2023-2024學年八年級數學上冊重難點突破專題06將軍飲馬之兩點一線模型一、異側兩點求線段和最小值條件：兩定點A、B位于直線l異側，在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小。結論：連接AB交直線l與點P，此時PA+PB的值最小，最小值為AB的長。二、同側兩點求線段和最小值條件：兩定點A，B位于直線l同側，在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小結論：作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'，交直線l于點P，此時PA+PB的值最小，最小值為AB'的長。三、同側兩點求線段差最大值條件：兩定點A、B位于直線l同側，在直線l上找一點P，使|PA-PB|值最大。結論：連接AB并延長，與直線l交于點P，此時|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB的長。四、異側兩點求線段差最大值條件：兩定點A、B位于直線l異側，在直線l上找一點P，使得lPA-PB|值最大結論：作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'并延長，與直線l交于點P，此時|PA-PBI的值最大，最大值為線段AB'的長。如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5如圖，在菱形中，，對角線交于點，，點為的中點，點為上一點，且，點為上一動點，連接，則的最大值為．一、單選題1．如圖，直線是一條輸氣管道，M，N是管道同側的兩個村莊，現計劃在直線上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應天然氣．在下面四種方案中，鋪設管道最短的是（

）A．B．C．D．2．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為8，面積是24，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則的周長的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖，在銳角三角形中，，的面積為，平分，若、分別是、上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，已知點，，點P在直線上運動，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．5．如圖，等邊的邊長為1，過點B的直線，且與關于直線l對稱，D為線段上的一個動點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，，，，，是的平分線，若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是（

）A．2.4 B．3 C．4.8 D．5二、填空題7．如圖，在中，，平分，P為線段上一動點，Q為邊上一動點，當的值最小時，的度數是．8．如圖，等腰三角形的底邊長為2，面積是6，腰的垂直平分線分別交，于點E、F，若點D為底邊的中點，點M為線段上一動點，則的周長的最小值為．9．如圖，在中，，，點在直線上，，點為上一動點，連接，．當的值最小時，的度數為度．10．如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為．三、解答題11．在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形（頂點是網格線的交點的三角形）的頂點，的坐標分別為，．(1)請作出關于y軸對稱的，并寫出和的坐標；(2)在軸上找一點，使最小，在圖中標出點．12．如圖所示，牧馬人從A地出發，到一條直的河流l邊的C處飲馬，然后到達B地．牧馬人到河邊的什么地點飲馬，可以使所走的路程最短？請用尺規作圖，在圖中找出路程最短的飲馬點C，并用軸對稱的性質說明理由．13．如圖，點，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接，以線段為邊構造等腰直角（P為頂點），連接．(1)如圖1，直接寫出點A的坐標為___________，點B的坐標為___________；(2)如圖2，當點P在點O，A之間時，連接，，證明；(3)如圖3