第四章、不等式4.1不等關系與不等式1．不等式的性質(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒數性質(1)a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)(2)a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)(3)a＞b＞0,0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?eq\f(1,b)＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,a)3．比較兩個實數的大小兩個實數的大小是用實數的運算性質來定義的，有a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.另外，若b＞0，則有eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)＜1?a＜b.4.比較大?。?）作差法其一般步驟是：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論．其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，也可以先平方再作差．（2）作商法其一般步驟是：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大??；(4)結論．（3）特例法若是選擇題還可以用特殊值法比較大小，若是解答題，也可以用特殊值法探路．【例1】1、若M=2x2+7x+6，N=(x+1)(x+4)，則M與N的大小關系是.【解析】∵M-N=(2x2+7x+6)-(x+1)(x+4)=(2x2+7x+6)-(x2+5x+4)=x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴M>N.2、已知1<a<2,-2<b<-1,則2a+b的取值范圍為.

【解析】∵1<a<2,∴2<2a<4,又-2<b<-1,∴0<2a+b<3,即2a+b的取值范圍為(0,3).3、下列命題中為真命題的是.(填寫序號)

①若a>b>0,則ac2>bc2; ②若a<b<0,則a2>ab>b2;③若a>b>0且c<0,則; ④若a>b且,則ab<0.【解析】對于①,當c=0時,ac2>bc2不成立,故①為假命題;對于②,∵a<b<0,∴兩邊同乘a,得a2>ab,兩邊同乘b,得ab>b2,∴a2>ab>b2,故②為真命題;對于③,∵a>b>0,∴a2>b2>0,∴,∵c<0,∴,故③為真命題;對于④,∵,∴=>0,又∵a>b,∴b-a<0,∴ab<0,故④為真命題.故填②③④.【變式探究1】1、給出下列命題：①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；③a＞b?a3＞b3；④|a|＞b?a2＞b2.其中正確的命題是()A．①② B．②③C．③④ D．①④2、已知a＞b，c＞d，且c，d不為0，那么下列不等式成立的是()A．ad＞bc B．ac＞bdC．a－c＞b－d D．a＋c＞b＋d3、已知a＞b＞0，c＜0，則下列不等式成立的所有序號是________．①ac＞bc；②ab＞ac；③ab＜bc；④eq\f(c,a)＜eq\f(c,b)；⑤eq\f(c,a)＞eq\f(c,b).4、已知a＞b＞0，且c＞d＞0，則eq\r(\f(a,d))與eq\r(\f(b,c))的大小關系是________．5、已知a，b，c，d均為實數，且c＞d，則“a＞b”是“a－c＞b－d”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6、已知則的取值范圍是的取值范圍是7、已知則的取值范圍是4.2基本不等式1．基本不等式：（a＞0，b＞0）（1）一正：基本不等式成立的條件：a＞0，b＞0.（2）二定：①如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值,是(簡記:積定和最小).

②如果和x+y是定值p,那么當且僅當x=y時,xy有最大值,是(簡記:和定積最大).

（3）三相等：等號成立的條件，當且僅當a=b時取等號．2．常用結論：（1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)（2）ab≤()2(a,b∈R)（3）(a,b∈R)（一）公式的應用【例4】1、函數y=x+(x＞0）取得最小值時，x的值為（）A． B．C．1 D．2【解析】∵x＞0，∴x+≥2=1，當且僅當x=時取等號，取到最小值1,此時x=，故選B.2、已知x>1,則的最小值為.【解析】因為x>1,所以x-1>0,所以=+1≥2+1=3,當且僅當x-1=1,即x=2時,等號成立.當x>2時,的最小值為.【解析】因為x>2，所以x-2>0，所以，當且僅當,即x=4時,等號成立.4、函數f(x)=2x++1(x<0)的最大值為.

【解析】∵x<0,∴-x>0,∴-f(x)=-2x+-1≥，∴-f(x)≥7,即f(x)≤-7.當且僅當-2x=,即x=-2時,等號成立,∴f(x)的最大值為-7.【變式探究1】（1）已知x>0，y>0，xy＝10，求的最小值為________．（2）已知則的最小值=．（3）已知x<eq\f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為________．（4）當x>0時，f(x)＝的最大值為.（5）函數y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．（二）指數與對數【例5】已知，且a-3b+6=0，則的最小值為_____________．【解析】詳解：由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且：，因為對于任意恒成立，結合均值不等式的結論可得：，當且僅當，即時等號成立，綜上可得的最小值為.【變式探究2】（1）已知，則的最小值=（2）已知，，則的最大值=______，的最小值=（3）設x，y是正實數,且2x+y=4,求lgx+lgy的最大值=（三）1的妙用（常值替換法）【例6】若正數x，y滿足2x＋3y＝1，則的最小值為__________．【解析】由題得當且僅當即時取到最小值.故答案為【變式探究3】（1）已知，且，的最小值為__________．（2）若正數x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是________．（3）已知x＞0，y＞0,且,若x+2y＞m2+2m恒成立,則實數m的取值范圍是．（四）ab≤【例7】1、已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．【解析】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)·(3x)(4－3x)≤eq\f(1,3)·＝eq\f(4,3)，當且僅當3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)時，取等號．【變式探究4】（1）已知的最大值=（2）已知的最大值=（3）設正數滿足，求的最小值=（4）已知a>0，b>0，a+2b=4，則ab的最大值=________．（5）已知x>0，y>0，且滿足，則xy的最大值為________．習題：第四章、不等式4.1不等關系與不等式1.已知a＞b≥2.現有下列不等式：①b2＞3b－a；②ab＞a＋b.其中正確的是()A．①B．②C．①②D．都不正確2.若a、b是任意實數，且a＞b，則下列不等式成立的是()A．a2＋1＞b2＋1 B.eq\f(b,a)＜1C．lg(a－b)＞0 D.3.若a＞0＞b＞－a；c＜d＜0，則下列命題；(1)ad＞bc；(2)eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的個數是()A．1B．2C．3D．44.若a，b為實數，則“0＜ab＜1”是“b＜eq\f(1,a)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知a，b，c，m∈R，則下列推理中不正確的是________．①a＞b?am2＞bm2 ②eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)?a＞b③a3＞b3，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)④a2＞b2，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)6．已知a＜0，b＜－1，則下列不等式成立的是________．①a＞eq\f(a,b)＞eq\f(a,b2)②eq\f(a,b2)＞eq\f(a,b)＞a③eq\f(a,b)＞eq\f(a,b2)＞a④eq\f(a,b)＞a＞eq\f(a,b2)7.已知－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是__________．8．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n＜n＜－m9．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式中成立的是()A．xy>yzB．xz>yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|10．設α∈，β∈，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是()A.B.C．(0，π)D.11．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結論不正確的是()A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|12．已知eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下面四個不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3.其中不正確的不等式的個數是()A．0B．1C．2D．313．若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是_____________．4.2基本不等式1．若直線過點,則2a+b的最小值為__________．2．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是___________．3．若x＞0，則x＋eq\f(2,x)的最小值為________．4．若x＞1，則x＋eq\f(4,x－1)的最小值為________．5．x＞0，則f(x)＝eq\f(12,x)＋3x的最小值=6．若x＜3，則f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值=7．已知關于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數a的最小值為__________．8．設，則函數的最大值是__________．9．若，則的最大值是__________．10．已知，且的最小值是__________．11．若直線過圓的圓心，則的最小值為____________12．若直線始終平分圓的周長，則的最大值=13．已知x，y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值__________．14．若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是________．15．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．416．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2)B．4C.eq\f(9,2)D．517．已知函數,當x＞0時,函數的最小值為.18．已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(eq\f(1,2))y，若eq\f(1,x)＋eq\f(m,y)(m>0)的最小值為3，則m＝________.19．已知，且滿足，則的取值范圍是__________．20、【2