專題8.4一元線性回歸模型及其應用（重難點題型檢測）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022·天津津南·天津市模擬預測）對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：x1,y1、x2,y2、A．由樣本數據得到的線性回歸方程y=bB．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，RD．若變量y和x之間的相關系數r=?0.9362，則變量y與x之間具有線性相關關系【解題思路】根據回歸直線過樣本中心點可判斷A選項；利用殘差平方和與擬合效果的關系可判斷B選項；利用相關指數R2【解答過程】對于A選項，由樣本數據得到的線性回歸方程y=bx+對于B選項，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，B對；對于C選項，用相關指數R2來刻畫回歸效果，R對于D選項，若變量y和x之間的相關系數r=?0.9362，r>0.75，則變量y與x故選：C.2．（3分）（2023春·河南·高三階段練習）經濟學專業的學生們為研究流通費率y和銷售額x（單位：千萬元）的關系，對同類型10家企業的相關數據xi,y由此散點圖，在2千萬元至1億元之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為流通費率y和銷售額x的回歸方程類型的是（

）A．y=ax+b B．y=aC．y=aex【解題思路】根據散點圖的變化趨勢，分析各選項中方程表示的曲線的特點，看是否合乎題意，即可得答案.【解答過程】根據散點圖，可以知道各點基本上是沿著一條具有遞減趨勢的曲線分布，并且變化趨勢較平緩，A中y=ax+b表示直線，變化趨勢是定的，不合題意；B中y=axC中y=aeD中y=aln故選：D．3．（3分）（2023春·湖南長沙·高三階段練習）據一組樣本數據x1,y1,x2,y2,???,xnA．去除兩個誤差較大的樣本點后，y的估計值增加速度變快B．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程對應直線一定過點3,5C．去除兩個誤差較大的樣本點后，重新求得的回歸方程為yD．去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點2,2.7的殘差為0.1【解題思路】根據直線l的斜率大小判斷A；求出y判斷B；再求出經驗回歸方程判斷C；計算殘差判斷D作答.【解答過程】對于A，因為去除兩個誤差較大的樣本點后，經驗回歸直線l的斜率變小，則y的估計值增加速度變慢，A錯誤；對于B，由y=1.2x+0.4及x=3得：y=4，因為去除的兩個樣本點1.2,0.5并且1.2+4.82=3,0.5+7.5因此重新求得的回歸方程對應直線一定過點(3,4)，B錯誤；對于C，設去除后重新求得的經驗回歸直線l的方程為y=1.1x+a，由選項B知，4=1.1×3+a所以重新求得的回歸方程為y=1.1x+0.7對于D，由選項C知，y=1.1x+0.7，當x=2時，y=1.1×2+0.7=2.9，則因此去除兩個誤差較大的樣本點后，相應于樣本點2,2.7的殘差為?0.2，D錯誤.故選：C.4．（3分）（2023·吉林通化·?？家荒＃┠车匾浴熬G水青山就是金山銀山”理念為引導，推進綠色發展，現要訂購一批苗木，苗木長度與售價如下表：苗木長度x（cm）384858687888售價y（元）16.818.820.822.82425.8若苗木長度x（cm）與售價y（元）之間存在線性相關關系，其回歸方程為y=bx+8.9A．148cm B．150cm C．152cm D．154cm【解題思路】根據表格中的數據求出樣本點中心，根據回歸直線經過樣本點中心求出b，再將y=38.9【解答過程】因為x=38+48+58+68+78+886y=16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.86所以樣本點中心為(63,21.5)，又回歸直線y=bx+8.9所以21.5=63b+8.9，所以所以回歸方程為y=0.2x+8.9當y=38.9元時，x=150則當售價大約為38.9元時，苗木長度大約為150厘米.故選：B.5．（3分）（2022春·河南鄭州·高二階段練習）某同學在研究性學習中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產產量（單位：萬盒）的數據如下表所示：x（月份）12345y（萬盒）56568若x，y線性相關，線性回歸方程為y=0.7x+a，則以下判斷正確的是（

）A．x增加1個單位長度，則B．x減少1個單位長度，則y必減少0.7個單位長度C．當x=6時，y的預測值為8.1萬盒D．線性回歸直線y=0.7x+a【解題思路】首先求得平均數x,y，代入【解答過程】x=15代入線性回歸方程y=0.7x+a中得6=0.7×3+a故線性回歸方程為y=0.7x+3.9對于A：回歸直線方程是點分布在直線附近或在直線上，x增加1個單位長度，則y可能增加0.7個單位長度，A錯誤；對于B：回歸直線方程是點分布在直線附近或在直線上，x減少1個單位長度，則y可能減少0.7個單位長度，B錯誤；對于C：當x=6時，y=0.7×6+3.9=8.1對于D：線性回歸直線必經過點x,故選：C.6．（3分）（2023·河南·高三階段練習）下表為某外來生物物種入侵某河流生態后的前3個月繁殖數量y（單位：百只）的數據，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型y=e1+ata∈R對y與第t個月123繁殖數量yeeeA．e3百只 B．e3.5百只 C．e4【解題思路】將回歸模型兩邊取自然對數lny=1+at，并令u=lny，由此構建一個u與t的回歸直線模型，根據回歸直線必過中心點t【解答過程】由題意，y=e1+at兩邊取自然對數得令u=lny，則u=lny∵回歸直線必過樣本點的中心，∴2=2a+1，得a=12，∴u=1+t當t=6時，y=e故選：C.7．（3分）（2022春·湖南益陽·高二期末）設兩個相關變量x和y分別滿足xi=i，yi=2i?1，i=1，2，…，6，若相關變量x和y可擬合為非線性回歸方程y=A．32 B．63 C．64 D．128【解題思路】先通過換元把非線性回歸方程y=2bx+a轉化為線性回歸直線方程z=b【解答過程】令zi=logx=16所以b=i=16所以z=x?1，即y所以當x=7時，y=故選：C.8．（3分）（2022·高二單元測試）某企業推出了一款新食品，為了解每單位該食品中所含某種營養成分x（單位：克）與顧客的滿意率y的關系，通過調查研究發現可選擇函數模型y=1100ekx+c來擬合營養成分含量x/克12345ln(100y)4.344.364.444.454.51可求得y關于x的回歸方程為（

）A．y=1100C．y=e0.043x+4.291【解題思路】根據題意可將函數模型y=1100ekx+c化簡后兩邊同時取對數可得ln(100y)=kx+c【解答過程】解析：由y=1100ekx+c得由表中數據可知x=1+2+3+4+55=3，對于A，y=1100e0.043x+4.291化簡變形可得100y=e0.043x+4.291，兩邊同時取對數可得對于B，y=1100e0.043x?4.291化簡變形可得100y=e0.043x?4.291，兩邊同時取對數可得，對于C，y=e0.043x+4.291，兩邊同時取對數可得lny=0.043x+4.291對于D，y=e0.043x?4.291，兩邊同時取對數可得lny=0.043x?4.291故選：A.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022秋·山東東營·高三階段練習）已知變量y與x具有線性相關關系，統計得到6組數據如下表：x247101522y8.19.41214.418.524若y關于x的線性回歸方程為y=0.8x+a，則（A．變量y與x之間正相關 B．yC．a=6.8 D．當x=12時，y【解題思路】根據回歸方程可判斷選項A，由得到的6組數據可計算樣本點中心，可判斷B，再根據回歸直線過樣本點中心可判斷C，進而可判斷D.【解答過程】由y關于x的線性回歸方程為y=0.8x+a，可知變量y與由表中數據可知xy=因此樣本點中心為(10,14.4)，將其代入回歸方程y=0.8x+a可得因此，y關于x的線性回歸方程為y=0.8x+6.4，將x=12代入回歸方程可得，y即當x=12時，y的估計值為16；所以D錯誤；故選：AB.10．（4分）（2023秋·江蘇無錫·高三期末）已知由樣本數據xi,yii=1,2,3,?,10組成的一個樣本，得到經驗回歸方程為y=2x?0.4，且x=2，去除兩個樣本點?2,1A．相關變量x，y具有正相關關系B．新的經驗回歸方程為yC．隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小D．樣本4,8.9的殘差為?0.1【解題思路】根據線性回歸方程的求法、意義可判斷ABC，再由殘差的概念判斷D.【解答過程】i=110xi=20，x新平均數y新平均數18×10×3.6=4.5，∴4.5=3×2.5+b，新的線性回歸方程y=3x+b，x，新的線性回歸方程：y=3x?3由線性回歸方程知，隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度恒定，C錯；x=4，y=9，8.9?9=?0.1故選：ABD．11．（4分）（2023·全國·高三專題練習）自然環境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風速和海拔等方面的改變，都將導致大氣壓發生相應的變化，其中以海拔的影響最為顯著．下圖是根據一組觀測數據得到海拔6千米～15千米的大氣壓強散點圖，根據一元線性回歸模型得到經驗回歸方程為y1=?4.0x+68.5，決定系數為R12=0.99；根據非線性回歸模型得到經驗回歸方程為yA．由散點圖可知，大氣壓強與海拔高度負相關B．由方程y1C．由方程y1=?4.0x+68.5可知，樣本點11,22.6D．對比兩個回歸模型，結合實際情況，方程y2【解題思路】根據散點圖即可得出A項；根據回歸方程的含義可判斷B項；根據殘差計算公式求出殘差，可判斷C項；根據實際大氣壓強不能為負，可判斷D項.【解答過程】對于A項，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強越低，所以大氣壓強與海拔高度負相關，故A項正確；對于B項，回歸直線得到的數據為估計值，而非精確值，故B項錯誤；對于C項，當x=11時，y1=?4.0×11+68.5=24.5，又由散點圖知觀測值為22.6，所以樣本點11,22.6的殘差為對于D項，隨著海拔高度的增加，大氣壓強越來越小，但不可能為負數，因此方程y2故選：ACD.12．（4分）（2023·重慶渝中·高三階段練習）小明在家獨自用下表分析高三前5次月考中數學的班級排名y與考試次數x的相關性時，忘記了第二次和第四次月考排名，但小明記得平均排名y=6，于是分別用m＝6和m＝8得到了兩條回歸直線方程：y=b1x+a1，y=b2x+a2，對應的相關系數分別為rx12345y10m6n2（附：b=i=1nxA．r1<r2 B．s【解題思路】根據表格中的數據和最小二乘法、相關系數的計算公式分別計算當m=6、m=8時的b,a、相關系數(r)和方差(【解答過程】當m=6時，x=1+2+3+4+55則i=15xii=15xii=1=(1?3)(10?6)+(2?3)(6?6)+(3?3)(6?6)+(4?3)(6?6)+(5?3)(2?6)=?16，i=1=(1?3)所以b1得a1r1s1同理，當m=8時，b2=?2,a所以r1故選：BD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）變量X與Y相對應的5組數據和變量U與V相對應的5組數據統計如表：X1011.311.812.513Y12345U1011.311.812.513V54321用b1表示變量Y與X之間的回歸系數，b2表示變量V與U之間的回歸系數，則b1與b2的大小關系是b1>【解題思路】根據回歸系數幾何意義得b1【解答過程】因為Y與X之間正增長，所以b因為V與U之間負增長，所以b因此b1故答案為：b114．（4分）（2023·全國·模擬預測）某農業科研所在5塊面積相同的長方形試驗田中均種植了同-一種農作物，每一塊試驗田的施肥量x（單位：kg）與產量y（單位：kg）之間有如下關系：施肥量x/kg2040506080產量y/kg600800120010001400已知y與x滿足線性回歸方程y=13x+a，則當施肥量為80kg時，殘差為【解題思路】根據回歸直線方程的特點，計算樣本中心值，即可求得a，得回歸方程后進行估計可得，當x=80時，估計值，從而可得殘差的數值.【解答過程】由題意得x=20+40+50+60+805=50，y=600+800+1200+1000+14005則當x=80時，y=13×80+350=1390，故殘差為1400?1390=10故答案為：10.15．（4分）（2022·高二課時練習）2022年初以來，5G技術在我國已經進入高速發展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升，某手機商城統計了近5個月來5G手機的實際銷量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份編號x12345銷量y/千部37104a196216若y與x線性相關，且求得線性回歸方程為y=45x+5a=147；②y與x正相關；③y與x的相關系數為負數；④7月份該手機商城的5G手機銷量約為36.5萬部．其中正確的是①②．（把正確的序號填在橫線上）【解題思路】將月份編號的平均數代入線性回歸方程，則可計算出銷量的平均數，利用總銷量可得a值；由回歸方程中的x的系數為正可知，y與x正相關；將x=7代入，可得7月份該手機商城的5G手機銷量．【解答過程】由表中數據，計算得x=1+2+3+4+55=3于是得37+104+a+196+216=140×5，解得a=147，則①正確，由回歸方程中的x的系數為正可知，y與x正相關，且其相關系數r>0，則②正確，③錯誤，7月份時，x=7，y=32（萬部），則④故答案為：①②.16．（4分）（2023·高二單元測試）在新冠疫情政策改變后，某社區統計了核酸檢測為陽性的人數，用x表示天數，y表示每天核酸檢測為陽性的人數，統計數據如下表所示：x1234567y611213466101196根據散點圖判斷，核酸檢測為陽性的人數y關于天數x的回歸方程適合用y=c?dy=3.31×100.25參考數據：設vi=lgyi，參考公式：對于一組數據u1,v1，u2,v2，…【解題思路】由題可得lgy=【解答過程】由y=c?dx，可得設v=lgy，則因為x=1+2+3+4+5+6+77i=17所以lgdlgc所以lgy=v=0.52+0.25x所以y=10故答案為：y=3.31×10四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022春·山東·高二階段練習）某大學一男生統計了本宿舍7名舍友的體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）的數據，見下表：姓名呂聰梁力李澤文張天哲王碩武勇商寶清身高161175169178173168180體重52625470665773(1)若根據表中數據計算得到y關于x的線性回歸方程為y=1.15x+a，求(2)為判斷（1）中回歸方程的擬合效果，請求出相關指數R2參考公式及數據：R2=1?i=1【解題思路】（1）利用回歸直線方程過樣本點的中心，根據表格，分別求出x，y，代入回歸方程即可求解.（2）根據表中數據，分別求出i=17yi【解答過程】(1)由題知，x=y=將172,62代入回歸方程，得a=(2)i=17因為y=1.15x?135.8，所以yi=17所以R2故相關指數R2的值約為0.8718．（6分）（2023·四川南充·四川省模擬預測）南中數學教研室對高二學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析，所得數據如下表所示：x681012y2356(1)請畫出上表數據的散點圖;(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y(3)根據（2）中求出的線性回歸方程，預測記憶力為11的學生的判斷力．(參考公式：b=【解題思路】（1）根據表格直接畫出散點圖即可；（2）根據公式分別計算出b,（3）根據（2）中的回歸方程，將x=11代入計算，即可得到結果.【解答過程】（1）散點圖如下：（2）i=44x=i=44∴b則a=故線性回歸方程為y（3）由（2）中線性回歸方程可知，當x=11時，y=0.7×11?2.3=5.4，所以預測記憶力為11的同學的判斷力約為5.4.19．（8分）（2022春·陜西西安·高二期中）2021年2月25日，在全國脫貧攻堅總結表彰大會上，習近平總書記莊嚴宣告“經過全黨全國各族人民共同努力，在迎來中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰取得了全面勝利，……，完成了消除絕對貧困的艱巨任務.”從已經脫貧的家庭中隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元）的數據資料，算得i=110xi=80，i=110(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=(2)若該居民區某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄.附.線性回歸方程y=bx+a中，b=i=1nxi【解題思路】（1）結合已知數據，根據公式計算即可；（2）根據（1）中的回歸方程計算x=7的情況即可【解答過程】（1）解：由題知x=110所以，由已知數據得b=a=所以，家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=0.3x?0.4（2）解：因為家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y=0.3x?0.4所以，該居民區某家庭月收入為7千元，即x=7時，y=0.3×7?0.4=1.7千元，所以，根據回歸方程，可預測該家庭的月儲蓄1.7千元.20．（8分）（2023秋·四川綿陽·高二期末）如圖是某采礦廠的污水排放量y（單位：噸）與礦產品年產量x（單位：噸）的折線圖：(1)依據折線圖計算x，y的相關系數r，并據此判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關系?（若r>0.75(2)若可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請建立y關于x的線性回歸方程，并預測年產量為20噸時的污水排放量.相關公式：r=回歸方程y=bx+a中，【解題思路】（1）代入數據，算出相關系數r，將其絕對值與0.75比較，即可判斷可用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）先求出回歸方程，求出當x=20時的值，即為預測值．【解答過程】（1）x=1+2+3+4+55因為i=15xi?x所以r=i=1所以可用線性回歸模型擬合y與x的關系.（2）∵b=x=15∴a=8?1.9×3=2.3∴y關于x的線性回歸方程為y=1.9x+2.3將x=20代入線性回歸方程可得，y=1.9×20+2.3=40.3∴當年產量為20（噸）時，污水排放量為40.3（噸）.21．（8分）（2023·全國·高三專題練習）為研究質量x(單位：g)對彈簧長度y(單位：cm)的影響，對不同質量的6個物體進行測量，數據如下表：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求回歸直線方程；(2)求出R2并說明回歸模型擬合的程度；(3)進行殘差分析.【解題思路】（1）代入回歸系數公式計算回歸系數，得出回歸方程；（2）根據公