甘肅省蘭州市第十九中學2024學年中考一模數學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．下列二次根式，最簡二次根式是（）A． B． C． D．2．的相反數是（）A．﹣ B． C． D．23．下列運算正確的是()A．=x5 B． C．·= D．3+24．下列計算結果為a6的是（）A．a2?a3B．a12÷a2C．（a2）3D．（﹣a2）35．如圖所示，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG邊長也為2，且AC與DE在同一直線上，△ABC從C點與D點重合開始，沿直線DE向右平移，直到點A與點E重合為止，設CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分（圖中陰影部分）的面積為y，則y與x之間的函數關系的圖象大致是（）A． B．C． D．6．函數y=ax2+1與（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．7．如圖釣魚竿AC長6m，露在水面上的魚線BC長3m，釣者想看看魚釣上的情況，把魚竿AC逆時針轉動15°到AC′的位置，此時露在水面上的魚線B'C'長度是（）A．3m B．m C．m D．4m8．|﹣3|＝（）A． B．﹣ C．3 D．﹣39．將拋物線y＝﹣（x+1）2+4平移，使平移后所得拋物線經過原點，那么平移的過程為（）A．向下平移3個單位 B．向上平移3個單位C．向左平移4個單位 D．向右平移4個單位10．如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，BN⊥AN于點N，且AB=10，BC=15，MN=3，則AC的長是（）A．12 B．14 C．16 D．1811．如圖,在邊長為6的菱形中,,以點為圓心,菱形的高為半徑畫弧,交于點,交于點,則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．12．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有兩個不相同的實數根，則實數m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．若關于x的方程x2-x+sinα=0有兩個相等的實數根，則銳角α的度數為___．14．一個圓錐的三視圖如圖，則此圓錐的表面積為______．15．的倒數是_____________．16．在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知sinA=3517．計算的結果是____.18．若點（，1）與（﹣2，b）關于原點對稱，則=_______．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖所示，PB是⊙O的切線，B為切點，圓心O在PC上，∠P=30°，D為弧BC的中點.(1)求證：PB=BC；(2)試判斷四邊形BOCD的形狀，并說明理由.20．（6分）如圖，△ABD是⊙O的內接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC＝∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C．求證：BC是⊙O的切線；若⊙O的半徑為6，BC＝8，求弦BD的長．21．（6分）先化簡，再求值：，請你從﹣1≤x＜3的范圍內選取一個適當的整數作為x的值．22．（8分）如圖,在△ABC中,點D是AB邊的中點,點E是CD邊的中點,過點C作CF∥AB交AE的延長線于點F,連接BF.求證:DB=CF；(2)如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結論.23．（8分）某家電銷售商場電冰箱的銷售價為每臺1600元，空調的銷售價為每臺1400元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多300元，商場用9000元購進電冰箱的數量與用7200元購進空調數量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少？（2）現在商場準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售利潤為Y元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，總利潤不低于16200元，請分析合理的方案共有多少種？（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調K（0＜K＜150）元，若商場保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．24．（10分）在平面直角坐標系xOy中，若拋物線頂點A的橫坐標是，且與y軸交于點，點P為拋物線上一點．求拋物線的表達式；若將拋物線向下平移4個單位，點P平移后的對應點為如果，求點Q的坐標．25．（10分）某商場計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？（2）商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進貨方案？26．（12分）已知關于的一元二次方程.試證明：無論取何值此方程總有兩個實數根；若原方程的兩根，滿足，求的值.27．（12分）服裝店準備購進甲乙兩種服裝，甲種每件進價80元，售價120元；乙種每件進價60元，售價90元，計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件.（1）若購進這100件服裝的費用不得超過7500，則甲種服裝最多購進多少件？（2）在（1）條件下，該服裝店在5月1日當天對甲種服裝以每件優惠a（0<a<20）元的價格進行優惠促銷活動，乙種服裝價格不變，那么該服裝店應如何調整進貨方案才能獲得最大利潤？

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、C【解題分析】

根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【題目詳解】A．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；B．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；C．是最簡二次根式，故本選項符合題意；D．，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意．故選C．【題目點撥】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解答此題的關鍵．2、A【解題分析】分析：根據相反數的定義結合實數的性質進行分析判斷即可.詳解：的相反數是.故選A.點睛：熟記相反數的定義：“只有符號不同的兩個數（實數）互為相反數”是正確解答這類題的關鍵.3、B【解題分析】

根據冪的運算法則及整式的加減運算即可判斷.【題目詳解】A.=x6，故錯誤；B.，正確；C.·=，故錯誤；D.3+2不能合并，故錯誤，故選B.【題目點撥】此題主要考查整式的加減及冪的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則.4、C【解題分析】

分別根據同底數冪相乘、同底數冪相除、冪的乘方的運算法則逐一計算可得．【題目詳解】A、a2?a3=a5，此選項不符合題意；

B、a12÷a2=a10，此選項不符合題意；

C、（a2）3=a6，此選項符合題意；

D、（-a2）3=-a6，此選項不符合題意；

故選C．【題目點撥】本題主要考查冪的運算，解題的關鍵是掌握同底數冪相乘、同底數冪相除、冪的乘方的運算法則．5、A【解題分析】

此題可分為兩段求解，即C從D點運動到E點和A從D點運動到E點，列出面積隨動點變化的函數關系式即可．【題目詳解】解：設CD的長為與正方形DEFG重合部分圖中陰影部分的面積為當C從D點運動到E點時，即時，．當A從D點運動到E點時，即時，，與x之間的函數關系由函數關系式可看出A中的函數圖象與所求的分段函數對應．故選A．【題目點撥】本題考查的動點變化過程中面積的變化關系，重點是列出函數關系式，但需注意自變量的取值范圍．6、B【解題分析】試題分析：分a＞0和a＜0兩種情況討論：當a＞0時，y=ax2+1開口向上，頂點坐標為（0，1）；位于第一、三象限，沒有選項圖象符合；當a＜0時，y=ax2+1開口向下，頂點坐標為（0，1）；位于第二、四象限，B選項圖象符合．故選B．考點：1.二次函數和反比例函數的圖象和性質；2.分類思想的應用．7、B【解題分析】

因為三角形ABC和三角形AB′C′均為直角三角形，且BC、B′C′都是我們所要求角的對邊，所以根據正弦來解題，求出∠CAB，進而得出∠C′AB′的度數，然后可以求出魚線B'C'長度．【題目詳解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故選：B．【題目點撥】此題主要考查了解直角三角形的應用，解本題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題．8、C【解題分析】

根據絕對值的定義解答即可.【題目詳解】|-3|=3故選：C【題目點撥】本題考查的是絕對值，理解絕對值的定義是關鍵.9、A【解題分析】將拋物線平移，使平移后所得拋物線經過原點，若左右平移n個單位得到，則平移后的解析式為：，將（0，0）代入后解得：n=-3或n=1，所以向左平移1個單位或向右平移3個單位后拋物線經過原點；若上下平移m個單位得到，則平移后的解析式為：，將（0，0）代入后解得：m=-3，所以向下平移3個單位后拋物線經過原點，故選A.10、C【解題分析】延長線段BN交AC于E.∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN.在△ABN與△AEN中，∵∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，∴△ABN≌△AEN(ASA)，∴AE=AB=10，BN=NE.又∵M是△ABC的邊BC的中點，∴CE=2MN=2×3=6，∴AC=AE+CE=10+6=16.故選C.11、B【解題分析】

由菱形的性質得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函數求出菱形的高DF，圖中陰影部分的面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積，根據面積公式計算即可．【題目詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，

∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，

∵DF是菱形的高，

∴DF⊥AB，

∴DF=AD?sin60°=6×=3，

∴陰影部分的面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積=6×3=18-9π．

故選B．【題目點撥】本題考查了菱形的性質、三角函數、菱形和扇形面積的計算；由三角函數求出菱形的高是解決問題的關鍵．12、D【解題分析】分析：根據方程的系數結合根的判別式△＞0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數m的取值范圍．詳解：∵方程有兩個不相同的實數根，∴解得：m＜1．故選D．點睛：本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、30°【解題分析】試題解析：∵關于x的方程有兩個相等的實數根，∴解得：∴銳角α的度數為30°；故答案為30°．14、55πcm2【解題分析】

由正視圖和左視圖判斷出圓錐的半徑和母線長，然后根據圓錐的表面積公式求解即可.【題目詳解】由三視圖可知，半徑為5cm,圓錐母線長為6cm,

∴表面積=π×5×6+π×52=55πcm2，故答案為:55πcm2.【題目點撥】本題考查了圓錐的計算,由該三視圖中的數據確定圓錐的底面直徑和母線長是解本題的關鍵，本題體現了數形結合的數學思想.如果圓錐的底面半徑為r，母線長為l，那么圓錐的表面積=πrl+πr2.15、【解題分析】先把帶分數化成假分數可得:,然后根據倒數的概念可得:的倒數是,故答案為:.16、35【解題分析】試題分析：解答此題要利用互余角的三角函數間的關系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα．試題解析：∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=35考點：互余兩角三角函數的關系．17、【解題分析】原式=，故答案為.18、．【解題分析】

∵點（a，1）與（﹣2，b）關于原點對稱，∴b=﹣1，a=2，∴==．故答案為．考點：關于原點對稱的點的坐標．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）見解析；（2）菱形【解題分析】試題分析：（1）由切線的性質得到∠OBP=90°，進而得到∠BOP=60°，由OC=BO，得到∠OBC=∠OCB=30°，由等角對等邊即可得到結論；（2）由對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明即可．試題解析：證明：（1）∵PB是⊙O的切線，∴∠OBP=90°，∠POB=90°-30°=60°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．∵∠POB=∠OBC+∠OCB，∴∠OCB=30°=∠P，∴PB=BC；（2）連接OD交BC于點M．∵D是弧BC的中點，∴OD垂直平分BC．在直角△OMC中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD，∴OM=DM，∴四邊形BOCD是菱形．20、（1）詳見解析；（2）BD=9.6.【解題分析】試題分析：(1)連接OB，由垂徑定理可得BE=DE，OE⊥BD，，再由圓周角定理可得，從而得到∠OBE＋∠DBC＝90°，即，命題得證.(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長.試題解析：(1)證明：如下圖所示，連接OB.∵E是弦BD的中點，∴BE＝DE，OE⊥BD，，∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.∵∠DBC＝∠A，∴∠BOE＝∠DBC，∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切線．(2)解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴,∵，∴，∴.點睛：本題主要考查圓中的計算問題，解題的關鍵在于清楚角度的轉換方式和弦長的計算方法.21、1.【解題分析】

根據分式的化簡法則：先算括號里的，再算乘除，最后算加減．對不同分母的先通分，按同分母分式加減法計算，且要把復雜的因式分解因式，最后約分，化簡完后再代入求值，但是不能代入-1，0，1，保證分式有意義．【題目詳解】解：====當x=2時，原式==1．【題目點撥】本題考查分式的化簡求值及分式成立的條件，掌握運算法則準確計算是本題的解題關鍵.22、(1)證明見解析；（2）四邊形BDCF是矩形，理由見解析.【解題分析】(1)證明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四邊形BDCF是矩形．證明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四邊形BDCF為平行四邊形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四邊形BDCF是矩形．23、（1）每臺空調的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元；（2）共有5種方案；（3）當100＜k＜150時，購進電冰箱38臺，空調62臺，總利潤最大；當0＜k＜100時，購進電冰箱34臺，空調66臺，總利潤最大，當k=100時，無論采取哪種方案，y1恒為20000元．【解題分析】

（1）用“用9000元購進電冰箱的數量與用7200元購進空調數量相等”建立方程即可；（2）建立不等式組求出x的范圍，代入即可得出結論；（3）建立y1=（k﹣100）x+20000，分三種情況討論即可．【題目詳解】（1）設每臺空調的進價為m元，則每臺電冰箱的進價（m+300）元，由題意得，，∴m=1200，經檢驗，m=1200是原分式方程的解，也符合題意，∴m+300=1500元，答：每臺空調的進價為1200元，每臺電冰箱的進價為1500元；（2）由題意，y=（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=﹣100x+20000，∵，∴33≤x≤38，∵x為正整數，∴x=34，35，36，37，38，即：共有5種方案；（3）設廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜150）元后，這100臺家電的銷售總利潤為y1元，∴y1=（1600﹣1500+k）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=（k﹣100）x+20000，當100＜k＜150時，y1隨x的最大而增大，∴x=38時，y1取得最大值，即：購進電冰箱38臺，空調62臺，總利潤最大，當0＜k＜100時，y1隨x的最大而減小，∴x=34時，y1取得最大值，即：購進電冰箱34臺，空調66臺，總利潤最大，當k=100時，無論采取哪種方案，y1恒為20000元．【題目點撥】本題考查了一次函數的應用，分式方程的應用，不等式組的應用，根據題意找出等量關系是解題的關鍵．24、為；點Q的坐標為或．【解題分析】

依據拋物線的對稱軸方程可求得b的值，然后將點B的坐標代入線可求得c的值,即可求得拋物線的表達式；由平移后拋物線的頂點在x軸上可求得平移的方向和距離，故此，然后由點，軸可得到點Q和P關于x對稱，可求得點Q的縱坐標，將點Q的縱坐標代入平移后的解析式可求得對應的x的值，則可得到點Q的坐標．【題目詳解】拋物線頂點A的橫坐標是，，即，解得．．將代入得：，拋物線的解析式為．拋物線向下平移了4個單位．平移后拋物線的解析式為，．，點O在PQ的垂直平分線上．又軸，點Q與點P關于x軸對稱．點Q的縱坐標為．將代入得：，解得：或．點Q的坐標為或．【題目點撥】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的平移規律、線段垂直平分線的性質，發現點Q與點P關于x軸對稱，從而得到點Q的縱坐標是解題的關鍵．25、（1）甲，乙兩種玩具分別是15元/件，1元/件；（2）4.【解題分析】試題分析：（1）設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，根據已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，用90元購進甲種玩具的件數與用150元購進乙種玩具的件數相同可列方程求解．（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，根據甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，商場決定此次進貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解．試題解析：設甲種玩具進價x元/件，則乙種玩具進價為（40﹣x）元/件，x=15，經檢驗x=15是原方程的解．∴40﹣x=1．甲，乙兩種玩具分別是15元/件，1元/件；（2）設購進甲種玩具y件，則購進乙種玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜2．因為y是整數，甲種玩具的件數少于乙種玩具的件數，∴y取20，21，22，23，共有4種方案．考點：分式方程的應用；一元一次不等式組的應用．26、（1）證明見解析；（2）-2.【解題分析】分析：（1）將原方程變形為一般式，根據方程的系數結合根的判別式，即可得出△=（2p+1）2