清華大學姜啟源jiangqy@數學建模競賽賽題講評全國大學生數學建模競賽2010年33省/市/區(含港澳)的1197校17317隊

1992年中國工業與應用數學學會(CSIAM)開始組織.

1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月).全國高校規模最大的學科競賽慶祝全國大學生數學建模競賽舉辦20年數學建模競賽(MathematicalContestinModeling)簡介內容賽題：工程技術、管理科學中經過簡化的實際問題答卷：一篇包含模型假設、建立、求解、計算方法設計和計算機實現、結果分析和檢驗、模型改進等方面的論文形式

3名大學生組隊，在3天內完成的通訊比賽

可使用任何“死”材料（圖書、計算機、軟件、互聯網等），但不得與隊外任何人討論宗旨創新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設的合理性，建模的創造性，結果的正確性，表述的清晰性年份A題B題C題D題2004奧運會臨時超市網點設計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務員招聘2005長江水質的評價和預測DVD在線租賃雨量預報方法的評價DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價和療效的預測易拉罐形狀和尺寸的最優設計煤礦瓦斯和煤塵的監測與控制2007中國人口增長預測

乘公交，看奧運手機“套餐”優惠幾何

體能測試時間安排

2008數碼相機定位高等教育收費標準探討地面搜索NBA賽程的分析與評價2009制動器試驗臺的控制方法分析眼科病床的合理安排衛星和飛船的跟蹤測控會議籌備2010儲油罐的變位識別與罐容表標定上海世博會影響力定量評估輸油管的布置學生宿舍設計方案評價

題目的特點題目來源:實際研究課題的簡化、改編；有實際背景問題的編撰；合適的社會熱點（或興趣）問題題目背景盡量通俗易懂，涉及的專業知識不深題目需要的數學知識一般不超過本科的三門主干課（非數學專業）內容及統計、優化、計算等基本方法；專科題目力求少用大學數學內容解題所用的數學方法盡量多元化、綜合化可以查閱到一些參考材料，但是無法照搬現成文獻兼顧數據的處理與數據的收集基礎性實踐性綜合性開放性挑戰性儲油罐的變位識別與罐容表標定全國大學生數學建模競賽2010年A題題目

題目的背景與分析問題（1）的通常做法問題（2）的通常做法一種建立儲油量模型的新方法對學生論文的評述題目的啟示通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。題目油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α地平線圖2儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線圖3儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉傾斜后正截面圖β地平線垂直線油位探針（a）無偏轉傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m(b)小橢圓油罐截面示意圖α油油浮子出油管油位探針注油口水平線2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小橢圓油罐正面示意圖圖4小橢圓型油罐形狀及尺寸示意圖

請你們用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。（1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為

=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件1所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度

和橫向偏轉角度

）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性。流水號C進油量/LD油位高度/mm采集時間說明1150159.022010-08-2010:32:18(1)罐體無變位進油，罐內油量初值262L；12100176.142010-08-2010:33:18(2)C列進油量是每次加入50L油后的累加值13150192.592010-08-2010:34:18(3)D列是原罐內初始油量加入相應油量后油位高度值。流水號C進油量/LD油位高度/mm采集時間說明11747.86411.292010-08-1915:10:2712797.86423.452010-08-1915:11:2713847.86438.332010-08-1915:12:3714897.86450.542010-08-1915:13:27(1)罐體縱向傾斜變位進油，縱向傾斜角4.10,罐內油量初值215L；(2)C列進油量是每次加入50L油后的累加值，個別的有小數零頭；(3)D列是原罐內油量加入相應油量后油位高度值。附件1實驗數據流水號C進油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:421)C列進油量,通常進油是一次性連續完成203068.452620.6760248.032010-08-0108:23:412)D列出油量是加油機不同時段的出油量vi2040199.272610.2960065.112010-08-0108:38:143)E列顯示油高是進/出油vi后對應的罐內油位顯示高度hi；205070.052606.6159999.692010-08-0108:53:084)F列顯示油量容積是進/出油vi后,罐內油位5020顯示高度為hi時的罐容表顯示儲油量Ｖi。

50360.81469.746086.74

511242486.2157704.792010-08-0811:43:402010-08-0812:52:52←一次性補充進油附件2檢測數據來自于加油站設備研究與生產企業的一個實際課題.

（2）根據實際檢測數據，正確識別罐體是如何變位的，具體變了多少？同時要給出罐容表的修正標定方法和結果，屬于“反問題”。題目背景問題分析問題由兩部分組成：（1）為了觀察檢驗罐體變位對罐容表的影響，在已知變位參數的情況下，檢測出油位高度和油量的對應數值，建模分析罐容表的變化規律，并給出修正的罐容表，屬于“正問題”。問題（1）的通常做法根據附件1的實驗數據畫出罐體不變位（α=0）和罐體變位（α=4.10）時油位高度h和儲油量V的曲線.實驗數據表明，在同樣的油位高度h下，罐體變位時儲油量V減少.zx0z=HabS(H)z=H下的面積油位高度h時坐標y處z=H

油位高度h時坐標y處的截面面積罐體變位α時油位高度h和儲油量(體積)V的數學模型化重積分為定積分zyxhyH0L1Lα油位計L2V(h,α)z=H高度h與儲油量V的模型D3D2D1yh10L1L2αh2y1y2油位計高度h與儲油量V的模型V(h,α)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74

=4.10的罐容表(部分)按照模型討論變位對罐容表的影響與實驗數據表示的影響一致.變位后儲油量平均約小200L.模型結果與實驗數據的比較

=4.10

=0模型結果與實驗數據基本吻合，而在同樣的油位高度h下，儲油量V的實驗數據均比模型結果小.可以有各種解釋.是否要修正、怎樣修正模型？問題（2）的通常做法1.罐體變位α,β時油位高度h和儲油量V的數學模型hβD1D2D3整體考慮αhVxy0z寫出左右球面、圓柱面及油位高度h的油平面方程.將罐體分為3個區域：D1,D2,D3在3個區域中分別寫出體積的重積分，并化為（對z的）定積分.油平面將罐體分為圓柱體和球缺，圓柱體按照問題（1）考慮z=H下的面積zx0rh'hβz=H截面面積S(y,h,α,β)

圓柱體體積V1

(h,α,β)

0xzyD1D2D3αh將罐體分為圓柱體和球缺，球缺部分單獨考慮精確計算球缺部分體積V2將傾斜角α的油平面近似為水平面（α=0）計算球缺部分體積V2.直接將罐體的球缺部分按照體積不變條件折合成圓柱，一起計算.用各種方法得到罐體體積V(h,α,β),一般是積分表達式,給定α,β,可以數值計算油位高度h時的儲油量V.問題（2）的通常做法2.根據儲油量的數學模型V(h,α,β)和實測數據（附件2）辨識罐體變位參數α,β流水號C進油量/LD出油量/LE顯示油高/mm顯示油量容積/L采集時間備注說明201060.002632.2360448.882010-08-0108:00:49←開始采集（i=0）2020149.092624.3060311.432010-08-0108:15:42i=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！應該用數據ui

,hi與模型V(h,α,β)

辨識參數α,β確定α,β應使儲油量的改變ΔVi

與出油量ui

相吻合！辨識準則確定α,β使Q最小搜索法：按照α,β的可能范圍劃分區間，逐步搜索.直接利用MATLAB的非線性曲線擬合程序lsqcurvefit辨識方法辨識結果ui

,hi取進油前的300組數據h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17

=2.110,β=4.310的修正罐容表(部分)罐體變位后顯示儲油量與實際儲油量的比較模型及結果檢驗

取進油后的300組數據檢驗辨識結果α,β

α,β的靈敏性檢驗α的靈敏度β的靈敏度縱向傾斜角α比橫向偏轉角

β對罐容量的影響顯著得多！一種建立模型V(h,α,β)的新方法xy0zhαhYZX0繞x軸轉動α繞z軸轉動βT2T1=T1T2?αhYZX0VVαxy0zhLdh-r油浮子坐標(0,h-r,L/2-d)過油浮子的油平面方程坐標變換xy0zhrsRVα油位高度h的儲油區域為D油位高度h時的儲油量V定義示性函數利用MATLAB的三重積分程序計算儲油量triplequad(@(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)*cos(b)+z*sin(a)<=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)*(L/2-d)).*(x.^2+y.^2<=r^2).*(z>=-s-sqrt(R^2-x.^2-y.^2)).*(z<=s+sqrt(R^2-x.^2-y.^2)),-r,r,-r,r,-(s+R),s+R)

triplequad(@function,x1,x2,y1,y2,z1,z2)被積函數function在長方體中的三重積分:用于function是示性函數I(x,y,z)的情況:計算時間較長；計算精度受積分域大小的影響.在上述坐標旋轉下罐體縱向傾斜角α為負(β正負無關).

1）罐體變位后儲油量的計算（重積分）：兩端有油和一端有油區域的劃分；積分限的確定；積分順序的選擇。對學生論文缺陷的評述2）用所謂“等效高度”：得出不變位時高度與體積的關系V(h)；變位后根據(主)截面面積不