高考必考題突破講座(六)概率與統計[解密考綱]概率與統計是高考中相對獨立的一塊內容，處理問題的方式、方法體現了較高的思維含量．該類問題以應用題為載體，注重考查學生的應用意識及閱讀理解能力、數據分析能力．概率問題的核心是概率計算，其中事件的互斥、對立是概率計算的核心．統計問題的核心是樣本數據的獲得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本的數字特征．統計與概率內容相互滲透，背景新穎．1．某保險公司有一款保險產品的歷史收益率(收益率＝利潤÷保費收入)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計這款保險產品的收益率的平均值；(2)設每份保單的保費在20元的基礎上每增加x元，對應的銷量為y(單位：萬份)．從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對應數據.x/元2530384552y/萬份7.57.16.05.64.8由上表知x與y有較強的線性相關關系，且據此計算出的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x.①求參數eq\o(b,\s\up6(^))的值；②若把回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x當作y與x的線性關系，用(1)中求出的收益率的平均值作為此產品的收益率，試問每份保單的保費定為多少元時此產品可獲得最大利潤，并求出最大利潤(注：保險產品的保費收入＝每份保單的保費×銷量)．解析(1)收益率的平均值為0.05×0.1＋0.15×0.2＋0.25×0.25＋0.35×0.3＋0.45×0.1＋0.55×0.05＝0.275.(2)①eq\x\to(x)＝eq\f(25＋30＋38＋45＋52,5)＝eq\f(190,5)＝38，eq\x\to(y)＝eq\f(7.5＋7.1＋6.0＋5.6＋4.8,5)＝eq\f(31,5)＝6.2.由eq\x\to(y)＝10－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得10－38eq\o(b,\s\up6(^))＝6.2，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.1.②設每份保單的保費為(20＋x)元，則銷量為y＝10－0.1x.則這款保險產品的保費收入為f(x)＝(20＋x)(10－0.1x)萬元．所以f(x)＝200＋8x－0.1x2＝360－0.1(x－40)2.所以當x＝40，即每份保單的保費為60元時，保費收入最大為360萬元．預計這款保險產品的最大利潤為360×0.275＝99(萬元)．2．(2018·廣東佛山質檢)某網絡廣告A公司計劃從甲、乙兩個網站選擇一個網站拓展廣告業務，為此A公司隨機抽取了甲、乙兩個網站某月中10天的日訪問量n(單位：萬次)，整理后得到如下莖葉圖，已知A公司要從網站日訪問量的平均值和穩定性兩方面進行考察選擇．(1)請說明A公司應選擇哪個網站；(2)現將抽取的樣本分布近似看作總體分布，A公司根據所選網站的日訪問量n進行付費，其付費標準如下表.選定網站的日訪問量n(單位：萬次)A公司的付費標準(單位：元/日)n＜2550025≤n≤35700n＞351000求A公司每月(按30天計)應付給選定網站的費用S.解析(1)由莖葉圖可知eq\x\to(x)甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58，eq\x\to(x)乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8，因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴A公司應選擇乙網站．(2)由(1)得A公司應選擇乙網站，由題意可得乙網站日訪問量n<25的概率為0.3，日訪問量25≤n≤35的概率為0.4，日訪問量n>35的概率為0.3，∴A公司每月應付給乙網站的費用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝21900(元)．3．柴靜《穹頂之下》的播出，讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識，對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機構對春節燃放煙花爆竹的天數x與霧霾天數y進行統計分析，得出下表數據.x4578y2356(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試根據(2)求出的線性回歸方程，預測燃放煙花爆竹的天數為9的霧霾天數．解析(1)散點圖如圖所示．(2)eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，eq\x\to(x)＝eq\f(4＋5＋7＋8,4)＝6，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝42＋52＋72＋82＝154，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(106－4×6×4,154－4×62)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝4－6＝－2，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝x－2.(3)由線性回歸方程可以預測，燃放煙花爆竹的天數為9的霧霾天數為7.4．(2016·北京卷)某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖．(1)如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費．解析(1)由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內的頻率依次為0.1，0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3.(2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數據分組與頻率分布表.組號12345678分組[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]頻率0.10.150.20.250.150.050.050.05根據題意，該市居民該月的人均水費估計為4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．5．(2018·河南鄭州模擬)某小學為迎接校運動會的到來，在三年級招募了16名男志愿者和14名女志愿者．調查發現，男、女志愿者中分別各有10人和6人喜歡運動，其余人員不喜歡運動．(1)根據以上數據完成2×2列聯表；喜歡運動不喜歡運動總計男女總計(2)是否有95%的把握認為性別與喜歡運動有關，并說明理由；(3)如果喜歡運動的女志愿者中恰有4人懂得醫療救護，現從喜歡運動的女志愿者中抽取2名負責處理應急事件，求抽出的2名志愿者都懂得醫療救護的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解析(1)依題意，2×2列聯表如下.喜歡運動不喜歡運動總計男10616女6814總計161430(2)由已知數據可得，K2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×14×16)≈1.1575<3.841，因此沒有95%的把握認為是否喜歡運動與性別有關．(3)喜歡運動的女志愿者有6人，設分別為A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D懂得醫療救護，則從這6人中任取2人的情況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種，其中兩人都懂得醫療救護的情況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，設“抽出的2名志愿者都懂得醫療救護”為事件M，則P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).6．(2016·全國卷Ⅲ)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖．(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數據：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關系數r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解析(1)由折線圖中數據和附注中參考數據得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y關于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2016年對應的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1.82億噸．7．某高校共有學生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)．(1)應收集多少位女生的樣本數據？(2)根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據的分組區間為[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；(3)在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879解析(1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應收集90位女生的樣本數據．(2)由頻率分布直方圖得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率的估計值為0.75.(3)由(2)知，300位學生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．又因為樣本數據中有210份是關于男生的，90份是關于女生的．所以每周平均體育運動時間與性別列聯表如下.男生女生總計每周平均體育運動時間不超過4小時453075每周平均體育運動時間超過4小時16560225總計21090300結合列聯表可算得K2＝eq\f(300×45×60－165×302,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762＞3.841.所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．8．2017年“雙節”期間，高速公路車輛較多，某調查公司在一個服務區從七座以下小型汽車中，按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速(單位：km/h)分成六段[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如圖的頻率分布直方圖．(1)該調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？(2)求這40輛小型車輛車速的眾數、中位數和平均數；(3)若從車速在[60,70)的車輛中