程．26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點．（1）如圖1，E是AB中點，，CE＝5，，求線段BD的長度；（2）如圖2，CA＝CB，點F在線段AD上，將線段CF繞點C順時針旋轉90°得到線段CG，連接BG，交AC于點H，當∠CAD＝2∠ABG時，試猜想AF與CH的數量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，在（2）的條件下，點M在CF上，點N在CG上，FM＝CN，連接NM，若，直接寫出的最小值．2023-2024學年重慶市沙坪壩區南開中學九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）1．（4分）8的倒數是（）A．﹣8 B．8 C． D．﹣【分析】利用倒數的定義判斷即可．解：8的倒數是，故選：C．【點評】此題考查了倒數，熟練掌握倒數的定義是解本題的關鍵．2．（4分）下列南開中學建筑簡圖中，是軸對稱圖形的是（）A．東門 B．藝術館 C．圖書館 D．傳鑒亭【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，由此即可判斷．解：A、B、C中的圖形不是軸對稱圖形，故A、B、C不符合題意；D中的圖形是軸對稱圖形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．3．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，位似比為1：2，BC＝2，則EF的長度為（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】先利用位似的性質得到△ABC∽△DEF，相似比為1：2，然后根據相似三角形的性質求解．解：∵△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，位似比為1：2，∴△ABC∽△DEF，相似比為1：2，∴BC：EF＝1：2，即2：EF＝1：2，解得EF＝4，即EF的長度為4．故選：B．【點評】本題考查了位似變換：位似的兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點；位似比等于相似比．4．（4分）下列計算正確的是（）A．x+x2＝x3 B．（a+1）a＝a2+1 C．2x+3y＝5xy D．b?b2＝b3【分析】利用合并同類項的法則，單項式乘多項式，同底數冪的乘法的法則對各項進行運算即可．解：A、x+x2不能計算，故A不符合題意；B、（a+1）a＝a2+a，故B不符合題意；C、2x+3y不能計算，故C不符合題意；D、b?b2＝b3，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查合并同類項，單項式乘多項式，同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．5．（4分）估計的值應在（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間【分析】先將原式進行計算，然后進行估算即可．解：原式＝2﹣1＝﹣1，∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，即原式的值在2和3之間，故選：C．【點評】本題考查二次根式的運算及無理數的估算，將原式進行正確的計算是解題的關鍵．6．（4分）如圖，用圓圈按照一定的規律拼圖案，其中第①個圖案有5個圓圈，第②個圖案有8個圓圈，第③個圖案有11個圓圈，…，按此規律拼下去，則第⑧個圖案中圓圈的個數為（）A．20 B．23 C．26 D．29【分析】根據前3個圖中的個數找到規律，再求解．解：第①個圖案中有2+1×3＝5個圓圈，第②個圖案中有2+2×3＝8個圓圈，第③個圖案中有2+3×3＝11個圓圈，...，則第⑧個圖案中圓圈的個數為：2+8×3＝26，故選：C．【點評】本題考查了規律型﹣圖形的變化類，找到變換規律是解題的關鍵．7．（4分）我國古代數學著作《增刪算法統宗》記載“圓中方形”問題：“今有圓田一段，中間有個方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數，每邊三步無疑．內方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠．如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平就是第一了．如圖，設正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）A．π（x+3）2﹣x2＝72 B． C．π（x+3）2﹣x2＝36 D．【分析】直接利用圓的面積減去正方形面積，進而得出答案．解：設正方形的邊長是x步，則列出的方程是：π（+3）2﹣x2＝72．故選：B．【點評】此題主要考查了垂徑定理的應用、正方形的性質以及由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出圓的面積是解題關鍵．8．（4分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝2，與x軸的一個交點坐標為（3，0），下列說法：①abc＞0；②4a+b＝0；③c＝3a；④若點，（4，y2）在拋物線上，則y1＜y2.其中正確的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①拋物線的對稱軸在y軸右側，則ab＜0，c＞0，即可求解；②拋物線的對稱性為直線x＝2＝﹣，即可求解；③由拋物線的對稱性知，其和x軸的另外一個交點的坐標為：（3，0），即可求解；④點離對稱軸的距離小于（4，y2）離對稱軸的距離，故y1＜y2．解：①拋物線的對稱軸在y軸右側，則ab＜0，c＞0，故abc＜0，故①錯誤，不符合題意；②拋物線的對稱性為直線x＝2＝﹣，則b＝﹣4a，故②正確，符合題意；③由拋物線的對稱性知，其和x軸的另外一個交點的坐標為：（3，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），當x＝0時，y＝3a＝c，故③正確，符合題意；④點離對稱軸的距離小于（4，y2）離對稱軸的距離，故y1＜y2，符合題意；故選：C．【點評】本題是二次函數的綜合題，考查了反比例函數的性質，二次函數的圖象和系數的關系的應用，注意：當a＞0時，二次函數的圖象開口向上，當a＜0時，二次函數的圖象開口向下．9．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD邊中點，G為BC邊上一點，連接AE，DG，相交于點F．若，則FE的長度是（）A． B． C． D．【分析】作FH∥BC交CD于H，則＝＝，根據E為CD邊中點，得＝，再根據FH∥AD，得＝＝，根據勾股定理得AE＝2，所以FE＝．解：如圖，作FH∥BC交CD于H，則＝＝，∵E為CD邊中點，∴＝，∵FH∥AD，∴＝＝，∵AE＝＝2，∴FE＝．故選：A．【點評】本題考查了平行線分線段成比例，正方形的性質，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．10．（4分）在多項式a﹣b+c﹣d﹣e中，任選兩個字母，在兩側加括號，稱為第一輪“加括號操作”．例如，選擇b，d進行“加括號操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e．在第一輪“加括號操作”后的式子中進行同樣的操作，稱為第二輪“加括號操作”，按此方法，進行第n（n≥1）輪“加括號操作”．以下說法：①存在某種第一輪“加括號操作”的結果與原多項式相等；②總存在第k（k≥1）輪“加括號操作”，使得結果與原多項式的和為0；③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結果．其中正確的個數為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據說法舉出例子論證，以證明其正確與否．解：①題目中說存在著一個式子第一輪“加括號操作”的結果與原多項式相等，舉出正例：選擇c、e進行“加括號操作”得到a﹣b+（c﹣d﹣e）＝a﹣b+c﹣d﹣e，與原多項式相等，故說法正確；②總存在第k（k≥1）輪“加括號操作”，使得結果與原多項式的和為0，∵無論選擇哪兩個字母，a的正負是不發生改變的，∴任何一輪“加括號操作”與原多項式相加是無法消去a的，∴存在第k（k≥1）輪“加括號操作”，使得結果與原多項式的和為0是錯誤的；③對原多項式進行第一輪“加括號操作”后，共有4種不同結果，舉出反例：選擇b、e進行“加括號操作”，得到a﹣（b+c﹣d﹣e）＝a﹣b﹣c+d+e，選擇b、d進行“加括號操作”，得到a﹣（b+c﹣d）﹣e＝a﹣b﹣c+d﹣e，選擇b、c進行“加括號操作”，得到a﹣（b+c）﹣d﹣e＝a﹣b﹣c﹣d﹣e，選擇c、e進行“加括號操作”，得到a﹣b+（c﹣d﹣e）＝a﹣b+c﹣d﹣e，選擇d、e進行“加括號操作”，得到a﹣b+c﹣（d﹣e）＝a﹣b+c﹣d+e，結果大于四種，故說法錯誤，故選B．【點評】本題考查了推理能力，解題的關鍵是能根據其說法舉出相應的正例跟反例．二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將正確答案直接填寫在答題卡中對應的橫線11．（4分）計算：||+30＝．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．解：||+30＝﹣1+1＝，故答案為：．【點評】本題考查了實數的運算，零指數冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．12．（4分）若五邊形的內角中有一個角為60°，則其余四個內角之和為480°．【分析】根據已知條件，利用多邊形的內角和公式列式計算即可．解：（5﹣2）×180°﹣60°＝540°﹣60°＝480°，故答案為：480°．【點評】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握內角和公式是解題的關鍵．13．（4分）有四張完全一樣正面分別寫有漢字“我”“愛”“南”“開”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回．洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率是．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的結果數，再利用概率公式可得出答案．解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結果，其中抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的結果有2種，∴抽取的兩張卡片上的漢字恰好是“南”和“開”的概率為＝．故答案為：．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．14．（4分）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D是BC上一點，連接CE．若，BD＝1，則DE的長度為．【分析】根據等腰直角三角形的性質求出AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，AD＝AE，BC＝AB＝4，則∠BAD＝∠CAE，利用SAS證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質得出∠ACE＝45°，CE＝1，則∠DCE＝90°，根據勾股定理求解即可．解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE＝1，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2，∴BC＝AB＝4，∴CD＝BC﹣BD＝3，∴DE＝＝＝，故答案為：．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理，熟記全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．15．（4分）如圖，點A是反比例函數圖象上的一點，過點A作AD⊥x軸于點D，點C為x軸負半軸上一點且滿足OD＝2OC，連接AC交y軸于點B，連接AO，若S△BOA＝2，則k的值為12．【分析】先求得AD＝3OB，即可求得S△AOD＝3S△AOB＝6，然后利用反比例函數系數k的幾何意義即可求得k的值．解：∵AD⊥x軸于點D，∴AD∥y軸，∴△COB∽△CDA，∴＝，∴3OB＝AD，∴S△AOD＝3S△AOB＝6，∵S△AOD＝k，∴k＝12，故答案為：12．【點評】本題考查了反比例函數的比例系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特征，得到關于k的方程是解題的關鍵．16．（4分）若關于x的一元一次不等式組至少有4個整數解，且關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為﹣4．【分析】不等式組整理后，根據至少有4個整數解，確定出a的范圍，再由分式方程解為非負數，確定出滿足題意整數a的值，求出之和即可．解：不等式組整理得：，解得：a﹣5＜x≤2，∵不等式組至少有4個整數解，即﹣1，0，1，2，∴a﹣5＜﹣1，解得：a＜4，分式方程去分母得：2y﹣a＝1﹣y+4，解得：y＝，∵分式方程解為非負數，∴且≠1，解得：a≥﹣5且a≠﹣2，∴a的范圍是﹣5≤a＜4且a≠﹣2，則整數解為﹣5，1，之和為﹣4．故答案為：﹣4．【點評】此題考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數解，熟練掌握各自的解法是解本題的關鍵．17．（4分）如圖，四邊形ABCD是菱形，點E是CD的中點，連接AE，將△ADE沿AE折疊得△AFE，連接BD，分別交AF于點M，交AE于點N、若AF⊥CD于點G，，則AN的長度為3．【分析】先根據折疊的性質以及菱形的性質，得出∠ANM的度數，然后連接AC，FN，構造與已知線段有關的平行線分線段成比例，最后連接FC和FD，通過等腰直角三角形的性質，得出OA和FN的數量關系，從而求出AN的長度．解：連接AC交BD于O，連接CF，DF，NF，過C作NF垂線，交NF于點H，如圖：由折疊的性質可知：FN＝DN，DE＝EF，∠FAE＝∠DAE，∠DNE＝∠FNE，由菱形的性質可知：OA＝OC，AC⊥BD，∠ADB＝∠CDB，在△ADG中，∠AGD＝90°，∠ADG+∠AGD+∠GAD＝180°，∴∠ADG+∠GAD＝90°，∴∠NAD+∠ADN＝∠ADG+∠GAD＝45°，∴∠ANM＝∠NAD+∠ADN＝45°，∴△AON為等腰直角三角形，∴AO＝ON，又∵∠DNE＝∠ANM＝45°，∴∠DNF＝90°，∴FN⊥BD，∴AC∥FN，又∵OA＝OC＝ON，CH⊥FN，∴四邊形CHNM為正方形，∴NH＝OC＝ON，∵EF＝DE，E是CD中點，∴CF⊥DF，∵DN＝FN，FN⊥BD，∴△DFN也是等腰直角三角形，∴∠DFN＝45°，∴∠CFH＝45°，∴CH＝FH，∴FN＝2ON＝2OA，∵AO∥FN，∴＝＝，∴OM＝MN＝，∴ON＝，∴AN＝ON＝3．故答案為：3．【點評】本題主要考查了翻折的性質、等腰直角三角形的判定和性質，平行線分線段成比例，難度中檔，繪制合理的輔助線是本題解題的關鍵．18．（4分）如果一個各數位上的數字均不為0的四位自然數（c≠d），滿足2（a﹣b）＝c+d，則稱這個四位數為“倍差等和數”．例如：四位數5171，∵7≠1，2×（5﹣1）＝7+1，∴5171是“倍差等和數”；又如：四位數6321，∵2×（6﹣3）＝2+1，∴6321不是“倍差等和數”．最大的“倍差等和數”為9731；將“倍差等和數”M＝的個位數字去掉后得到一個三位數，該三位數和M的個位數之差能被7整除，令G（M）＝c'﹣a﹣d'+b，若為整數，則滿足條件的數M的最小值為5331．【分析】當“倍差等和數”為最大時，最高數位只能為9，分析討論即可的結論；若為整數，根據已知條件分析討論即可．解：當“倍差等和數”為最大時，則最高位上a＝9，設b＝8則c+d＝2（a﹣b）＝2，∵c≠d，∴舍去，此時設b＝7．則c+d＝4，則c＝3，d＝1時最大，此時四位數為9731；（2）∵為整數，∴G（M）＝1或2或3或4或6或12，∵2（a﹣b）＝c+d，∴G（M）＝c2﹣a﹣d2+b＝c2﹣d2﹣（a﹣b）＝（c+d）（c﹣d）﹣（a﹣b）＝（2c﹣2d﹣1）（a﹣b），∵2c﹣2d﹣1為奇數，∴G（M）是偶數，排除1、3兩種可能，①當G（M）＝2時，a﹣b＝1，2c﹣2d﹣1＝2，∴c+d＝2（a﹣b）＝2，c﹣d＝1，c＝1，不合題意舍去，②當G（M）＝4時，若a﹣b＝2，2c﹣2d﹣1＝1，則c+d＝4，c﹣d＝1，c＝（不合題意舍去），③G（M）＝6時，若a﹣b＝1，2c﹣2d﹣1＝3，則c+d＝2，c﹣d＝2，：∴c＝2，d＝0，（不合題意舍去），若a﹣b＝3，2c﹣2d﹣1＝1．則c+d＝6，c﹣d＝1，∴c＝，（不合題意舍去），④當G（M）＝12時，若a﹣b＝2，2c﹣2d﹣1＝3，則c+d＝4，c﹣d＝2，c＝3，d＝1，若a﹣b＝6，2c﹣2d﹣1＝1則c+d＝12，c﹣d＝1，c＝（不合題意舍去），綜上所述c、d只有一種可能即c＝3，d＝1，此時a﹣b＝2，設a＝3，b＝1此時abc﹣d＝313﹣1＝312，不能被7整除舍去，設a＝4，b＝2此時abc﹣d＝423﹣1＝422不能被7整除舍去，設a＝5，b＝3，此時abc﹣d＝533﹣1＝532，∴532÷7＝76，能被7整除，∴M的最小值為：5331，故答案為：9731，5331．【點評】本題考查整式的加減，根據題意找出數量關系，分析討論確定a、b、c、d的范圍是解決問題的關鍵．三、解答題：（本大題2個小題，19題8分，20題10分，共18分）解答時每小題必須給出必要的演算過程19．（8分）計算：（1）（x+1）（x﹣1）+x（2﹣x）；（2）．【分析】（1）先展開，再合并同類項即可；（2）先通分算括號內的，把除化為乘，再分解因式約分．解：（1）原式＝x2﹣1+2x﹣x2＝2x﹣1；（2）原式＝?＝?＝．【點評】本題考查整式，分式的混合運算，解題的關鍵是掌握整式相關運算的法則和分式的基本性質．20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BD是對角線．（1）用尺規完成以下基本作圖：在邊AD的下方作射線AE，使∠DAE＝∠1，射線AE分別交BD于點O，交BC的延長線于點E，連接DE．（只保留作圖痕跡）（2）在（1）所作的圖形中，證明：AB＝DE．（請完成下面的填空）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC①，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝∠1②，∵∠1＝∠DAE，∴∠1＝∠AEB③，∠ADB＝∠DAE，∴OB＝OE，OA＝OD④，∵∠AOB＝∠DOE⑤，∴△ABO≌△DEO（SAS），∴AB＝DE．【分析】（1）根據作一個角等于已知角的方法作∠DAE＝∠1即可．（2）根據平行四邊形的性質、平行線的性質以及全等三角形的判定可得答案．【解答】（1）解：如圖，射線AE即為所求．（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADB＝∠1，∵∠1＝∠DAE，∴∠1＝∠AEB，∠ADB＝∠DAE，∴OB＝OE，OA＝OD，∵∠AOB＝∠DOE，∴△ABO≌△DEO（SAS），∴AB＝DE．故答案為：①AD∥BC；②∠1；③∠1＝∠AEB；④OA＝OD；⑤∠AOB＝∠DOE．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖、平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．四、解答題：（本大題6個小題，每小題10分，共60分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步21．今年是“一帶一路”倡議提出的10周年，為加深群眾對該戰略精神的認識，幫助大家了解沿線國家風土人情和合作發展成果，小南聯合社區黨員在甲、乙兩小區開展了“一帶一路”宣講活動，并圍繞宣講內容進行了問卷競答．從甲、乙兩小區中各隨機抽取20份問卷競答成績（成績均為整數，滿分為10分，9分及以上為優秀）進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息：抽取的乙小區不含7分及8分的所有競答成績：6，6，6，6，6，6，9，10，10．甲乙小區競答成績統計表小區平均數中位數眾數優秀率甲7.75a940%乙7.457.5bm根據以上．信息，解答下列問題；（1）請填空：a＝8，b＝6，m＝15；（2）根據以上數據，你認為甲、乙兩小區的競答成績誰更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）若甲小區收回200份競答問卷，乙小區收回180份競答問卷，估計這些問卷中兩小區競答成績為優秀的總份數是多少？【分析】（1）根據中位數、眾數、優秀率的意義求解即可；（2）從平均數、中位數、眾數、優秀率的比較可得答案；（3）分別計算甲小區和乙小區收回的競答問卷乘以優秀率即可．解：（1）甲小區競答成績從小到大排列處在中間位置的兩個數的平均數為＝8，因此中位數是8，即a＝8，乙小區競答成績出現次數最多的是6分，因此眾數是6，即b＝6，乙小區的優秀率為×100%＝15%，即m＝15；故答案為：8，6，15；（2）我認為甲小區的競答成績更好，理由如下：因為甲、乙兩小區的競答成績中，甲小區的平均數、中位數、眾數、優秀率都大于乙小區，因此我認為甲小區的競答成績更好；（3）200×40%+180×15%＝107（份），答：估計這些問卷中兩小區競答成績為優秀的總份數是107份．【點評】本題考查折線統計圖、平均數、中位數、眾數以及用樣本估計總體，理解統計圖中數量之間的關系是正確計算的前提，掌握中位數、眾數的計算方法是得出正確答案的關鍵．22．小南從北關中學返回天津前，用300元購入青蓮紫筆記本和鐵藝胸針兩種紀念品若干，其中青蓮紫筆記本總費用比鐵藝胸針總費用的2倍少60元．（1）求購買青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的總費用各為多少元？（2）小南發現，兩種紀念品的單價和為10元，青蓮紫筆記本和鐵藝胸針的數量相同，請幫助他算出紀念品的總個數．【分析】（1）設購買鐵藝胸針的總費用是x元，則購買青蓮紫筆記本的總費用是（2x﹣60）元，根據購買兩種紀念品的總費用為300元，可列出關于x的一元一次方程，解之可求出購買鐵藝胸針的總費用，再將其代入（2x﹣60）中，即可求出購買青蓮紫筆記本的總費用；（2）設購買y本青蓮紫筆記本，則購買y個鐵藝胸針，利用單價＝總價÷數量，結合兩種紀念品的單價和為10元，可列出關于y的分式方程，解之經檢驗后，可得出y的值，再將其代入2y中，即可求出結論．解：（1）設購買鐵藝胸針的總費用是x元，則購買青蓮紫筆記本的總費用是（2x﹣60）元，根據題意得：2x﹣60+x＝300，解得：x＝120，∴2x﹣60＝2×120﹣60＝180．答：購買青蓮紫筆記本的總費用是180元，購買鐵藝胸針的總費用是120元；（2）設購買y本青蓮紫筆記本，則購買y個鐵藝胸針，根據題意得：+＝10，解得：y＝30，經檢驗，y＝30是所列方程的解，且符合題意，∴2y＝2×30＝60．答：小南共購買兩種紀念品60個．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及分式方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（2）找準等量關系，正確列出分式方程．23．如圖1，在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，點E在邊AB上且AE＝2．動點P，Q同時從點E出發，點P以每秒1個單位長度沿折線E→A→D方向運動到點D停止，點Q以每秒2個單位長度沿折線E→B→C方向運動到點C停止．設運動時間為t秒，△PQC的面積為y．（1）請直接寫出y關于t的函數表達式并注明自變量t的取值范圍；（2）如圖2，在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數的圖象，并寫出該函數的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出△PQC的面積大于15時的t的取值范圍＜t＜．【分析】（1）分兩種情形：當0＜t≤2時，當2＜t≤6時，分別求解即可；（2）利用描點法畫出函數圖象即可；（3）利用解析式結合圖象判斷即可解：（1）在梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，BC＝2AD＝8，點E在邊AB上且AE＝2．∴BE＝AB﹣AE＝4，AD＝4，當0＜t≤2時，y＝?PQ?BC＝×（2+1）t×8＝12t，當2＜t≤6時，如圖，y＝?CQ?AB＝×（4+8﹣2t）×6＝36﹣6t，綜上所述，y＝；（2）函數圖象如圖所示，函數y的最大值是24（答案不唯一）．（3）當0＜t≤2時，y＝12t＝15，解得y＝，當2＜t≤6時，y＝36﹣6t＝15，解得y＝，觀察圖象可得，＜t＜時，y＞15，故答案為：＜t＜．【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了函數的圖象，梯形形的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的射線思考問題，屬于中考常考題型．24．校慶期間，小南同學從天津到北關中學瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事．他從沙坪壩火車站出站后，導航給出兩條線路，如圖：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．經勘測，點E在點A的北偏西45°方向米處，點D在點E的正北方向200米處，點M在點D的正東方向250米處，點B在點E的正東方向，且在點A的北偏東30°方向，點C在點D的正東方向，且在點B的北偏西37°方向．（1）求EB的長度；（結果保留根號）（2）由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應該選擇線路①還是線路②？（參考數據≈1.41，1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【分析】（1）在等腰Rt△AEG中，AE＝400，則EG＝AG＝400，在Rt△ABG中，AG＝400，則BG＝AG?tan30°＝，即可求解；（2）則Rt△BCH中，BH＝DE＝200，則CH＝BH?tan37°＝200×0.75＝150，則BC＝＝250，即可求解．解：（1）過點C作CH⊥BH交于點H，作AG⊥BE于點G，在等腰Rt△AEG中，AE＝400，則EG＝AG＝400，在Rt△ABG中，AG＝400，則BG＝AG?tan30°＝，則BE＝BG+EG＝+400；（2）則AB＝＝，則Rt△BCH中，BH＝DE＝200，則CH＝BH?tan37°＝200×0.75＝150，則BC＝＝250，MC＝DH﹣DM﹣CH＝400+﹣250﹣150＝；線路①：AE+DE+DM＝400200+250≈1014（米）；線路②：AB+BC+CM＝+250+≈942（米）；故應該選擇線路②．【點評】本題為解直角三角形的應用，難度不大，但是計算量較大．25．如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于，C兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是直線AC下方拋物線上的一動點，過點P作PD∥AC交y軸于點D，求的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線沿射線AC方向平移2個單位長度，點M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平面內確定一點N，使得A，P，M，N為頂點的四邊形是菱形，請寫出所有滿足條件的點N的坐標，并寫出其中一個點N的坐標的求解過程．【分析】（1）先求出B（2，﹣1），C（0，﹣3），再運用待定系數法求得拋物線的表達式為y＝x2﹣x﹣3；（2）先求得A（3，0），C（0，﹣3），利用勾股定理可得AC＝6，設P（t，t2﹣t﹣3），過點P作PE⊥y軸于E，再證得△PDE∽△ACO，可求得DE＝t，PD＝t，即D（0，t2﹣t﹣3），進而可得CD+PD＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t，再運用二次函數的性質即可求得答案；（3）由將該拋物線沿射線AC方向平移2個單位長度，可得相當于向左平移了個單位，向下平移了1個單位，則新拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，設點M（﹣，m），點N（s，t），分三種情況：當AP是對角線，AM＝AN時，當AM是對角線，AN＝AP時，當AN是對角線，AM＝AP時，分別列方程組求解即可．解：（1）∵直線經過，C兩點，∴b＝×2﹣3＝﹣1，∴B（2，﹣1），C（0，﹣3），∵拋物線經過B、C兩點，∴，解得：，∴該拋物線的表達式為y＝x2﹣x﹣3；（2）在中，令y＝0，得x﹣3＝0，解得：x＝3，∴A（3，0），∴OA＝3，∵C（0，﹣3），∴OC＝3，在Rt△ACO中，AC＝＝＝6，設P（t，t2﹣t﹣3），過點P作PE⊥y軸于E，如圖，則PE＝t，E（0，t2﹣t﹣3），∵PD∥AC，∴∠PDE＝∠ACO，∵∠PED＝∠AOC＝90°，∴△PDE∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，∴DE＝t，PD＝t，∴D（0，t2﹣t﹣3），∴CD＝﹣3﹣（t2﹣t﹣3）＝﹣t2+t，∴CD+PD＝﹣t2+t+×t＝﹣t2+t，∵﹣＜0，∴當t＝﹣＝時，（CD+PD）有最大值，最大值為，此時點P的坐標為（，﹣3）；（3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴原拋物線的對稱軸為直線x＝，頂點坐標為（，﹣），∵將該拋物線沿射線AC方向平移2個單位長度，則相當于向左平移了個單位，向下平移了1個單位，則新拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，設點M（﹣，m），點N（s，t），又A（3，0），P（，﹣3），∴AP2＝（3﹣）2+（0+3）2＝，當AP是對角線時，由中點坐標公式和AM＝AN得：，解得：，即點N的坐標為（，﹣）；當AM是對角線時，由中點坐標公式和AN＝AP得：，解得：或（不符合題意，舍去），即點N的坐標為（，3）；當AN是對角線時，由中點坐標公式和AM＝AP得：，此方程組無解；綜上所述，點N的坐標為（，﹣）或（，3）．【點評】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，二次函數的性質，相似三角形的判定和性質，菱形的性質，勾股定理等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．26．在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一點．（1）如圖1，E是AB中點，，CE＝5，，求線段BD的長度；（2）如圖2，CA＝CB，點F在線段AD上，將線段CF繞點C順時針旋轉90°得到線段CG，連接BG，交AC于點H，當∠CAD＝2∠ABG時，試猜想AF與CH的數量關系，并證明你的結論；（3）如圖3，在（2）的條件下，點M在CF上，點N在CG上，FM＝CN，連接NM，若，直接寫出的最小值．【分析】（1）過點E作EG⊥BC交BC于點G，由題意得到EG＝CG，利用勾股定理得到EG，CG，根據E是AB中點，∠ACB＝