2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市香坊區風華中學七年級（上）期中數學試卷（五四學制）一、選擇題（每題3分，共計30分）1．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B． C．x+2y＝1 D．2．下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）A． B． C． D．3．圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．4．關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣75．如圖．已知O是直線AB上一點，∠1＝50°，OD平分∠BOC，則∠2的度數是（）A．25° B．50° C．65° D．70°6．如圖，直線CD，EF被射線OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝108°，則∠2的度數為（）A．52° B．62° C．72° D．82°7．下列判斷正確的是（）A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則＝ C．若＝，則a＝b D．若a2＝7a，則a＝78．某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護環境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20%．設把x公頃旱地改為林地，則可列方程（）A．54﹣x＝20%×108 B．54﹣x＝20%（108+x） C．54+x＝20%×162 D．108﹣x＝20%（54+x）9．某車間35名工人生產螺栓和螺母，每人每天平均生產螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應該分配（）名工人生產螺栓，才能使當天的螺栓和螺母剛好配套？A．13 B．14 C．15 D．1610．下列命題：①相等的角是對頂角②經過一點有且只有一條直線與已知直線平行③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等④直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離⑤過一點有且只有一條直線與已知直線垂直其中真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每題3分，共計30分）11．把命題“對頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式：．12．如圖，點E在AC的延長線上，請添加一個恰當的條件，使AB∥CD．13．16的算術平方根是．14．如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝度．15．當x＝時，代數式與1﹣的值相等．16．如圖，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，則∠2的度數為．17．《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程為．18．某電臺組織知識競賽，共設置20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表記錄了3個參賽者的得分情況．若參賽者D得82分，則他答對了道題．參賽者答對題數答錯題數得分A200100B19194C1466419．已知∠A與∠B兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的大小是．20．定義新運算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d為實數．例如：（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝9，那么x＝．三、解答題（21題8分，22題6分，23題、24題各8分，25題、26題、27題各10分，共計60分）21．（8分）解下列方程：（1）2（x+8）＝3（x﹣1）；（2）3x+＝．22．（6分）如圖，三角形ABC的位置如圖所示．（1）將三角形ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，畫出平移后的三角形A1B1C1；（2）三角形A1B1C1的面積為平方單位．23．（8分）完成下面的證明：如圖，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求證：AB∥CD．證明：∵AB∥EF，∴∠APE＝（）．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝（）．即∠2+∠3＝90°．∴∠APE+∠3＝90°．∵∠1+∠APE＝90°，∴∠1＝．∴∥CD（）．又∵AB∥EF，∴AB∥CD（）．24．（8分）列方程解應用題：為了豐富社會實踐活動，引導學生科學探究．學校組織七年級同學走進中國科技館．親近科學，感受科技魅力，來到科技館大廳，同學們就被大廳里會“跳舞”的“小球矩陣”吸引住了（如圖1）．白色小球全部由計算機精準控制，每一只小球可以“懸浮”在大廳上空的不同位置，演繹著曲線、曲面、平面、文字和三維圖案等各種動態造型．已知每個小球分別由獨立的電機控制．圖2，圖3分別是9個小球可構成的兩個造型，在每個造型中，相鄰小球的高度差均為a米．為了使小球從造型一（如圖2）變到造型二（如圖3），控制電機使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧號小球同時運動，②，③，④小球向下運動，運動速度均為4米/秒；⑥，⑦，⑧號小球向上運動，運動速度均為3米/秒．當每個小球到達造型二的相應位置時就停止運動．已知⑦號小球比②號小球晚秒到達相應位置，問②號小球運動了多少米？25．如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD與EC平行嗎？請說明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于點A，∠1＝76°，求∠FAB的度數．26．黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝A品種黑馬鈴薯，10畝B品種黑馬鈴薯，其中A品種的平均畝產量比B品種的平均畝產量低20%，共收獲兩個品種黑馬鈴薯14000千克．（1）求A，B兩個品種黑馬鈴薯平均畝產量各多少千克？（2）根據如圖信息，求收購時A、B兩種馬鈴薯每箱的收購價格分別是多少元？（3）在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購完這些黑馬鈴薯．收購方式如下：A、B兩個品種各自獨立裝箱，A品種每箱40千克，B品種每箱100千克，老李給出如下優惠：收購A或B的數量（單位：箱不超過30箱超過30箱優惠方式收購總價打九五折收購總價打八折第一次收購了兩個品種共60箱，且收購的B品種箱數比A品種箱數多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時做出了價格調整：每箱A的收購價不變，每箱B的收購價比第一次的收購價降低，優惠方式不變．兩次收購完所有的黑馬鈴薯后，蔬菜商人發現第二次支付給老李的費用比第一次支付給老李費用多11400元，求蔬菜商人第一次收購A品種黑馬鈴薯多少箱？27．已知EG平分∠BEF，且∠FGE＝∠FEG．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點K在AB、CD之間，連接EK、GK，GK交EF于點Q，使∠K＝∠KEF+∠KGC．求證：EK平分∠AEF；（3）如圖3，在（2）的條件下，在線段EF上取一點Ⅰ，連接IG，使∠EIG＝2∠EKG，過點K作KM∥IG交EF于點L，交CD于點M，使得∠GEF﹣∠GKM＝45°，連接KI．若LK+GI＝10，三角形KIG的面積為6，求QI的長．

2023-2024學年黑龍江省哈爾濱市香坊區風華中學七年級（上）期中數學試卷（五四學制）參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共計30分）1．下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B． C．x+2y＝1 D．解：A、該方程中未知數的最高次數為2，不是一元一次方程，故不符合題意；B、該方程是一元一次方程，故符合題意；C、該方程有兩個未知數，不是一元一次方程，故不符合題意；D、該方程中分母中含有未知數，不是一元一次方程，故不符合題意；故選：B．2．下列圖形中，能由圖形a通過平移得到的是（）A． B． C． D．解：由平移定義得，平移只改變圖形的位置，觀察圖形可知，選項B中圖形是由圖形a通過平移得到，A，C，D均不能由圖形a通過平移得到，故選：B．3．圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）A． B． C． D．解：A、∠1和∠2不是對頂角，故選項錯誤；B、∠1和∠2不是對頂角，故選項錯誤；C、∠1和∠2是對頂角，故選項正確；D、∠1和∠2不是對頂角，故選項錯誤．故選：C．4．關于x的一元一次方程2x+m＝5的解為x＝1，則m的值為（）A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7解：∵x＝1是關于x的一元一次方程2x+m＝5的解，∴2×1+m＝5，∴m＝3，故選：A．5．如圖．已知O是直線AB上一點，∠1＝50°，OD平分∠BOC，則∠2的度數是（）A．25° B．50° C．65° D．70°解：由鄰補角互補，得∠BOC＝180°﹣∠1＝180°﹣50°＝130°，由OD平分∠BOC得∠2＝∠BOC＝×130°＝65°，故選：C．6．如圖，直線CD，EF被射線OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝108°，則∠2的度數為（）A．52° B．62° C．72° D．82°解：如圖：∵CD∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝108°，∴∠2＝72°，故選：C．7．下列判斷正確的是（）A．若a＝b，則a+c＝b﹣c B．若a＝b，則＝ C．若＝，則a＝b D．若a2＝7a，則a＝7解：A、兩邊加不同的整式，故這個選項不符合題意；B、當c＝0時，等式的兩邊都除以c無意義，等式不一定成立，故這個選項不符合題意；C、等式的兩邊都乘以c，等式仍成立，故這個選項符合題意；D、當a＝0時，等式仍成立，故a＝0或7，故這個選項不符合題意；故選：C．8．某村原有林地108公頃，旱地54公頃，為保護環境，需把一部分旱地改造為林地，使旱地面積占林地面積的20%．設把x公頃旱地改為林地，則可列方程（）A．54﹣x＝20%×108 B．54﹣x＝20%（108+x） C．54+x＝20%×162 D．108﹣x＝20%（54+x）解：設把x公頃旱地改為林地，根據題意可得方程：54﹣x＝20%（108+x）．故選：B．9．某車間35名工人生產螺栓和螺母，每人每天平均生產螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應該分配（）名工人生產螺栓，才能使當天的螺栓和螺母剛好配套？A．13 B．14 C．15 D．16解：設應該分配x名工人生產螺栓，y人生產螺母，才能使當天的螺栓和螺母剛好配套，由題意得：，解得：，即應該分配15名工人生產螺栓，20人生產螺母，才能使當天的螺栓和螺母剛好配套，故選：C．10．下列命題：①相等的角是對頂角②經過一點有且只有一條直線與已知直線平行③兩條直線被第三條直線所截，同位角相等④直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離⑤過一點有且只有一條直線與已知直線垂直其中真命題有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①相等的角不一定是對頂角，故本選項命題是假命題；②經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命題；③兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項命題是假命題；④直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，是真命題；⑤在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項命題是假命題；故選：A．二、填空題（每題3分，共計30分）11．把命題“對頂角相等”改寫成“如果…那么…”的形式：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．解：題設為：兩個角是對頂角，結論為：這兩個角相等，故寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等，故答案為：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等．12．如圖，點E在AC的延長線上，請添加一個恰當的條件∠1＝∠2（答案不唯一），使AB∥CD．解：當∠1＝∠2時，利用內錯角相等，兩直線平行可判定AB∥CD；當∠A＝∠DCE時，利用同位角角相等，兩直線平行可判定AB∥CD；當∠A+∠ACD＝180°時，利用同旁內角互補，兩直線平行可判定AB∥CD；當∠ABD+∠D＝180°時，利用同旁內角互補，兩直線平行可判定AB∥CD；故答案為：∠1＝∠2（答案不唯一）．13．16的算術平方根是4．解：∵42＝16，∴16的算術平方根是4，故答案為：4．14．如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝100度．解：∵AB∥CD，∠B＝80，∴∠BCD＝∠B＝80°，∵BC∥ED，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．故答案為：100．15．當x＝﹣1時，代數式與1﹣的值相等．解：根據題意得：＝1﹣，去分母得：3（1﹣x）＝6﹣2（x+1），去括號得：3﹣3x＝6﹣2x﹣2，移項合并同類項得：﹣x＝1，系數化1，得：x＝﹣1．故答案為：﹣1．16．如圖，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，則∠2的度數為36°．解：如圖，∵∠1＝108°，∴∠3＝180°﹣∠1＝72°，∵l∥AB，∴∠A＝∠3＝72°，∠B＝∠2，∵∠A＝2∠B，∴∠2＝∠B＝∠A＝36°．故答案為：36°．17．《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程為5x+45＝7x+3．解：設合伙人數為x人，依題意，得：5x+45＝7x+3．故答案為：5x+45＝7x+3．18．某電臺組織知識競賽，共設置20道選擇題，各題分值相同，每題必答，下表記錄了3個參賽者的得分情況．若參賽者D得82分，則他答對了17道題．參賽者答對題數答錯題數得分A200100B19194C14664解：設答對一題得a分，答錯一題得b分，依題意，得：，解得：．設參賽者D答對了x道題，則答錯了（20﹣x）道題，依題意，得：5x﹣（20﹣x）＝82，解得：x＝17．故答案為：17．19．已知∠A與∠B兩邊分別平行，且∠A比∠B的3倍少20°，則∠A的大小是10°或130°．解：因為∠A與的∠B兩邊分別平行，所以∠A與∠B相等或互補，因為∠A比∠B的3倍少20°，所以∠A＝3∠B﹣20°，①當∠A＝∠B時，∠A＝3∠A﹣20°，解得∠A＝10°；②當∠A+∠B＝180°時，∠A＝3（180°﹣∠A）﹣20°，解得∠A＝130°．所以∠A的大小是10°或130°．故答案為：10°或130°．20．定義新運算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d為實數．例如：（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝9，那么x＝2．解：∵（2x，3）?（3，﹣1）＝9，∴2x?3+3×（﹣1）＝9，6x﹣3＝9，6x＝9+3，6x＝12，x＝2，故答案為：2．三、解答題（21題8分，22題6分，23題、24題各8分，25題、26題、27題各10分，共計60分）21．（8分）解下列方程：（1）2（x+8）＝3（x﹣1）；（2）3x+＝．解：（1）去括號，得：2x+16＝3x﹣3，移項，得：2x﹣3x＝﹣3﹣16，合并同類項，得：﹣x＝﹣19，系數化為1，得：x＝19；（2）去分母，得：18x+3（x﹣1）＝2（2x﹣1），去括號，得：18x+3x﹣3＝4x﹣2，移項，得：18x+3x﹣4x＝﹣2+3，合并同類項，得：17x＝1，系數化為1，得：x＝．22．（6分）如圖，三角形ABC的位置如圖所示．（1）將三角形ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度，畫出平移后的三角形A1B1C1；（2）三角形A1B1C1的面積為平方單位．解：（1）如圖，三角形A1B1C1即為所求.（2）三角形A1B1C1的面積為＝（平方單位）．故答案為：．23．（8分）完成下面的證明：如圖，已知AB∥EF，EP⊥EQ，∠1+∠APE＝90°，求證：AB∥CD．證明：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定義）．即∠2+∠3＝90°．∴∠APE+∠3＝90°．∵∠1+∠APE＝90°，∴∠1＝∠3．∴EF∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．又∵AB∥EF，∴AB∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）．【解答】證明：∵AB∥EF，∴∠APE＝∠2（兩直線平行，內錯角相等）．∵EP⊥EQ，∴∠PEQ＝90°（垂直的定義）．即∠2+∠3＝90°．∴∠APE+∠3＝90°．∵∠1+∠APE＝90°，∴∠1＝∠3．∴EF∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．又∵AB∥EF，∴AB∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）．故答案為：∠2；兩直線平行，內錯角相等；90°；垂直的定義；∠3；EF；內錯角相等，兩直線平行；平行于同一直線的兩條直線互相平行．24．（8分）列方程解應用題：為了豐富社會實踐活動，引導學生科學探究．學校組織七年級同學走進中國科技館．親近科學，感受科技魅力，來到科技館大廳，同學們就被大廳里會“跳舞”的“小球矩陣”吸引住了（如圖1）．白色小球全部由計算機精準控制，每一只小球可以“懸浮”在大廳上空的不同位置，演繹著曲線、曲面、平面、文字和三維圖案等各種動態造型．已知每個小球分別由獨立的電機控制．圖2，圖3分別是9個小球可構成的兩個造型，在每個造型中，相鄰小球的高度差均為a米．為了使小球從造型一（如圖2）變到造型二（如圖3），控制電機使造型一中的②，③，④，⑥，⑦，⑧號小球同時運動，②，③，④小球向下運動，運動速度均為4米/秒；⑥，⑦，⑧號小球向上運動，運動速度均為3米/秒．當每個小球到達造型二的相應位置時就停止運動．已知⑦號小球比②號小球晚秒到達相應位置，問②號小球運動了多少米？解：∵②，③，④小球向下運動，運動速度均為4米/秒；⑥，⑦，⑧號小球向上運動，運動速度均為3米/秒．∵每個小球的高度差均為a米，∴②由圖2運動到圖3的路程是2×a＝2a，⑦由圖3運動到圖2的路程就4×a＝4a，根據題意得，a＝2，∴②小球運動2×2＝4（米）25．如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD與EC平行嗎？請說明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于點A，∠1＝76°，求∠FAB的度數．【解答】（1）AD與EC平行，證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠ADC（兩直線平行，內錯角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代換），∴AD∥CE（同旁內角互補，兩直線平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分線定義），∴∠2＝∠ADC＝38°（已證），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定義），∵AD∥CE（已證），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（兩直線平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．26．黑馬鈴薯又名“黑金剛”，它富含碘、硒等多種微量元素，特別是含有花青素、花青原素，素有“地下蘋果”之稱．老李今年種植了5畝A品種黑馬鈴薯，10畝B品種黑馬鈴薯，其中A品種的平均畝產量比B品種的平均畝產量低20%，共收獲兩個品種黑馬鈴薯14000千克．（1）求A，B兩個品種黑馬鈴薯平均畝產量各多少千克？（2）根據如圖信息，求收購時A、B兩種馬鈴薯每箱的收購價格分別是多少元？（3）在（2）的條件下某蔬菜商人分兩次向老李收購完這些黑馬鈴薯．收購方式如下：A、B兩個品種各自獨立裝箱，A品種每箱40千克，B品種每箱100千克，老李給出如下優惠：收購A或B的數量（單位：箱不超過30箱超過30箱優惠方式收購總價打九五折收購總價打八折第一次收購了兩個品種共60箱，且收購的B品種箱數比A品種箱數多；受某些因素影響，蔬菜商人第二次收購時做出了價格調整：每箱A的收購價不變，每箱B的收購價比第一次的收購價降低，優惠方式不變．兩次收購完所有的黑馬鈴薯后，蔬菜商人發現第二次支付給老李的費用比第一次支付給老李費用多11400元，求蔬菜商人第一次收購A品種黑馬鈴薯多少箱？【解答】（1）解：設B的畝產量為y千克，則A的畝產量為y（1﹣20%）根據題意更方程5y（1﹣20%）+10y＝14000解得y＝1000A．的畝產量為1000×（1﹣20%）＝800（千克）答：A的畝產量為800千克，B的畝產量為1000千克．（2）解：設A品種每箱m元，B品種每箱n元．，解得方程組，答：收購時A種馬鈴薯每箱的收購價格是200元，B種馬鈴薯每箱的收購價格是300元；（3）A產品共有的箱數：800×5÷40＝100（箱），B產品共有的箱數：1000×10÷100＝100（箱），設第一次收購A產品a箱，第二次收購（100﹣a）箱，則B產品第一次收購為（60﹣a）箱．[200a×95%+300（60﹣a）]×80%＝[200（1