課時(shí)分層作業(yè)（五十三）雙曲線

[4組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'選擇題

?2

1.已知雙曲線]一蔡%=1（加>0）的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則雙曲線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為（）

A--^=1B--^=1

A.24-1B.48—

v2A2V2

2

C.X-O"7=1D.Zy—"O7=1

D[由題意，得2y[Ht=7m+6,解得機(jī)=2,

?2

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為5=1.]

Zo

2.已知方程離y2

3m2—n1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為

4,則〃的取值范圍是（）

A.(-1,3)B.(-1,小)

C.(0,3)D.(0,小)

?2

A「??方程一o?—2-=1表示雙曲線，.,.(4+〃>(3M2—〃)>0,解得一

m+n3m—n

/刀2<〃<3加2,由雙曲線性質(zhì)，知（？=。%2+〃）+（3/7，一〃）=4m2（其中C是半焦距），

工焦距2c=2義2|加|=4,解得|〃2|=1,A-l<n<3,故選A.]

3.（2021.全國(guó)甲卷）點(diǎn)（3,0）到雙曲線樂(lè)一方=1的一條漸近線的距離為（）

98八64

A.5B.C.D.5

A[由題意可知，雙曲線的漸近線方程為號(hào)一1=0,即3壯4y=0,結(jié)合對(duì)

稱性，不妨考慮點(diǎn)（3,0）到直線3x—4y=0的距離，則點(diǎn)（3,0）到雙曲線的一條

9-09

漸近線的距離d==5.故選A.]

、9+16

4.（2021.南昌一模）許多建筑融入了數(shù)學(xué)元素，更具神韻，數(shù)學(xué)賦予了建筑

活力，數(shù)學(xué)的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞

虛軸旋轉(zhuǎn)形成立體圖形）型建筑，圖2是其中截面最細(xì)附近處的部分圖象，上、

下底面與地面平行.現(xiàn)測(cè)得下底直徑米，上底直徑。。=2即米，

AB與CO間的距離為80米，與上下底面等距離的G處的直徑等于CD,則最細(xì)

部分處的直徑為（）

k旦

圖1圖2

A.10米B.20米C.1麗米D.18、「米

B［建立如圖的坐標(biāo)系，

由題意可知。（1即，20）,8（1岫5,-60）,

設(shè)雙曲線方程為：$一方=1,

「200400

=

a2--b12］，

?110003600

［■一▽j

解得層=100,。2=400,

\EF\=2a=2Q,故選B.］

5.已知雙曲線C：^=1,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為。的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直

線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若LOMN為直角三角形，則|MN|=

（）

A.1B.3C.2小D.4

r2

B［因?yàn)殡p曲線可一尸=1的漸近線方程為y=土為-x,所以NMON=60°.不

妨設(shè)過(guò)點(diǎn)尸的直線與直線y=+-x交于點(diǎn)M,由△0MN為直角三角形，不妨設(shè)

ZOMN=90°,則NMFO=60°.又直線MN過(guò)點(diǎn)F（2,0）,所以直線MN的方

2

程為），=一切（*一2）.

所以|A/M=V5|OM=3J

6.（2021?沈陽(yáng)二模）已知點(diǎn)Q,出分別是雙曲線C：*一￡=1（">0）的左、右

焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線。的右支上，且滿足內(nèi)尸2|=2|OP|,tanZ

PF2F"則雙曲線C的離心率的取值范圍為（）

A.（1,叫B.（1,年|

C.（1,啊D.（1,的

B[因?yàn)閞ib2|=2|OP|,所以|OP|=c，故△尸尸正2為直角三角形，且PFJPB，

所以|PFI|2+|PB|2=F]F2|2.

由雙曲線定義可得|PQ\~\PF2\=2a.

因?yàn)閠anZPF2F1=7?FI^5,所以|PFI|25|P&|.

修2|

因?yàn)閨PB|=|P3|+2m所以

又（2a+|PF2|）2+|PBF=4c2,所以（『22|+。）2=2?—。2.

所以（尸尸2|+〃）2=2。2—/〈g+j

所以/=FW三~.又e>1,所以IVeW當(dāng)一，所以雙曲線C1的離心率的取值

Clo4

范圍為（1,啕.]

二'填空題

9?

7.（2021?全國(guó)乙卷）雙曲線，一手=1的右焦點(diǎn)到直線x+2y—8=0的距離為

3

f2

乖［雙曲線,一方=1的右焦點(diǎn)(3,0),

13+0-81

=小」

所以右焦點(diǎn)到直線x+2y—8=0的距離為d=肝+啟

?2

8.雙曲線a一%=1(。>0，匕>0)的漸近線為正方形。48C的邊OA,。。所

在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形0A3C的邊長(zhǎng)為2,則a=.

r2v2h

2［雙曲線］一方=1的漸近線方程為y=±‘x,由已知可得兩條漸近線互相

b

垂直，由雙曲線的對(duì)稱性可得［=1.又正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,所以C=2，L

所以/+辰=d=(26)2,解得。=2.］

9.已知雙曲線G：.一1=l(a>0,b>0),圓Q：/+_/—2利+加=0,若

雙曲線G的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線G的離心率的取

值范圍是.

(1,胡)［由雙曲線方程可得其漸近線方程為)=±3，即bx+ay=Q,圓

°°3］

C2：f+y2—2"+型2=0可化為(x-a)2+y2=^a2,圓心C2的坐標(biāo)為(a,0),半

徑r=\a,\ab\1

由雙曲線Ci的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得

VSP2小

,,-149..c2s

即02。，即(?>4/?2,又知/=/一層，所以c2>4(c2—a2),即c-<^a~,所以,

又知e>l,所以雙曲線Ci的離心率的取值范圍為［1,韋］

三'解答題

10.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)￡,尸2在坐標(biāo)軸上，離心率為啦，且

過(guò)點(diǎn)(4,-VW).

(1)求雙曲線方程；

(2)若點(diǎn)M(3,㈤在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以為直徑的圓上.

［解］(1)因?yàn)殡x心率可設(shè)其方程為小一產(chǎn)二，%#。).

則由點(diǎn)(4,一回)在雙曲線上，可得幺=42一(一師)2=6.所以雙曲線的方程

為f-y2=6.

4

(2)證明：因?yàn)辄c(diǎn)M(3,加)在雙曲線上，

所以32—m2=6,所以m2=3.

又雙曲線幺一產(chǎn)=6的焦點(diǎn)為乃(一2/，0),尸2(2小，0),所以

(-273-3,一機(jī))?(2仍一3,一m)=(-3)2—(24)2+〃22=9—12+3=0.所以加產(chǎn)1

±MF2,所以點(diǎn)M在以西尸2為直徑的圓上.

11.設(shè)A,8分別為雙曲線，一*=l(a>0,8>0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的

實(shí)軸長(zhǎng)為4小，焦點(diǎn)到漸近線的距離為小.

(1)求雙曲線的方程；

(2)已知直線曠=?一2與雙曲線的右支交于M,N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右

支上存在點(diǎn)。，使成+訊力(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求，的值及點(diǎn)。的坐標(biāo).

［解］(1)由題意知。=24，

因?yàn)橐粭l漸近線為y=-x,即Z?x—ay=0,

所以由焦點(diǎn)到漸近線的距離為小，得小.

又因?yàn)閏2=/+〃，所以廿=3,

所以雙曲線的方程為三一5=1.

(2)設(shè)M(xi,yi),N(尤2,y2),D(xo,>'o)(xo>O),

則x\+x2=txo,yi+”=tyo,

將直線方程了=冬-2代入雙曲線方程走一(=1得/一16小不+84=0,

則為+%2=16小，yi+”=3(xi+及)—4=12.

,x()4s

-

yo3r

ixo=4v3,

所以q*7jo,解得

瓦一1=L卜。=3.

、xo>O,

所以f=4,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4小，3).

[B組在綜合中考查關(guān)犍能力]

5

?2

1.（2021?衡水模擬）過(guò)雙曲線§-5=13〉0,。＞0）的右焦點(diǎn)F（小，0）作斜率

為網(wǎng)上-1）的直線與雙曲線過(guò)第一象限的漸近線垂直，且垂足為A,交另一條漸

近線于點(diǎn)8,若&BOF=|（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則攵的值為（）

A.一\[2B.-2C.一小D.-y[5

B[由題意得雙曲線過(guò)第一象限的漸近線方程為）二一%,過(guò)第二象限的漸

近線的方程為y=\x,直線FB的方程為y=k（x—?。?聯(lián)立方程得

K

所以S^OF=^\OF\X|y?l=^X75

2.設(shè)廠為雙曲線C：a一1=1伍＞0,8＞0）的右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以

。產(chǎn)為直徑的圓與圓/+產(chǎn)=。2交于尸，。兩點(diǎn).若|PQ=QF|,則。的離心率為

)

A.近B.仍C.2D.小

A[令雙曲線C:=1（。＞0,比＞0）的右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（C,0）,則c=

ylc^+b2.

如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件伊。|=。川可知，PQ是以0尸為直徑的圓的

直徑,且PQJ_OF.設(shè)垂足為M,連接OP,則|0尸|=a,\OM\=\MP\=^,

由|OMF+|MP|2=QP|2,

6

即離心率e寸.

故選A.]

3.（2021.新高考I卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)用（一/萬(wàn)，0）,

F2（V17,0）,點(diǎn)M滿足記M的軌跡為C

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=T上，過(guò)T的兩條直線分別交。于A,B兩點(diǎn)和P,Q

兩點(diǎn)，SL\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直線AB的斜率與直線尸。的斜率之和.

[解]（1）因?yàn)榘⑹?|一明尸2|=2＜內(nèi)尸2|=2折，

所以點(diǎn)M的軌跡。是以凡分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

?2

設(shè)雙曲線的方程為$一方=1（。＞0,〃＞0）,半焦距為c,則2a=2,c=yj~n9

得a=l,Z?2=c2-?2=16,

所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為％2—代=1（x21）.

設(shè)AQA，/A），B（XB，ys），

易知16—麻60,

則必切=—[6—后，龍什切=16-后

所以|刀4|=,1+后心一；=，？百（6一3）,

\TB\=yj\+kiXB-g=7]+6QB-；）,

則1劃切a=a+后）（.以一￡|（初一￡|

7

y11

=（1+A：i）[XAXB~2（XA4I

=（1+貽七1二」.正如

16—6216—k\4

（1+后）（,+12）

=后一16,

（1+后）（產(chǎn)+12）

同理得17PMTQ|=

后一16

（1+后）（-+12）（1+后）（?+12）

因?yàn)閨7XHT8|=|TPHTQI，所以

k1—16后一16

所以后一16+后后一16后=后一16+后后一16后,

即居=后，

又女1手%2，所以Al=一左2，即左1+左2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

[C組在創(chuàng)新中考直理性思維]

1.雙曲線定位法是通過(guò)測(cè)定待定點(diǎn)到至少三個(gè)已知點(diǎn)的兩個(gè)距離差所進(jìn)行

的一種無(wú)線電定位.通過(guò)船（待定點(diǎn)）接收到三個(gè)發(fā)射臺(tái)的電磁波的時(shí)間差計(jì)算出

距離差，兩個(gè)距離差即可形成兩條位置雙曲線，兩者相交便可確定船位.我們來(lái)

看一種簡(jiǎn)單的“特殊”狀況：如圖所示，已知三個(gè)發(fā)射臺(tái)分別為A,B,C且剛

好三點(diǎn)共線，已知A8=34海里，AC=20海里.現(xiàn)以45的中點(diǎn)為原點(diǎn)，A3所

在直線為x軸建系.現(xiàn)根據(jù)船P上接收到C發(fā)射臺(tái)與A發(fā)射臺(tái)發(fā)出的電磁波的

時(shí)間差計(jì)算出距離差，得知船汁在雙曲線36—q=1的左支上，若船「

上接收到A發(fā)射臺(tái)發(fā)射的電磁波比B發(fā)射臺(tái)發(fā)射的電磁波早185.2四（已知電磁

波在空氣中的傳播速度約為0.3km/gs,1海里=1.852km）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)（單位:

海里）為（）

8

D.(45,±1672)

72

B［設(shè)由船P到8發(fā)射臺(tái)和到A發(fā)射臺(tái)的距離差確定的雙曲線方程為也一方

=1（x2。），因?yàn)榇琍上接收到A發(fā)射臺(tái)發(fā)射的電磁波比B發(fā)射臺(tái)發(fā)射的電磁波

早185.2%,則船P至IB發(fā)射臺(tái)和到A發(fā)射臺(tái)的距離差為|P陰一|幺|=2a=

1852X03

—?=30海里,故。=15,又c=17,故6=8,故由船P到B發(fā)射臺(tái)和到

1.oDZ

A發(fā)射臺(tái)的距離差所確定的雙曲線為一蕓=1（九215）,聯(lián)立得

(x-27)2

1(后21),

36135

上上

225-64G215),

2.（2021?廣東模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)FQ,0）的

距離與它到直線x=|的距離之比為￥.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線。的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F"作兩條互相垂直的直線3/2./1交曲線C于48兩點(diǎn)，/2交曲線

。于S,T兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為M,線段ST的中點(diǎn)為M證明：直線MN過(guò)定

點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

A/——9）2+v2

［解］⑴設(shè)尸（x,y）,由題意可得：3|一匕=竽，

x~2

_____________3

即下X＜（X—2）2+戶2x~2,

兩邊同時(shí)平方整理可得：y-/=l,

所以曲線C的方程為1一_/=1.

（2）證明：若直線/”/2斜率都存在且不為0，設(shè)/i：y=?x-2）,則/2：y=

T（L2）,

y=k（x—2）,

由f,，—可得：（3M—l）f—12Fx+12M+3=0,

,A—3y—3,

9

當(dāng)弘時(shí)，即方程為一4x+7=o,此時(shí)只有一解，不符合題

意,

當(dāng)3R—1WO時(shí)，J=144^-4(3^-1)(12^+3)=12(^+1)>0,

12P1

由根與系數(shù)的關(guān)系可得：xi+x2=3必二］，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為XM=2(X\+

61c

功=黍二？

/2k

代入直線/］：2)可得：州/=&(物-2)=Z—2尸