必修四基礎練習PAGEPAGE60第一章三角函數第一節周期現象例1、地球圍繞著太陽轉，地球到太陽的距離隨時間的變化時周期性嗎？MMNA例2、如圖是鐘擺的示意圖．擺心到鉛垂線的距離記為，鐘擺偏離鉛垂線的角記為．根據物理知識，與都隨時間的變化而周期性變化．AA水面例3、如圖，是水車的示意圖，水車上點到水面的距離為．假設水車5min轉一圈，那么的值每經過5min就會重復出現，因此距離隨時間的變化規律也具有周期性．習題1-11．設鐘擺每經過1．8s回到原來的位置．在例2圖示中鐘擺達到最高位置時開始計時，經過1min后，請你估計鐘擺在鉛垂線的左邊還是右邊．2．一個質點在平衡位置點附近振動．如果不計阻力，可將這個振動看作周期運動．它離開點向左運動，4s后第1次經過點，再過2s第2次經過點．該質點再過多長時間第3次經過點？第3題圖3．游樂場中的摩天輪有8個座艙，每個座艙最多乘4人，每20min轉一圈．請估算8h內最多有多少人乘坐．第3題圖第2題圖第2題圖第二節角的概念的推廣例1、判定下列各角是第幾象限角：⑴；⑵；⑶．例2、在直角坐標系中，寫出終邊在軸上的角的集合（用的角表示）．例3、寫出與角終邊相同的角的集合，并把中適合不等式的元素寫出來．習題1-21．銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題．2．在范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角．⑴；⑵；⑶；⑷．3．寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來．⑴；⑵；⑶；⑷．4．請用算術四則運算的道理說明求與已知角終邊相同的最小正角（即范圍內）的方法．第三節弧度制例1、把化成弧度．例2、把化成度．習題3-11．把下列各角從度化成弧度．⑴；⑵；⑶．2．把下列各角從弧度化成度．⑴；⑵；⑶；⑷．3．時間經過，時針、分針各轉了多少度？各等于多少弧度？4．用弧度制表示終邊在軸上的角的集合．5．求下列各式的值（可以用計算器）．⑴；⑵；⑶；⑷．6．分別用角度制、弧度制下的弧長公式，計算半徑為1m的圓中，的圓心角所對的弧的長度．7．把下列各角化成間的角加上（）的形式，并指出它們是哪個象限的角．⑴；⑵；⑶；⑷．8．扇形弧長為18Cm，半徑為129．如圖所示，試利用弧度制證明扇形面積公式，其中是扇形的弧長，是圓的半徑．第9題圖第9題圖

第四節正弦函數與余弦函數的定義與誘導公式4．1任意角的正弦函數、余弦函數的定義例1、在直角坐標系的單位圓中，．⑴畫出角；⑵求出角的終邊與單位圓的交點坐標；⑶求出角的正弦函數值、余弦函數值．例2、已知角終邊上一點，求角的正弦函數值、余弦函數值．4．2單位圓與周期性練習1．請回答下列問題：⑴函數滿足，這個函數是不是以為周期的周期函數？⑵函數是周期函數，且，為什么不是它的周期函數？⑶請用你自己的語言解釋周期函數和周期的概念．2．在直角坐標系的單位圓中，已知角的終邊上異于原點的任意一點，則角終邊與單位圓的交點坐標是．3．在直角坐標系的單位圓中，作出下列各角，寫出它們的正弦函數值、余弦函數值．⑴；⑵；⑶；⑷．xyOPGxyOPGFQ第4題圖⑴點的坐標是，點的坐標是；⑵若點的坐標是，那么（弧度），點的坐標是．OxyPOxyP第5⑴題⑴如圖所示，點的坐標是，角的正弦函數值是，余弦函數值是；⑵角的正弦函數值是，余弦函數值是，點的坐標是；⑶，；⑷，．4．3單位圓與誘導公式例3、求下列各角的三角函數值：⑴；⑵； ⑶．練習11．在單位圓中，角的終邊與單位圓交于點，寫出點關于軸、軸和原點對稱的點的坐標，并分別求角，，，的正弦函數值、余弦函數值．2．利用單位圓，求適合下列條件的角的集合．⑴；⑵．例4、求下列函數值：⑴； ⑵； ⑶．例5、化簡：．練習21．在單位圓中，已知角的終邊與單位圓的交點是，分別求角，，的正弦函數值、余弦函數值．2．已知，分別求下列函數值：⑴； ⑵； ⑶；⑷；⑸．3．已知，求的值．4．化簡：⑴；⑵．習題4-1A組1．已知角的終邊經過下列各點，求角的正弦函數值、余弦函數值．⑴；⑵；⑶；⑷．2．請用單位圓和誘導公式兩種方法判斷下列三角函數值的符號．⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．3．已知是角終邊上一點，且，求的值．4．在表中空白處填上適當的數值．xx0．38275．利用單位圓和，，，，的正弦函數值、余弦函數值，可以求出區間內哪些角的正弦函數值、余弦函數值？并求出這些角的正弦函數值、余弦函數值．6．角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊在函數（）的圖像上．⑴求和的值；⑵能否求出角（），，，，的正弦函數值、余弦函數值？若能，求出值；若不能請說明理由．7．計算：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸．8．化簡：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸．B組1．已知（），求的值．2．已知，求的取值范圍．3．利用三角函數定義證明：．4．利用單位圓討論函數，的符號．第五節正弦函數的性質與圖像5．1從單位圓看正弦函數的性質5．2正弦函數的圖像例1、用五點法畫出下列函數在區間上的簡圖．⑴；⑵．練習用五點法畫出下列函數在區間上的簡圖．⑴；⑵；⑶．5．3正弦函數的性質例2、利用五點法畫出函數的簡圖，并根據圖像討論它的性質．練習1．觀察正弦曲線，寫出滿足的區間．2．函數在區間上是增加的，在區間上是減少的；當時，取最大值；當時，取最小值．3．函數，當時，在區間上是增加的，在區間上是減少的；當時，取最大值；當時，取最小值．習題1-5A組1．選擇題．⑴，的圖像與直線的交點個數為（）A．0B．1C．2D．⑵當時，函數（）A．在上是增加的，在上是減少的；B．在上是增加的，在和上是減少的；C．在上是增加的，在上是減少的；D．在和上是增加的，在上是減少的2．畫出下列函數的簡圖，并根據圖像和解析式討論函數性質．⑴（）；⑵（）3．求是下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：⑴；⑵．4．求下列函數的定義域：⑴；⑵．5．求下列函數的單調區間：⑴；⑵．6．下列哪些函數的奇函數？哪些是偶函數？哪些既不是奇函數也不是偶函數？⑴；⑵．7．正弦函數在整個定義域內是增函數嗎？為什么？8．請運用正弦函數圖像總結正弦函數的性質及誘導公式．xy1xy1-1第1題1．與圖中曲線對應的函數是（）A．B．C．D．2．請畫出函數的圖像，你從圖像中發現此函數具備哪些性質？（可以利用五點法畫圖，也可以借助信息技術幫助你畫圖．）第六節余弦函數的圖像與性質6．1余弦函數的圖像6．2余弦函數的性質例、畫出函數的簡圖，根據圖像討論函數的性質．練習1．觀察余弦函數曲線，寫出滿足的區間．2．根據單位圓中，點隨的變化而變化，說明余弦函數的性質．3．畫出下列函數的簡圖：⑴（）；⑵（）；⑶（）．4．函數在區間上是增加的，在區間上是減少的；當時，取最大值；當時，取最小值．5．函數，當時，在區間上是增加的，在區間上是減少的；當時，取最大值；當時，取最小值．習題1-6A組1．選擇題．⑴，的圖像與直線的交點個數為（）A．0B．1C．2D．⑵當時，函數（）A．在，上是增加的，在上是減少的B．在上是增加的，在上是減少的C．在和上是減少的，在上是增加的D．在上是增加的，在上是減少的⑶下列命題中正確的是（）A．函數在上是減少的B．函數在上是減少的C．函數在上是減少的D．函數在上是減少的⑷函數和都是增加的區間是（）A．（）B．（）C．（）D．（）2．畫出下列函數的簡圖，并根據圖像和解析式討論函數性質．⑴（）；⑵（）．3．求使下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并分別寫出最大值、最小值：⑴；⑵．4．求下列函數的定義域：⑴；⑵．5．求下列函數的單調區間：⑴；⑵．6．下列函數哪些是奇函數？哪些是偶函數？哪些既不是奇函數也不是偶函數？⑴；⑵．7．余弦函數在整個定義域內是減函數嗎？為什么？8．請運用余弦函數圖像總結余弦函數的性質及誘導公式．B組1．在同一直角坐標系內畫正弦函數和余弦函數在區間上的圖像，并回答下列問題：⑴寫出滿足的的值；⑵寫出滿足的的取值范圍；⑶寫出滿足的的取值范圍；⑷當時，分別寫出滿足，，的的集合．2．請畫出函數的圖像，你從圖中發現此函數具備哪些性質？（可以利用五點法畫圖，也可以借助信息技術幫助你畫圖．）第七節正切函數7．1正切函數的定義7．2正切函數的圖像與性質7．3正確函數的誘導公式例1、若，借助三角函數定義求角的正弦函數值和余弦函數值．例2、求的值．練習1．觀察正切曲線，寫出滿足下列條件的的取值范圍．⑴；⑵；⑶．2．求函數的定義域．3．⑴正切函數在整個定義域內是增加的嗎？為什么？⑵正切函數會不會在某一區間內是減少的？為什么？4．不求值，比較下列各組中兩個正切函數值的大小．⑴和；⑵和．習題1-7A組1．已知是角終邊上一點，且，求的值．2．若角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊落在直線上，且，求，，的值．3．確定下列式子的符號：⑴；⑵；⑶；⑷．4．已知角的終邊經過下列各點，求，，的值．⑴；⑵；⑶．5．化簡：⑴；⑵；⑶；⑷．6．求下列三角函數值：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽．7．化簡：⑴；⑵；⑶．8．已知，且，求的值．9．已知，，求的值．10．求值：．B組1．設是銳角，利用單位圓證明：⑴；⑵．2．利用函數圖像和單位圓兩種方法，分別求出的取值范圍．⑴；⑵；⑶．3．化簡：．4．在同一坐標系中，畫出函數和，的圖像，依據圖像回答以下問題：⑴寫出這兩個函數圖像交點的坐標；⑵寫出使成立的的取值范圍；⑶寫出使成立的的取值范圍；⑷寫出使成立的的取值范圍；⑸寫出使這兩個函數具有相同的單調性的區間．第八節函數的圖像例1、作函數和的簡圖，并說明它們與函數的關系．例2、畫出函數和的簡圖，并說明它們與函數的關系．練習11．函數的圖像與函數的圖像有什么關系？2．函數的圖像與函數的圖像有什么關系？3．利用“五點法”作出下列函數的簡圖，并分別說明每個函數的圖像與函數的圖像有什么關系．⑴；⑵；⑶；⑷．例3、畫出函數和的簡圖，并說明它們與函數的關系．例4、畫出函數的簡圖．練習21．函數的周期是多少？它的圖像與函數的圖像有什么關系？2．作出下列函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖．⑴；⑵；⑶；⑷．3．選擇題．⑴為了得到函數的圖像，只需將函數圖像上的每個點（）A．橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變D．縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變⑵為了得到函數的圖像，只需將的圖像上每一個點（）A．橫坐標向左平移個單位長度B．橫坐標向右平移個單位長度C．橫坐標向左平移個單位長度D．橫坐標向右平移個單位長度例5、求下列函數的最大值、最小值，以及達到最大值、最小值時的集合．⑴；⑵；⑶．例6、⑴求函數的遞增區間；⑵求函數的遞減區間．練習31．求下列函數的最小值以及取最小值時的值的集合．⑴；⑵．2．求下列函數的周期．⑴；⑵；⑶；⑷．3．是否成立？如果成立，能否說是函數的周期？為什么？4．填空題．⑴函數（）的遞減區間是；⑵函數（）的遞增區間是；⑶函數（）的遞增區間是；5．判斷下列函數的奇偶性．⑴（）；⑵（）．習題1-8A組1．選擇題．⑴為了得到函數的圖像，只需將余弦函數圖像上各點（）A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度⑵為了得到函數的圖像，只需將函數的圖像上各點（）即可．A．橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變⑶將函數的圖像上各點向右平行移動個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的倍，則所得到的圖像的函數解析式是（）A．B．C．D．2．畫出下列函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖：⑴；⑵；⑶；⑷．3．不畫圖，寫出下列函數的振幅、周期和初相，并說明這些函數的圖像可以由正弦曲線經過怎樣的變換得到．⑴；⑵；⑶；⑷．4．將函數的圖像作怎樣的變換可以得到函數的圖像？5．求下列函數的單調區間：⑴；⑵；⑶；⑷．6．求下列函數的最大值、最小值以及達到最大（小）值時的值的集合：⑴；⑵．B組1．函數（）一個周期的圖像如圖所示，試確定的值．xxy4O第1題xyO21第2題2．xyO21第2題A．B．C．D．3．有以下四種變換方式：①向左平行移動個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的；②向右平行移動個單位長度，再將每個點的橫坐標縮短為原來的；③每個點的橫坐標縮短為原來的，再向右平行移動個單位長度；④每個點的橫坐標縮短為原來的，再向左平行移動個單位長度．其中能將函數的圖像變換為函數的圖像的是（）A．①和④B．①和③C．②和④D．②和③4．用“描點法”畫函數，的圖像，依據圖像討論函數的性質．5．用“五點法”畫函數，的圖像，是否能求出該函數圖像與直線，及軸所圍成的圖像的面積？第九節三角函數的簡單應用例水車問題水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，如圖是一個水車工作的示意圖，它的直徑為，其中心（即圓心）距水面，如果水車逆時針勻速旋轉，旋轉一圈的時間是．在水車輪邊緣上取一點，點距水面的高度為（）．⑴求與時間的函數解析式，并作出這個函數的簡圖．⑵討論如果雨季河水上漲或旱季河水流量減少時，所求得的函數解析式中的參數將會發生哪些變化．若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？練習某昆蟲種群數量月日低到只，當年月日高達只，其數量在這兩個值之間按正弦曲線規律改變．⑴求出種群數量關于時間的函數解析式，以月為單位；⑵畫出種群數量關于時間的函數圖像．習題1-9A組1電流隨時間變化的關系式是，，設，．⑴求電流變化的周期；⑵當，，，，（單位：）時，求電流．第2題2．一個單擺如圖所示，小球偏離鉛垂線方向的角為（），作為時間的函數，滿足關系．求：第2題⑴最初時（）的值是多少？⑵單擺擺動的頻率是多少？⑶經過多長時間單擺完成次完整擺動？3．如圖，掛在彈簧下方的小球做上下振動，小球在時間（）時相對于平衡位置（即靜止的位置）的高度（單位：），由下列關系式決定：第3題，．第3題以橫軸表示時間，縱軸表示高度，作出這個函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖，并回答下列問題：⑴小球開始振動（）時的位置在哪里？⑵小球位于最高、最低位置時的值是多少？⑶經過多少時間小球振動一次（即周期是多少）？⑷小球每能往復振動多少次（即頻率是多少）？123456789101112151234567891011121520253035氣溫/（）時間/月第4題B組從一塊圓心角為，半徑為的扇形鋼板上切割一塊矩形鋼板．請問怎樣設計切割方案，才能使矩形面積最大？復習題一A組1．時鐘的分針長，從到，分針轉過的角的弧度是多少？分針掃過的扇形面積是多少？分針尖端所走過的弧長是多少？（取，計算結果保留兩位有效數字）2．確定下列各式的符號：⑴；⑵．3．已知角的終邊在函數的圖像上，求，和．4．計算：⑴；⑵；（可以用計算器）⑶；⑷．5．求下列函數的定義域：⑴；⑵；⑶；⑷．6．下列各式能否成立？說明理由．⑴；⑵；⑶；⑷．7．求下列函數的最大值、．最小值以及對應的值的集合：⑴；⑵；⑶．8．已知，分別求適合下列各條件的的集合：⑴；⑵．9．在區間中，求出：⑴使與都是減少的區間；⑵使是增加的而是減少的區間．10．求下列函數的單調區間：⑴；⑵．11．判斷下列函數的奇偶性：⑴；⑵；⑶；⑷．12．不作圖，寫出下列函數的振幅、周期、初相，并說明怎樣由正弦曲線得到它們的圖像：⑴；⑵．13．比較下列各組函數值的大小：⑴和；⑵和；⑶和．B組1．已知終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：⑴；⑵；⑶；⑷．2．一個扇形的弧長和面積的數值都是，求這個扇形中心角的度數．3．求下列函數的值域：⑴；⑵；⑶．4．利用單位圓和三角函數線，分別求出使下列各組條件成立的的集合：⑴；⑵．5．函數（）在一個周期內，當時，取到最小值；當時，取到最大值．請求出此函數的解析式．6．回顧本章的學習，你對引入弧度制的必要性和引入弧度制后帶來的好處有什么認識，請通過實例談談你的體會．第二章平面向量第一節從位移、速度、力到向量1．1位移、速度和力1．2向量的概念ABCDEF例如圖，依次是等邊三角形的邊的中點，在以ABCDEF⑴找出與向量相等的向量；⑵找出與向量共線的向量．練習1．表示小船的下列位移（用的比例尺）：⑴由地向東北方向航行到達地；⑵由地向西偏北方向航行到達地；⑶由地向正南方向航行到達地．2．用有向線段表示兩個相等的向量，這兩個有向線段一定重合嗎？3．在直角坐標系中，有三點，，．請用有向線段分別表示到，到，到的位移．習題2-11．選擇適當的比例尺，用有向線段表示下列向量：⑴終點在起點的正東方向處；⑵終點在起點的正西方向處；⑶終點在起點的東北方向處；⑷終點在起點的西南方向處；2．用有向線段表示下列物體運行的速度：⑴向正東方向勻速行駛的汽車在內的位移是（用的比例尺）；⑵做自由落體運動的物體在末的速度（用的長度表示速度為）．3．用有向線段分別表示一個方向向上，大小為的力和一個方向向下，大小為的力（用的長度表示力的大小為）．4．如圖，設是正六邊形的中心，在以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，第4題⑴分別寫出與圖中向量，，相等的向量；第4題⑵分別寫出與圖中向量，，共線的向量．第二節從位移的合成到向量的加法2．1向量的加法例1、輪船從港沿東偏北方向行駛了（海里）到達處，再由處沿正北方向行駛到達處．求此時輪船與港的相對位置．例2、兩個力，同時作用在一個物體上，其中的大小為，方向向東，的大小為，方向向北，求它們的合力．例3、在小船過河時，小船沿垂直河岸方向行駛的速度為，河水流動的速度，試求小船過河實際航行的速度．練習1．如圖，已知向量，，用向量加法的三角形法則作出向量．⑴⑴⑵⑶第1題2．如圖，已知向量，，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．⑴⑴⑵第2題3．小船向正東方向行駛了，又向正北方向行駛了．求小船兩次位移的合位移．4．填空：⑴；⑵．2．2向量的減法例4、如圖，已知向量，求作向量．例5、已知，，且，求．練習1．如圖，已知向量，求作．第1題第1題2．填空：⑴；⑵；⑶；⑷．習題2-2A組第2題1．已知向量，，，分別表示下列位移：“向北”“向南”“向西”“向東”．請說明向量，，，，的意義．第2題2．已知圖中電線與天花板的夾角為，電線所受拉力；繩與墻壁垂直，所受拉力．求和的合力．3．如圖，已知向量，，不共線，求作向量．4．如圖，已知向量，，不共線，求作向量．第第4題第3題第3題5．化簡：⑴；⑵；⑶．6．若，那么三點是否一定是一個三角形的三個頂點？B組第1題1．如圖，在一場足球比賽中，中場隊員在點位置得球，將球傳給位于點的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前．球到達點時前插的中場隊員正好趕到，直接射門得分．若，，第1題⑴求：中場隊員從傳球至射門這一過程中足球的位移；⑵這一過程中中場隊員的位移與球的位移是否相等？2．雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是．現在有風，風使雨滴以的速度水平向東移動，那么雨滴將以多大的速度著地？這個速度的方向怎樣？3．小汽艇在靜水中的速度是，河水的流速是．如果汽艇向著垂直河岸的方向行駛，小汽艇在河水中的實際運動速度是多大？方向怎樣？要使小汽艇沿垂直河岸方向到達對岸碼頭，船頭方向又應怎樣？4．如圖，在□中，向量是哪兩個向量的和，哪兩個向量的差？第4題第4題第三節從速度的倍數到數乘向量3．1數乘向量例1、設，為向量，計算下列各式：⑴；⑵；⑶，（為實數）．例2、如圖，已知，，試判斷與是否共線．例3、如圖，是平面內三個點，且與不重合，是平面內任意一點，求證：若點在直線上，則存在實數，使得．練習1．若向量表示小船沿東北方向行駛了，則向量和的意義是什么？2．任作一向量，再作向量，．3．計算下列各式：⑴；⑵．4．判斷下列各小題中的向量，是否共線：⑴，；⑵，；⑶，．5．已知向量與不共線，求作向量．3．2平面向量基本定理例4、如圖，質量為的物體沿傾斜角的斜面勻速下滑，求物體受到的滑動摩擦力和支持力．（）例5、如圖，在□中，分別是的中點，，，用，表示和．練習第2題1．如圖，已知向量和不共線，求作向量．第2題第1題第1題2．如圖，已知分別是矩形的邊，的中點，與交于點，若，，用，表示．習題2-3A組1．化簡下列各式：⑴；⑵；⑶．2．判斷下列向量，是否共線（其中向量與不共線）．⑴，；⑵，；⑶,；⑷，．3．一架飛機沿仰角的方向以的速度起飛．飛機起飛時沿水平方向和豎直方向的速度分別是多少？4．根據下列條件，分別判斷四邊形的形狀．⑴；⑵，；第5題⑶；⑷，．第5題5．如圖，是中邊的中點，，．⑴試用，表示；⑵若點是的重心，能否用，表示；⑶若點是的重心，那么6．如圖，在□中，設對角線，，試用，表示，．第7題第6題7．如圖，用兩根繩子把質量為的物體吊在水平橫桿上，，．求物體平衡時，和處所受力的大小．（繩子的質量忽略不計，）第7題第6題B組1．平拋物體運動的初速度是，當物體經過的水平距離是時，它的高度下落了多少？物體運動的速度大小是多少？()2．用向量方法證明：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．3．試利用圖形解釋平面向量基本定理，這個定理的作用是什么？談談你的體會．第四節平面向量的坐標4．1平面向量的坐標表示例1、在平面內以點的正東方向為軸正向，正北方向為軸的正向建立直角坐標系．質點在平面內做直線運動．分別求下列位移向量的坐標：⑴向量表示沿東北方向移動了個長度單位；⑵向量表示沿西偏北方向移動了個長度單位；⑶向量表示沿東偏南方向移動了個長度單位．4．2平面向量線性運算的坐標表示例2、已知，．求，，的坐標．例3、已知點，，，求□的頂點的坐標．4．3向量平行的坐標表示例4、是坐標原點，，，,當為何值時，三點共線？練習1．已知，，求與的坐標．2．已知，，求與的坐標．3．已知兩點的坐標，求，的坐標：⑴，；⑵，．4．已知作用在原點的三個力：，，，求這些力的合力的坐標．5．判斷下列向量是否平行：⑴，；⑵，．6．已知三點的坐標分別為，，，判斷向量與是否共線．習題2-4A組1．已知，，求，，的坐標．2．已知向量，，，求，并用基底向量將該向量表示出來．3．已知，，求的坐標．4．在平面內以點的正東方向為軸正向，正北方向為軸正向建立直角坐標系．質點在平面內做直線運動，分別求下列位移向量的坐標：⑴向量表示沿東偏北移動了個長度單位；⑵向量表示沿西北方向移動了個長度單位；⑶向量表示沿西偏南移動了個長度單位；⑷向量表示沿東南方向移動了個長度單位；5．作用于原點的三個力，，平衡．已知，，求．6．判斷下列三點是否共線：⑴，，；⑵，，；⑶，，．7．已知兩點，，求與共線的單位向量的坐標．B組1．已知，，，，分別是，的中點，是的中點，與交于．求．2．若點，，共線，求點的坐標．3．怎樣用坐標表示平面向量基本定理？4．用坐標表示平面向量，對于向量的運算及向量關系的研究帶來什么變化？談談你的體會．第五節從力做的功到向量的數量積例1、已知，，且與的夾角，求．練習11．已知向量與共線，且，，求．2．已知向量與的夾角，且，，求．例2、在中，設邊的長度分別為，證明：例3、證明菱形的兩條對角線互相垂直．例4、已知單位向量，的夾角為，求向量，的夾角．練習21．已知，，與的夾角，求．2．已知，，，求與的夾角．3．計算下列各式：⑴；⑵．4．如果，能否推出？為什么？5．是否成立？為什么？習題2-5A組1．求下列向量的模以及在這些向量方向上的單位向量．⑴；⑵；⑶；⑷由點，所構成的向量．2．已知，，與的夾角為，求：⑴；⑵；⑶；⑷．3．設，，，向量與的夾角為，向量與的夾角為，計算：第6題⑴；⑵．第6題4．已知向量與共線，且，，求．5．設，，，求與的夾角．6．如圖，在等腰直角三角形中，斜邊，求．7．已知非零向量，滿足，且與互相垂直．求證．B組1．已知，，，求與的夾角．2．用向量方法證明：等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊．第3題3．質量的物體，受到與水平方向夾角為的斜向上拉力的作用，沿水平面移動了的距離（如圖所示）．已知，物體受到的摩擦力是它與水平面間壓力的倍，求力對物體做的功．（取，，）第3題第六節平面向量數量積的坐標表示例1、已知，，求向量與的夾角的余弦值．例2、求以點為圓心，為半徑的圓的方程．例3、已知圓，求與圓相切于點的切線方程．例4、已知直線和，求直線和的夾角．練習1．已知，，求：⑴；⑵與的夾角的大小．2．已知，，求證：．習題2-6A組1．判斷下列各對向量是否垂直：⑴，；⑵，；⑶，；⑷，．2．已知三點，，，求證：是直角三角形．3．已知兩點，，求滿足，的點的坐標．4．已知，，且與的夾角是，求的值．5．已知三點，，，求證：是銳角三角形．6．已知直線，和，求直線和的夾角．B組1．已知向量，，求向量與的夾角．你能否不利用公式計算而直接判斷出與的夾角是多少？2．如何利用向量的數量積判斷兩個向量的夾角是銳角還是鈍角？平面向量的數量積有哪些用途？3．在中，，，根據下列條件求的值：⑴；⑵；⑶．4．已知點，，，求證：．5．已知點，，，．求證：四邊形是矩形．第6題6．如圖所示，已知，，試求以為直徑的圓的方程．第6題第七節向量應用舉例7．1點到直線距離公式求證：若是平面上一定點，它到直線的距離為：．例1、求點到直線的距離．練習1．求證：過點并且垂直于向量的直線方程是．2．已知三點，，，求經過點且與過兩點的直線垂直的直線方程．3．已知兩條直線，，如果，求的值．7．2向量的應用舉例例2、如圖，已知，，分別是的三條高，求證：，，交于同一點．例3、一架飛機從地向北偏西的方向飛行到達地，然后向地飛行．設地恰好在地的南偏西，并且兩地相距，求飛機從地到地的位移．例4、已知力與水平方向的夾角為（斜向上），大小為，一個質量為的木塊受力的作用在動摩擦因數的水平平面上運動了．問力和摩擦力所做的功分別為多少？（）練習1．試用向量方法證明“勾股定理”．2．已知均為單位向量，其中任何兩個向量的夾角均為，求證：．3．一輪船欲橫渡某條江，已知江水流速為，船的靜水速度為．⑴求輪船的航行方向；⑵若江面寬，求輪船到達對岸所需的時間．習題2-7A組1．已知向量，，，在的中線上任取一點，試用向量，，表示向量．2．設分別是四邊形對邊的中點，求證：．3．一個質量為的球從的高處落到一個水平板上又彈回到的高度．求在整個過程中重力對球所做的功．B組1．已知：為所在平面內一點，且滿足．求證：點是三條高線的交點．2．質量的木塊，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿傾斜角的光滑斜面向上滑行的距離（如圖所示）．⑴分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；⑵在這一過程中，物體所受各力對物體做的功的代數和是多少？第2題⑶求物體所受合外力對物體所做的功，它與物體所受各個力對物體做功的代數和之間有什么關系？第2題3．平面向量在幾何中有哪些應用？在利用平面向量解決物理問題時，應該包括哪些解題步驟？復習題二A組1．判斷題：⑴兩個長度相等的向量一定相等；（）⑵相等的向量起點必相同；（）⑶平行向量就是共線向量；（）⑷若向量的模小于的模，則；（）⑸質量、動量、功、加速度都是向量；（）⑹與共線，則四點必在一條直線上；（）⑺向量與平行，則與的方向相同或相反；（）⑻在中，；（）⑼若向量與有共同的起點，則以的終點為起點，以的終點為終點的向量等于；（）⑽若且，當時，則一定有，共線；（）⑾若，則或；（）⑿若，且，則；（）⒀向量在方向上的射影是一個模等于(是與的夾角)，方向與相同或相反的向量；（）⒁．（）2．選擇題：⑴在四邊形中，若,則四邊形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四邊形⑵已知向量，，，，若向量與共線，則（）A．B．C．D．或⑶已知，為兩個單位向量，下列四個命題中正確的是（）A．與相等B．如果與平行，那么與相等C．與共線D．如果與平行，那么或⑷已知兩個力，的夾角為，它們的合力大小為，合力與的夾角為，那么的大小為（）A．B．C．D．⑸已知向量表示“向東航行”，表示“向南航行”，則表示（）A．向東南航行B．向東南航行C．向東北航行D．向東北航行⑹河水的流速為，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度駛向對岸，則小船的靜水速度大小為（）A．B．C．D．3．填空題：⑴把所有單位向量的起點平移到一點，則其終點構成的圖形是；⑵已知，，則；⑶已知□的兩條對角線相交于點，以，為基底向量，則；⑷若，，且，則與的夾角為；⑸，是單位向量，且，則與的夾角為．第5題4．飛機從地向西北飛行到達地后，又從地向東飛行到達地，再從地向南偏東飛行到達地，求飛機從地飛回地的位移．第5題5．向量，如圖所示，化簡并作出．6．已知點，，，求□的頂點的坐標．7．已知，求與垂直的單位向量的坐標．8．已知，，當，滿足下列條件時，分別求的值：⑴；⑵⑶與的夾角為．9．已知，，且，求向量的坐標．10．已知，，若存在向量使得，，試求向量的坐標．第11題11．如圖所示，在細繩上作用著一個的力，與水平方向夾角為，細繩上掛著一個重物，使細繩的另一端與水平面平行，求物重是多少？第11題第12題12．如圖所示，有一端固定的細繩，在與水平面成角的方向上作用著一個的力，此時呈水平狀，而點所吊的砝碼靜止．求這個砝碼的質量是多少克？作用在方向上的力多大？（）第12題13．質量的物體，在的水平力作用下，由靜止開始在光滑水平面上運動了，求水平力在內對物體做的功．14．中，已知，，，試判斷的形狀．B組第1題1．如圖所示，在傾角為，高的斜面上，質量為的物體沿斜面下滑，物體受到的摩擦力是它對斜面壓力的倍，取．求物體由斜面頂端滑到底端的過程中，物體所受各力對物體所做的功．第1題2．已知向量，，，當時，求實數應滿足的關系式．3．已知，，與不共線，當且僅當為何值時，向量與互相垂直？4．求證：順次連接任意凸四邊形各邊中點，構成一個平行四邊形．5．試證直徑上的圓周角為直角．第三章三角恒等變形第一節同角三角函數的基本關系例1、已知，且在第三象限，求和。例2、已知，求和。例3、已知，求和。例4、已知，，求的值。練習11.已知，在第三象限，求，。2.已知，求，。3.已知，求，。4.已知，求：⑴；⑵。例5、化簡：。例6、化簡：。例7、求證：。練習21.化簡：⑴；⑵。2.求證：⑴；⑵。習題3-1A組1.⑴已知，在第四象限，求，的值；⑵已知，在第二象限，求，的值；⑶已知，求，的值；⑷已知，求，的值。2.已知，求的值。3.已知，求的值。4.已知，用表示和。5.化簡：⑴；⑵；⑶；⑷。6.求證：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹。7.已知，，（），求證：⑴；⑵。B組1.已知，求。2.已知，求。3.若在第三象限，化簡。4.化簡：。5.求證：⑴；⑵。6.同角三角函數的基本關系公式主要有哪些方面的用途，談談你的體會。第二節兩角和與差的三角函數2.1兩角差的余弦函數2.2兩角和與差的正弦、余弦函數例1、不查表，求，的值。例2、已知，，，，求，的值。練習1.等式一定成立嗎？舉例說明。等式一定成立嗎？為什么？2.求下列各式的值：⑴；⑵。3.求下列各式的值：⑴；⑵。4.已知，，求，的值。5.請用本節學過的公式驗證和推導誘導公式。⑴，；⑵；⑶；2.3兩角和與差的正切函數例3、已知，，其中，。⑴求；⑵求的值。例4、計算的值。例5、若，，求的值。練習1.求，的值。2.求下列各式的值：⑴；⑵。3.已知，，分別是第二、第三象限角，求，的值。4.已知，，，，求證：。習題3-2A組1.求下列函數值。，，，，，。利用已學過的三角函數公式，你還能求出哪些角的三角函數值