第16講機械能守恒定律及其應用1．如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環，圓環與水平狀態的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態．現讓圓環由靜止開始下滑，已知彈簧原長為L，圓環下滑到最大距離時彈簧的長度變為2L(未超過彈性限度)，則在圓環下滑到最大距離的過程中(BA．圓環的機械能守恒B．彈簧彈性勢能變化了eq\r(3)mgLC圓環下滑到最大距離時，所受合力為零D．圓環重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變解析圓環沿桿下滑的過程中，圓環與彈簧組成的系統動能、彈性勢能、重力勢能之和守恒，選項A、D錯誤；彈簧長度為2L時，圓環下落的高度h＝eq\r(3)L，根據機械能守恒定律，彈簧的彈性勢能增加了ΔEp＝mgh＝eq\r(3)mgL，選項B正確；圓環釋放后，圓環向下先做加速運動，后做減速運動，當速度最大時，合力為零，下滑到最大距離時，具有向上的加速度，合力不為零，選項C錯誤．2．(多選)如圖，滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動．不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g.則(BD)A．a落地前，輕桿對b一直做正功B．a落地時速度大小為eq\r(2gh)C．a下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg解析設某一時刻a、b速度分別為va、vb，則vacosθ＝vbsinθ.當a落到地面時，θ＝90°，cosθ＝0，故vb為0，可知a下落過程中b先加速后減速，輕桿對b先做正功后做負功，選項A錯誤．輕桿對a的力先為支持力后為拉力，故a的加速度先小于g后大于g，選項C錯誤．由于a、b系統只有重力和系統內桿的彈力做功，故a、b機械能守恒，a落地時b速度為零，由機械能守恒定律得mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,a)，得va＝eq\r(2gh).選項B正確．當a機械能最小時，b的機械能最大，即動能最大，此時F桿＝0，故FN＝mg，選項D正確．3．如圖，在豎直平面內有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2).一小球在A點正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止開始自由下落，經A點沿圓弧軌道運動．(1)求小球在B、A兩點的動能的比值；(2)通過計算判斷小球能否沿軌道運動到C點．解析(1)設小球的質量為m，小球在A點的動能為EkA，由機械能守恒得EkA＝mgeq\f(R,4)，①設小球在B點的動能為EkB，同理有EkB＝mgeq\f(5R,4)，②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5.③(2)若小球能沿軌道運動到C點，小球在C點所受軌道的正壓力N應滿足N≥0，④N＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2))，⑤由④⑤式得，vC應滿足mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R)，⑥由機械能守恒有mgeq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，⑦由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿軌道運動到C點．答案(1)5(2)能4．如圖所示，傾角θ＝37°光滑斜面的底端的固定擋板上連接一輕彈簧，斜面頂端與半徑為R的豎直平面內的光滑圓弧軌道相切于B點．質量m的物塊甲將彈簧壓縮至A點，A、B間距為3R，由靜止釋放物塊甲，物塊甲運動到圓弧軌道最高點C時，對軌道的壓力大小等于物塊甲重力的1.4倍，不計空氣阻力，重力加速度為g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.(1)求釋放物塊甲時彈簧具有的彈性勢能Ep；(2)若將物塊甲換成物塊乙，仍將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，為使物塊乙恰能經過圓弧軌道最高點C，求物塊乙的質量m0.解析(1)根據牛頓第三定律可得，物塊甲經過圓弧軌道C點，軌道對物塊甲的彈力為1.4mg，設物塊甲經過圓弧軌道C點的速度為v1，由牛頓第二定律有1.4mg＋mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，對物塊甲從A點運動到C點的過程中，由機械能守恒定律有Ep＝mg(3Rsinθ＋Rcosθ＋R)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得Ep＝4.8mgR.(2)設物塊乙經過圓弧軌道C點的速度為v2，由牛頓第二定律有m0g＝m0eq\f(v\o\al(2,2),R)，對物塊乙從A點運動到C點的過程中，由機械能守恒定律有E