2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺定義新運(yùn)算提高練習(xí)

一、選擇題

1.若一個(gè)n位數(shù)中各數(shù)字的n次籍之和等于該數(shù)本身，這個(gè)數(shù)叫做“自戀數(shù)”.下面四個(gè)數(shù)中是“自戀數(shù)”

的是()

A.66B.153C.225D.250

2.如果三角形滿足一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，那么我們稱這個(gè)三角形為“智慧三角形”.下列各組數(shù)據(jù)

中，能作為一個(gè)智慧三角形三邊長(zhǎng)的一組是()

A.1,2,3B.l,1,\f2C.l,1,5D.1,2,小

3.對(duì)于兩數(shù)a、b,定義運(yùn)算：a*b=a+b—ab,則在下列等式中，正確的為()

①a*2=2*a;(2)(—2)*a=a*(—2);③(2*a)*3=2*(a*3);④0*a=a

A.①③B.①②③C.①②③④D.①②④

4.我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算.

如表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例：

指數(shù)

252?=4"2‘=8#3三3~32=9.、3'=27》…小

運(yùn)算7

新運(yùn)

,3j

log2=l^log24=2*log8=3*log3=l^log?9二2-log27=3*???3

算，2223

根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個(gè)式子：

①log216=4;②log525=5;③log2().5=-1.其中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

5.對(duì)a,b定義運(yùn)算“*”如下：a*b4a:,已知**3=-1,則實(shí)數(shù)x等于()

匕a-b(a<b).

A.lB.-2C.1或一2D.不確定

6.在有理數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“*”，其規(guī)則為a*b=；(2a+b),貝I］方程(2*3)(4*x)=49的解為()

A.-3B.55C.-56D.-55

7.對(duì)于點(diǎn)A(xi,yD、B(X2,y2),定義一種運(yùn)算：A十B=(xi+x2)+(yi+y2).例如，A(-5,4),B(2,

-3),A十B=(-5+2)+(4-3)=-2.若互不重合的四點(diǎn)C,D,E,F,滿足C十D=D十E=E十F=F十D,

則C,D,E,F四點(diǎn)()

A.在同一條直線上

B.在同一條拋物線上

C.在同一反比例函數(shù)圖象上

D.是同一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)

8.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)，規(guī)定max{a,b}表示a、b中的較大值，當(dāng)a>b時(shí)，max{a,b}=a,當(dāng)a<b時(shí)，max{a,

b}=b,例如：max{1,3}=3.則函數(shù)y=max{x2+2x+2,-x?—1}的最小值是()

A.lB.-1C.OD.2

二、填空題

9.李明同學(xué)開(kāi)發(fā)了一種數(shù)值轉(zhuǎn)換程序，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)(a,b)進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a'+

|b|-7r°,例如把(3,-1)放入其中，就會(huì)得到3-兀。=g.再將實(shí)數(shù)對(duì)(-1,3)放入其中，得到

實(shí)數(shù)m,再將實(shí)數(shù)對(duì)(m,2)放入其中，得到實(shí)數(shù)是_______.

10.請(qǐng)你規(guī)定一種適合任意非零實(shí)數(shù)a,b的新運(yùn)算“a十b”，使得下列算式成立：

74

102=2?1=3,(-3)?(-4)=(-4)?(-3)=-g,(-3)十5=5十(-3)=-謳，.…你規(guī)定的新運(yùn)算

aeb=(用含a,b的一個(gè)代數(shù)式表示).

11.我們知道，一元二次方程x2=-l沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1,如果我們規(guī)定

一個(gè)新數(shù)“i”，使它滿足i2=-l(即x2=-l有一個(gè)根為i),并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)“i”

進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有：i'=i,i2=-l,i3=i2?i=(_i)?i=—

i,i4=(i2)2=(-l)2=l,從而對(duì)任意正整數(shù)n,由于i4n=口4尸=4=1,j4n+1=[4,=].j=j,同理可得

j4n+2=_],i4n+3=_j,那么，j9=；j2026=.

12.經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰

三角形，另外一個(gè)三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.如圖，

線段CD是△ABC的“和諧分割線”，Z1ACD為等腰三角形，4CBD和AABC相似，NA=46。，則

ZACB的度數(shù)為.

13.一?般地，當(dāng)a,P為任意角時(shí)，cos(a+B)與cos(a-0)的值可以用下面的公式求得cos(a+p)=cosa?cos0

-sina,sinp;cos(a-B)=cosa?cosB+sina?sinp.例如：cos90°=cos(300+600)=cos300,cos600-

sin30°?sin60°=2X2_2X2=0類似地，可以求得cosl5。的值是(結(jié)果保留根號(hào)).

14.定義運(yùn)算：aXb=b-2a,下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的四個(gè)結(jié)論：

①(-2)※(-5)=-1;②aXb=bXa;

③若a+b=0,貝|J(aXa)+(bXb)=0;④若3Xx=0,貝x=6.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是(填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號(hào)).

三、解答題

15.定義［p,q］為一次函數(shù)y=px+q的特征數(shù).

(1)若特征數(shù)是［2,m+1］的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求m的值；

(2)已知拋物線y=(x+n)(x-2)與x軸交于點(diǎn)A、B,其中n〉0,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C,

且AOAC的面積為4,0為原點(diǎn)，求圖象過(guò)A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù).

16.閱讀以下材料：

對(duì)于三個(gè)數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)中最小

的數(shù).例如:

-1+2+341a(aS-1),

M{-1,2,3}="-=彳；min{-l,2,3}=—1;min{—1,2,a}=

3J［―1(a>—1).

解決下列問(wèn)題：

⑴填空：如果min{2,2x+2,4—2x}=2,則x的取值范圍為;

(2)如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.

17.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)PI(XI,yi),P2(X2,y2),稱|xi—X2|+|yi—y2|為Pi,P2兩點(diǎn)的直角

距離，記作：d(Pi,P2).若Po(xo,yo)是一定點(diǎn),Q(x,y)是直線y=kx+b上的一動(dòng)點(diǎn),稱d(P0,Q)

的最小值為Po到直線y=kx+b的直角距離.令Po(2,-3),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求d(0,Po);

(2)若P(a,—3)到直線y=x+l的直角距離為6,求a.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長(zhǎng)與面積相等，

則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn).例如，圖中過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長(zhǎng)

與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn).

(1)判斷點(diǎn)M(l,2),N(4,4)是否為和諧點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

(2)若和諧點(diǎn)P(a,3)在直線y=-x+b(b為常數(shù))上,求點(diǎn)a,b的值.

abab12

19.閱讀材料：對(duì)于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號(hào)的意義是d=ad-be例如:=lx4-2x3

cdc34

-24

=一2,=（一2）x5—4x3=-22.

35

56

(1)按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你計(jì)算的值;

78

x+12x

⑵按照這個(gè)規(guī)定請(qǐng)你計(jì)算：當(dāng)x2—4x+4=0時(shí),的值.

x-12x-3

20.通過(guò)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定,

因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似地,可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系.我們定義:

等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad).如圖1在△ABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)記作

sadA,這時(shí)sad容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上

述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：

(l)sad600=;

(2)對(duì)于0°<A<180°,ZA的正對(duì)值sadA的取值范圍是

3

(3)如圖2,已知sinA=；,其中NA為銳角，試求sadA的值.

參考答案

1.B

2.D

3.D

4.B

5.A

6.B

7.A.

8.A.

9.答案為：2.

2a+2b

10.答案為:ab

11.答案為：i,-1.

12.答案為：113。或92。.

13.答案為：與返.

14.答案為：①③④

15.解：(1)由題意得m+1=0..*.m=-1.

(2)由題意得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-n,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2n).

△OAC的面積為4,

??^xn,2n4,

n=2".點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4).

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b.

0=-2k+b,fk=-2,

**-4:b.,?b=-4.

???直線AC的解析式為y=-2x-4.

???圖象過(guò)A、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)為[-2,-4].

16.解：(1)0<X<1;(2)x=l.

17>:(l)VPo(2,-3),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

???d(O,Po)=|O-2|十|O—(—3)|=5.

(2)VP(a,一3)到直線y=x+l的直角距離為6,

設(shè)直線y=x+l上一點(diǎn)Q(x,x+1),則d(P,Q)=6,

/.|a—x|+|—3—x—1|=6,即|a—x|+|x+4|=6,

當(dāng)a—xNO,xN—4時(shí)，原式=a—x+x+4=6,解得a=2;

當(dāng)a—x