2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市南崗區蕭紅中學八年級（上）月考數學試卷（9月份）（五四學制）一、選擇題（每小題3分，共24分）1．下列漢字中不是軸對稱圖形的是（）A．早 B．日 C．威 D．工2．點A（1，﹣2）關于x軸對稱的點的坐標是（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）3．如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點D，CD＝2cm，則BC的長度為（）cm．A．0.5 B．1 C．2 D．44．如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，則DE等于（）A．1m B．2m C．3m D．4m5．如圖，三個小朋友相約周末出去玩，圖中點A、B、C代表三人的家所在的位置，為公平起見，集合地應定在以下什么位置，可以使三個小朋友的家到集合地的距離相等？（）A．在△ABC三條高線所在的直線的交點處 B．在△ABC三條中線的交點處 C．在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處 D．在△ABC三條角平分線的交點處6．下列命題是真命題的是（）A．等腰三角形的高、中線、角平分線三線合一 B．有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形 C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形 D．頂角與底角相等的等腰三角形是等邊三角形7．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，與AB、AC相交于點M、N，且MN∥BC，△AMN周長為25，AB＝12，則AC的長為（）A．6 B．12 C．13 D．148．如圖，△ABD和△AEC都是等邊三角形，連接CD、BE相交于點M，連接BC、AM．①△ABE≌△ADC；②AE∥BC；③∠BMC＝120°；④AM平分∠DME．其中正確的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題3分，共24分）9．在鏡子里看見的時間是，實際時間是．10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝1，則CB＝．11．如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA＝OB，OC＝3cm，則OD＝cm．12．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝4cm，則AB＝cm．13．如圖，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂線EF交AB于點E，交AC于點D，則∠DBC＝°．14．如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠BAC＝°．15．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為40°，則∠B＝．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為角平分線，點E在BC邊上，∠CDE＝∠CED，F為DE中點，BD＝6，則線段CF的長度為．三、解答題（17-18題各6分，19-23題各8分，24-25題各10分，共72分）17．（6分）已知，在△ABC中，AB＝AC．（1）如圖①，∠A＝30°，求∠B的度數．（2）如圖②，∠B＝30°，求∠A的度數．18．（6分）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，AC＝AD＝BD，∠BAD＝34°，求∠CAB的度數．19．（8分）在如圖的方格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均在格點上，建立如圖所示平面直角坐標系．（1）畫出與△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2．20．（8分）如圖，飛機從A地向正北方向飛行1400km到達B地，再東偏南30°的方向飛行1400km到達C地（即：∠DBC＝30°），求A、C兩地的距離是多少千米？21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A+2∠C＝180°，BD是AC邊上的中線．（1）求證：AB＝AC；（2）若△ABC的周長為33，BC＝CD，求AB的長．22．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，點P為CA延長線上一點，過點P作PE∥AD分別交AB、BC于F、E兩點．（1）求證：△APF是等腰三角形；（2）過點C作CH∥AB交AD延長線于點H，CD＝DH，請直接寫出圖形中所有的等腰三角形（△APF除外）．23．（8分）對于實數x、y我們定義一種新運算M（x，y）＝mx+ny（其中m、n均為非零的常數），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數值我們稱為點M的線性數，記作M（x，y），其中x、y叫做線性數的一個數對．例如：若M（x，y）＝x+2y，則M（1，3）＝1×1+2×3＝7，數值7是當m＝1，n＝2時，點（1，3）的線性數．（1）若M（x，y）＝x+3y，則M（3，3）＝；（2）已知M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，求m、n的值；（3）在（2）的條件下，求點M（3，2）關于x軸對稱的點的線性數．24．已知，△ABC中，AB＝AC，過點A作AE∥BC，∠CAE＝60°．（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；（2）如圖2，點D是邊AB上一動點（點D與點A、B不重合），連接DC、DE、CE，若∠DEC＝60°，求證：BC＝AE+AD；（3）如圖3，在（2）的條件下，作△DCE關于直線CD對稱的△DCF，連接BF，若AE＝BF，CB＝8，求BD的長．25．填空及解答：【教材例題展示】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角度數．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠，∠A＝∠ABD（等邊對等角），設∠A＝x，則∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，從而∠ABC＝∠C＝2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．【教材習題展示】①如圖2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，若∠BAD＝26°，則∠C＝；若∠BAD＝4α，則∠C＝．（用含α的式子表示）②如圖3，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長CB至D，使DB＝BA，延長BC至E，使CE＝CA，連接AD，AE．則∠DAE＝．【教材習題變式】①如圖4，在△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝BF，EA＝EG，則∠GAF＝．②如圖5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝β，點D，E分別為邊BC，AC上的點，AD＝AE，若∠BAD＝22°，則∠EDC＝．【邊角規律再探】①如圖6，AB＝AC＝AD，連接BC、BD、CD，求證：∠BAC＝2∠BDC．②如圖7，∠ROS＝γ°，點A、B、C、D、E、F…．依次向右在∠ROS的邊OS和OR上，并且依次有OA＝AB＝BC＝CD＝DE＝EF…，請解決以下問題：（1）若依次到點G時，△EFG為直角三角形，則γ＝；（2）若此規律恰好最多可以進行到字母F，則γ的取值范圍是．

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市南崗區蕭紅中學八年級（上）月考數學試卷（9月份）（五四學制）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共24分）1．下列漢字中不是軸對稱圖形的是（）A．早 B．日 C．威 D．工解：A、“早”是軸對稱圖形，不符合題意；B、“日”是軸對稱圖形，不符合題意；C、“威”不是軸對稱圖形，符合題意；D、“工”是軸對稱圖形，不符合題意．故選：C．2．點A（1，﹣2）關于x軸對稱的點的坐標是（）A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）解：點A（1，﹣2）關于x軸對稱的點的坐標是（1，2），故選：D．3．如圖，AB＝AC，AD⊥BC于點D，CD＝2cm，則BC的長度為（）cm．A．0.5 B．1 C．2 D．4解：∵AB＝AC，AD⊥BC于點D，∴BD＝2CD，∵CD＝2cm，∴BC＝4cm，故答案為：D．4．如圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB＝8m，∠A＝30°，則DE等于（）A．1m B．2m C．3m D．4m解：如圖所示，∵立柱BC、DE垂直于橫梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中點，∴AD＝BD，∴AE：CE＝AD：BD，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，在Rt△ABC中，BC＝AB＝4，∴DE＝2．故選：B．5．如圖，三個小朋友相約周末出去玩，圖中點A、B、C代表三人的家所在的位置，為公平起見，集合地應定在以下什么位置，可以使三個小朋友的家到集合地的距離相等？（）A．在△ABC三條高線所在的直線的交點處 B．在△ABC三條中線的交點處 C．在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處 D．在△ABC三條角平分線的交點處解：∵線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，∴△ABC三條邊的垂直平分線的交點到△ABC的三個頂點的距離相等．故選：C．6．下列命題是真命題的是（）A．等腰三角形的高、中線、角平分線三線合一 B．有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形 C．有一個角是60°的三角形是等邊三角形 D．頂角與底角相等的等腰三角形是等邊三角形解：A、等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線三線合一，故本選項命題是假命題，不符合題意；B、頂角與底角相等的等腰三角形是等邊三角形，故本選項命題是假命題，不符合題意；C、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故本選項命題是假命題，不符合題意；D、頂角與底角相等的等腰三角形是等邊三角形，是真命題，符合題意；故選：D．7．如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經過點O，與AB、AC相交于點M、N，且MN∥BC，△AMN周長為25，AB＝12，則AC的長為（）A．6 B．12 C．13 D．14解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴MB＝MO，NO＝NC，∵△AMN周長為25，AB＝12，∴AM+MN+AN＝25，∴AM+MO+ON+AN＝25，∴AM+MB+NC+AN＝25，∴AB+AC＝25，∴AC＝13，故選：C．8．如圖，△ABD和△AEC都是等邊三角形，連接CD、BE相交于點M，連接BC、AM．①△ABE≌△ADC；②AE∥BC；③∠BMC＝120°；④AM平分∠DME．其中正確的有（）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：如圖，AB交CD于點G，∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°．∴∠DAC＝∠BAE．在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），故①正確，符合題意；∵△DAC≌△BAE，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠BGD＝∠ABE+∠BMG，∠BGD＝∠ADC+∠DAG，∴∠ABE+∠BMG＝∠ADC+∠DAG，∴∠BMG＝∠DAG＝60°，∴∠BMC＝180°﹣∠BMG＝120°，故③正確，符合題意；過點A作AF⊥DC，AN⊥BE，垂足分別為F、N．∵AF⊥DC，AN⊥BE，∴∠DFA＝∠BNA＝90°，∵△BAE≌△DAC，∴∠ABE＝∠ADC，在△DAF和△BAN中，，∴△DAF≌△BAN（AAS），∴AF＝AN，又∵AF⊥DC，AN⊥BE，∴AM平分∠DME，故④正確，符合題意；根據題意，無法求解AE∥BC，故②錯誤，不符合題意；綜上，正確符合題意的有3個，故選：C．二、填空題（每小題3分，共24分）9．在鏡子里看見的時間是，實際時間是10：21．解：觀察圖形可知：實際時間是10：21．故答案為：10：21．10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝1，則CB＝2．解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∴∠A+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵∠CDB＝90°，∴BC＝2BD＝2．故答案為：2．11．如圖，AC和BD相交于點O，且AB∥DC，OA＝OB，OC＝3cm，則OD＝3cm．解：∵AB∥DC，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴∠C＝∠D，∴OC＝OD．∵OC＝3cm，∴OD＝OC＝3（cm），故答案為：3．12．如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC，若AD＝4cm，則AB＝4cm．解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝4cm，故答案為：4．13．如圖，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂線EF交AB于點E，交AC于點D，則∠DBC＝36°．解：∵EF是AB的中垂線，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°．故答案為：36．14．如圖，P、Q是△ABC邊BC上的兩點，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠BAC＝120°．解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝120°．故∠BAC的度數是120°．故答案為：120．15．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為40°，則∠B＝65°或25°．解：（1）當AB的中垂線MN與AC相交時，∵∠AMD＝90°，∴∠A＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝65°；（2）當AB的中垂線MN與CA的延長線相交時，∴∠DAB＝90°﹣40°＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝∠DAB＝25°．故答案為65°或25°．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD為角平分線，點E在BC邊上，∠CDE＝∠CED，F為DE中點，BD＝6，則線段CF的長度為3．解：延長CF交AB于點G，連接DG，∵∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵F為DE中點，∴DF＝EF，CF平分∠DCE，∴∠ACG＝∠BCG＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣∠A），∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，∴∠ACG＝∠ABD，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（ASA），∴AG＝AD，CG＝BD＝6，∴∠ADG＝∠AGD＝（180°﹣∠A），∴∠ADG＝∠ACB，∴GD∥BC，∴∠DGF＝∠ECF，在△DGF和△ECF中，，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴GF＝CF＝CG＝×6＝3，∴線段CF的長度為3，故答案為：3．三、解答題（17-18題各6分，19-23題各8分，24-25題各10分，共72分）17．（6分）已知，在△ABC中，AB＝AC．（1）如圖①，∠A＝30°，求∠B的度數．（2）如圖②，∠B＝30°，求∠A的度數．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝30°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝75°；（2）∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°．18．（6分）如圖，點D為△ABC的邊BC上一點，AC＝AD＝BD，∠BAD＝34°，求∠CAB的度數．解：∵AD＝BD，∠BAD＝34°，∴∠B＝∠BAD＝34°，∵∠ADC是△ABC的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝34°+34°＝68°，∵AC＝AD，∴∠C＝∠ADC＝68°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣68°﹣34°＝78°．19．（8分）在如圖的方格中，每個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點均在格點上，建立如圖所示平面直角坐標系．（1）畫出與△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求.（2）如圖，△A2B2C2即為所求．20．（8分）如圖，飛機從A地向正北方向飛行1400km到達B地，再東偏南30°的方向飛行1400km到達C地（即：∠DBC＝30°），求A、C兩地的距離是多少千米？解：∵∠DBC＝30°，∠DBA＝90°，∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝60°，∵由題意知，AB＝1400km，BC＝1400km，∴AB＝BC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝1400km．答：A、C兩地的距離是1400千米．21．（8分）如圖，在△ABC中，∠A+2∠C＝180°，BD是AC邊上的中線．（1）求證：AB＝AC；（2）若△ABC的周長為33，BC＝CD，求AB的長．【解答】（1）證明：∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠A+∠2∠C＝180°，∴∠ABC＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：∵BC＝，∴可設BC＝3x，則CD＝2x，∵BD是腰AC上的中線，∴AB＝AC＝2CD＝4x，∵△ABC的周長為33，∴AB+AC+BC＝4x+4x+3x＝33，∴x＝3，∴AB＝4x＝12．22．（8分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D，點P為CA延長線上一點，過點P作PE∥AD分別交AB、BC于F、E兩點．（1）求證：△APF是等腰三角形；（2）過點C作CH∥AB交AD延長線于點H，CD＝DH，請直接寫出圖形中所有的等腰三角形（△APF除外）．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵PE∥AH，∴∠P＝∠DAC，∠PFA＝∠BAD，∴∠P＝∠PFA，∴△APF是等腰三角形；（2）解：∵CD＝DH，∴△CDH是等腰三角形，∵CH∥AB，∴∠B＝∠BCH，∠BAH＝∠H，∵CD＝DH，∴∠H＝∠BCH，∴∠B＝∠BAH，∴△ABD是等腰三角形，∵∠BAD＝∠DAC，∠BAD＝∠DAC，∴∠DAC＝∠H，∴△ACH是等腰三角形，∵PE∥AD，∴∠BFE＝∠BAD，∴∠BFE＝∠B，∴△BEF是等腰三角形，故圖形中的等腰三角形有△CDH，△ABD，△ACH，△BEF．23．（8分）對于實數x、y我們定義一種新運算M（x，y）＝mx+ny（其中m、n均為非零的常數），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數值我們稱為點M的線性數，記作M（x，y），其中x、y叫做線性數的一個數對．例如：若M（x，y）＝x+2y，則M（1，3）＝1×1+2×3＝7，數值7是當m＝1，n＝2時，點（1，3）的線性數．（1）若M（x，y）＝x+3y，則M（3，3）＝12；（2）已知M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，求m、n的值；（3）在（2）的條件下，求點M（3，2）關于x軸對稱的點的線性數．解：（1）∵M（x，y）＝x+3y，∴m＝1，n＝3，∴M（3，3）＝1×3+3×3＝3+9＝12．故答案為：12；（2）∵M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，∴，解得，∴m，n的值分別為2，3．（3）∵點M（3，2）關于x軸對稱的點為（3，﹣2），在（2）的條件下：2×3+3×（﹣2）＝0，答：點M（3，2）關于x軸對稱的點的線性數為0．24．已知，△ABC中，AB＝AC，過點A作AE∥BC，∠CAE＝60°．（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；（2）如圖2，點D是邊AB上一動點（點D與點A、B不重合），連接DC、DE、CE，若∠DEC＝60°，求證：BC＝AE+AD；（3）如圖3，在（2）的條件下，作△DCE關于直線CD對稱的△DCF，連接BF，若AE＝BF，CB＝8，求BD的長．【解答】證明：（1）∵AE∥BC，∠CAE＝60°，∴∠CAE＝∠C＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形；（2）延長DA至點Q，使AQ＝AE，連接EQ，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝60，∴∠QAE＝60°，∵AQ＝AE，∴△AQE是等邊三涌形，∴∠Q＝∠AEQ＝∠QAE＝60°，AE＝EQ＝AQ，∴∠Q＝∠CAE，∵∠DEC＝60，∴∠DEC＝∠AEQ＝60°，∴∠DEC+∠AED＝∠AEQ+∠AED，即∠QED＝∠AEC，∴△AEC≌△QED（SAS），∴AC＝DQ，∴BC＝DQ＝AQ+AD＝AE+AD；（3）由（2）中全等知道，DE＝EC，∵∠DEC＝60°，∴△CDE是等邊三角形，作△DCE關于直線CD對稱的△DCF，∴△DCE≌△DCF，∴△CDF是等邊三角形，∴∠FBO＝∠FDE＝∠DAE＝120°，∴△DCE≌△DCF（AAS），∴BF＝AD，AE＝BD，∵AE＝BF，∴設AE＝5x，BF＝3x，∴BF＝AD＝3x，AE＝BD＝5x，∵CB＝8，∴AB＝BC＝BD+AD＝5x+3x＝8，∴x＝1，∴BD＝5．25．填空及解答：【教材例題展示】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角度數．解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等邊對等角），設∠A＝x，則∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x，從而∠ABC＝∠C＝2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°．【教材習題展示】①如圖2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，若∠BAD＝26°，則∠C＝38.5°；若∠BAD＝4α，則∠C＝45°﹣α．（用含α的式子表示）②如圖3，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，延長CB至D，使DB＝BA，延長BC至E，使CE＝CA，連接AD，AE．則∠DAE＝115°．【教材習題變式】①如圖4，在△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝BF，EA＝EG，則∠GAF＝45°．②如圖5，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝β，點D，E分別為邊BC，AC上的點，AD＝AE，若∠BAD＝22°，則∠EDC＝11．【邊角規律再探】①如圖6，AB＝AC＝AD，連接BC、BD、CD，求證：∠BAC＝2∠BDC．②如圖7，∠ROS＝γ°，點A、B、C、D、E、F…．依次向右在∠ROS的邊OS和OR上，并且依次有OA＝AB＝BC＝CD＝DE＝EF…，請解決以下問題：（1）若依次到點G時，△EFG為直角三角形，則γ＝7.5°；（2）若此規律恰好最多可以進行到字母F，則γ的取值范圍是15≤γ＜18．