專題1.5一線三等角模型【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數量關系，并證明．（2）如圖2，當∠BAC≠90°時，設∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數量關系為．【思路點撥】（1）①由題意畫出圖形即可；②證明△CEA≌△ADB（AAS），根據全等三角形的性質得到AD＝CE，BD＝AE，結合圖形證明結論；（2）根據三角形的外角性質得到∠ABD＝∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據全等三角形的性質解答．【解題過程】解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示DE，BD，CE之間的數量關系為DE＝BD+CE．證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直線l過點A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之間的數量關系為DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案為：DE＝BD+CE．1．（2021秋?淮陽區期末）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，點D，E，F分別在邊BC，CA，AB上，且滿足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，則∠FDE的度數為（）A．75° B．80° C．65° D．95°2．（2021秋?南充期末）如圖，點B，C，E在同一直線上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列結論不一定成立的是（）A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE3．（2021秋?邗江區期中）如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為10，2號、3號兩個正方形的面積和為8，則a，b，c三個正方形的面積和為（）A．18 B．26 C．28 D．344．（2021秋?德州期中）如圖，A、C、E三點在向一直線上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個結論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④5．（2021秋?房山區期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分別是BC，AC，AB上的點，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則∠A的度數是度．（用含α的代數式表示）6．（2021春?香坊區期末）如圖，A、E、B三點共線，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，則∠CEF的度數為°．7．（2021秋?臺江區期末）如圖，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，則BD的長為．8．（2020?南關區校級四模）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉90°得到BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝10，EN＝4，則DM＝．9．（2021秋?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．10．（2021秋?萊陽市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，點E在AC邊上，連接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求證：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的長．11．（2022?麻栗坡縣校級模擬）如圖，點A、E、C在同一條直線上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE．求證：AB＝CE．12．（2021秋?海豐縣期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數量關系，請說明理由．13．（2021秋?沙河口區期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D，E，F分別在邊AB，BC，AC上，且ED＝EF，∠DEF＝∠B．（1）如圖1，求證：BC＝BD+CF；（2）如圖2，連接CD，若DE∥AC，求證：CD平分∠ACB．14．（2021秋?佳木斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當直線MN繞點C旋轉到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當直線MN繞點C旋轉到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關系．15．（2021秋?青山區期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數；（2）求證：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為．（用含a，b，c的式子表示）16．（2022?信陽一模）在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數量關系是