2023年12月18日第2章自動控制系統的數學模型

2023年12月18日2.1控制系統微分方程的建立2.2非線性系統微分方程的線性化2.3傳遞函數2.4控制系統的結構圖及其等效變換2.5自動控制系統的傳遞函數2.6信號流圖2.7脈沖響應函數2023年12月18日數學模型1.定義：描述系統的輸入、輸出變量以及系統內部各個變量之間關系的數學表達式就稱為控制系統的數學模型。

2.為什么要建立數學模型：對于控制系統的性能，只是定性地了解系統的工作原理和大致的運動過程是不夠的，希望能夠從理論上對系統的性能進行定量的分析和計算。要做到這一點，首先要建立系統的數學模型。它是分析和設計系統的依據。2023年12月18日

另一個原因：許多表面上看來似乎毫無共同之處的控制系統，其運動規律可能完全一樣，可以用一個運動方程來表示，我們可以不單獨地去研究具體系統而只分析其數學表達式，即可知其變量間的關系，這種關系可代表數學表達式相同的任何系統，因此需建立控制系統的數學模型。比如機械平移系統和RLC電路就可以用同一個數學表達式分析，具有相同的數學模型（可以進行仿真研究）。2023年12月18日3.表示形式

（經典控制理論中最常用的）

a.微分方程；b.傳遞函數；

c.頻率特性三種數學模型之間的關系線性系統微分方程傳遞函數頻率特性拉氏變換傅氏變換同一個系統，可以選用不同的數學模型，如研究時域響應時可以用傳遞函數，研究頻域響應時則要用頻率特性。2023年12月18日4.建立方法a.分析計算法分析計算法是根據支配系統的內在運動規律以及系統的結構和參數，推導出輸入量和輸出量之間的數學表達式，從而建立數學模型——適用于簡單的系統。b.工程實驗法工程實驗法是利用系統的輸入--輸出信號來建立數學模型的方法。通常在對系統一無所知的情況下，采用這種建模方法。黑盒輸入輸出2023年12月18日

但實際上有的系統還是了解一部分的，這時稱為灰盒，可以分析計算法與工程實驗法一起用，較準確而方便地建立系統的數學模型。實際控制系統的數學模型往往是很復雜的，在一般情況下，常常可以忽略一些影響較小的因素來簡化，但這就出現了一對矛盾，簡化與準確性。不能過于簡化，而使數學模型變得不準確，也不能過分追求準確性，使系統的數學模型過于復雜。一般應在精度許可的前提下，盡量簡化其數學模型。本章只討論解析法建立系統的數學模型2023年12月18日2.1控制系統微分方程的建立2023年12月18日2.1控制系統微分方程的建立一般步驟（1）分析元件的工作原理和在系統中的作用，確定元件的輸入量和輸出量（必要時還要考慮擾動量），并根據需要引進一些中間變量。（2）根據各元件在工作過程中所遵循的物理或化學定律，按工作條件忽略一些次要因素，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程。常用的定律有：電路系統的基爾霍夫定律、力學系統的牛頓定律和熱力學定律等等。（3）消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動量）關系的微分方程，即元件的數學模型。注：通常將微分方程寫成標準形式，即將與輸入量有關的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數項均按降階順序排列。2023年12月18日

機械系統指的是存在機械運動的裝置，它們遵循物理學的力學定律。機械運動包括直線運動（相應的位移稱為線位移）和轉動（相應的位移稱為角位移）兩種。例一個由彈簧-質量-阻尼器組成的機械平移系統如圖所示。m為物體質量，k為彈簧系數，f

為粘性阻尼系數，外力F(t)為輸入量，位移x(t)為輸出量。列寫系統的運動方程。

xmFk2.1.1機械系統2023年12月18日解在物體受外力F的作用下，質量m相對于初始狀態的位移、速度、加速度分別為x、dx/dt、d2x/dt2

。設外作用力F為輸入量，位移x為輸出量。根據彈簧、質量、阻尼器上力與位移、速度的關系和牛頓第二定律，可列出作用在上的力和加速度之間的關系為

xmFkk和f分別為彈簧的彈性系數和阻尼器的粘性摩擦系數。負號表示彈簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。2023年12月18日2.1.2電氣系統

電氣系統中最常見的裝置是由電阻、電感、電容、運算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網絡。僅由電阻、電感、電容(無源器件)組成的電氣網絡稱為無源網絡。如果電氣網絡中包含運算放大器(有源器件)，就稱為有源網絡。例由電阻R、電感L和電容C組成無源網絡。ui輸入，uo輸出，求微分方程。－LCui(t)uo(t)i(t)+－+R2023年12月18日解設回路電流為i(t)如圖所示。由基爾霍夫電壓定律可得到式中i(t)是中間變量。i(t)和uo(t)的關系為消去中間變量i(t)，可得－LCui(t)uo(t)i(t)+－+R2023年12月18日

比較上面兩個例子可見，雖然它們為兩種不同的物理系統，但它們的數學模型的形式卻是相同的，我們把具有相同數學模型的不同物理系統稱為相似系統，例如上述RLC串聯網絡系統和彈簧-質量-阻尼器系統即為一對相似系統，故可用電子線路來模擬機械平移系統。在相似系統中，占據相應位置的物理量稱為相似量。2023年12月18日2.2非線性系統微分方程的線性化2023年12月18日

非線性微分方程的求解很困難。忽略弱非線性環節（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統線性工作范圍以內，則它們對系統的影響很小，就可以忽略）。在一定條件下，可以近似地轉化為線性微分方程，可以使系統的動態特性的分析大為簡化。實踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問題，有很大的實際意義。2023年12月18日2.2.1小偏差線性化的概念

（小偏差法，切線法，增量線性化法）偏微法基于一種假設，就是在控制系統的整個調節過程中，各個元件的輸入量和輸出量只是在平衡點附近作微小變化。這一假設是符合許多控制系統實際工作情況的，因為對閉環控制系統而言，一有偏差就產生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡點附近。因此，對于不太嚴重的非線性系統，可以在一定的工作范圍內線性化處理。工程上常用的方法是將非線性函數在平衡點附近展開成泰勒級數，去掉高次項以得到線性函數。2023年12月18日2.2.2舉例①一個自變量y=f(r)r—元件的輸入信號，y—元件的輸出信號0r0r0+△ry0y0+△yyAB略去高次項，設原運行于某平衡點（靜態工作點）A點：r=r0,y=y0,且y0=f(r0)B點：當r變化△

r，

y=y0+△

y函數在（r0,y0

）點連續可微，在A點展開成泰勒級數，即2023年12月18日②兩個自變量

y=f(r1，r2)靜態工作點：

y0=f(r10，r20)在y0=f(r10，r20)附近展開成泰勒級數，即函數變化與自變量變化成線性比例關系。2023年12月18日2.2.3

系統線性化的條件及步驟

1.條件①系統工作在正常的工作狀態，有一個穩定的工作點;②在運行過程中偏離且滿足小偏差條件;

③在工作點處，非線性函數各階導數均存在，即函數屬于單值、連續、光滑的非本質非線性函數。

2023年12月18日2.建立步驟①按系統數學模型的建立方法，列出系統各個部分的微分方程。②確定系統的工作點，并分別求出工作點處各變量的工作狀態。③對存在的非線性函數，檢驗是否符合線性化的條件，若符合就進行線性化處理。④將其余線性方程，按增量形式處理，其原則為：對變量直接用增量形式寫出；對常量因其增量為零，故消去此項。⑤聯立所有增量化方程，消去中間變量，最后得只含有系統總輸入和總輸出增量的線性化方程。

2023年12月18日2.2.4

關于線性化的幾點說明

①線性化方程中的參數與選擇的工作點有關，因此，在進行線性化時，應首先確定系統的靜態工作點。②實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內變化。③若非線性特性是不連續的不能采用上述方法。④線性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。2023年12月18日2.3傳遞函數2023年12月18日2.3.1傳遞函數的定義和性質一個控制系統性能的好壞，取決于系統的內在因素，即系統的結構參數，而與外部施加的信號無關。因而，對于一個控制系統品質好壞的評價可以通過對系統結構參數的分析來達到，而不需要直接對系統輸出響應進行分析。

傳遞函數是在拉氏變換基礎之上引入的描述線性定常系統或元件輸入、輸出關系的函數。它是和微分方程一一對應的一種數學模型，它能方便地分析系統或元件結構參數對系統響應的影響。2023年12月18日1.定義零初始條件下，線性定常系統輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統的傳遞函數，記為G(s)，即：意義：2023年12月18日

傳遞函數的求法

線性定常系統（環節）的一般表達式（零初始條件）2023年12月18日當初始條件為零時，對上式進行拉氏變換后可得傳遞函數為例2.3求圖示RC電路的傳遞函數，其中ui(t)是輸入電壓，uo(t)是輸出電壓

解由基爾霍夫電壓定律可得2023年12月18日2.關于傳遞函數的幾點補充說明

（1）傳遞函數只適用于線性定常系統。（2）傳遞函數表達式中各項系數的值完全取決于系統的結構和參數，并且與微分方程中各導數項的系數相對應。（3）實際系統傳遞函數中分母多項式的階數n總是大于或等于分子多項式的階數m

，即n≥m。通常將分母多項式的階數為n的系統稱為n階系統。（4）傳遞函數只能表示單輸入、單輸出的關系。2023年12月18日上式中Kg──零極點形式傳遞函數的根軌跡增益；

-zi──分子多項式M(s)=0的根，稱為零點；

-pj

──分母多項式N(s)的根，稱為極點。N(s)=0是控制系統的特征方程式。－zi、－pj可為實數、虛數、或復數。若為虛數、或復數，必為共軛虛數、或共軛復數。（5）零極點表示法2023年12月18日（6）時間常數表示法上式中τi──分子各因子的時間常數；

Tj──分母各因子的時間常數；

K──時間常數形式傳遞函數的增益；通常稱為傳遞系數。2023年12月18日一般形式2023年12月18日2.3.2用復阻抗法求電網絡的傳遞函數元件名稱電路形式元件微分方程阻抗傳遞函數電阻R

電容C電感L

求取無源網絡或電子調節器的傳遞函數，采用阻抗法求取更為方便。下表列出了電路中電阻、電容和電感的阻抗傳遞函數。2023年12月18日

解：令例2.5求圖示電路的傳遞函數

則2023年12月18日

一個系統可看成由一些環節組成的，可能是電氣的，機械的，液壓的，氣動的等等。盡管這些系統的物理本質差別很大，但是描述他們的動態性能的傳遞函數可能是相同的。如果我們從數學的表達式出發，一般可將一個復雜的系統分為有限的一些典型環節所組成，并求出這些典型環節的傳遞函數來，以便于分析及研究復雜的系統。控制系統中常用的典型環節有，比例環節、慣性環節、微分環節、積分環節和振蕩環節等。以下介紹這些環節的傳遞函數及其推導。2.3.3典型環節及其傳遞函數2023年12月18日方框圖：K1.比例環節（放大環節）

特點：輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時。

舉例：這種類型的環節很多，機械系統中略去彈性的杠桿、作為測量元件的測速發電機(輸入為角速度，輸出為電壓時)以及電子放大器等，在一定條件下都可以認為是比例環節。2023年12月18日例如圖a所示的電壓分壓器即為一典型比例環節，當輸入量r(t)為階躍變化信號時，輸出量y(t)的變化如圖b所示2023年12月18日方框圖：1/(Ts+1)2.慣性環節

特點：慣性環節的特點是其輸出量不能立即跟隨輸入量變化，存在時間上的延遲。其中時間常數越大，環節的慣性越大，則延遲的時間也越長。

2023年12月18日1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tr(t)ty(t)例設輸入信號為單位階躍信號，其拉普拉斯變換，則得輸出量的拉普拉斯變換表達式為在單位階躍輸入信號的作用下，慣性環節的輸出信號是指數函數。當時間t=(3~4)T時，輸出量才接近其穩態值。

2023年12月18日特點：輸出正比于輸入對時間的積分。3.積分環節方框圖：1/s2023年12月18日例

積分調節器電路

在單位階躍輸入信號的作用下，輸出量的拉普拉斯變換表達式為輸出量隨時間成正比地無限增加

2023年12月18日4.二階振蕩環節2023年12月18日方框圖：特點：

1、含有兩種形式的儲能元件，并能將儲存的能量相互轉換。如動能與位能、電能與磁能間轉換。

2、能量轉換過程中使輸出產生振蕩。

振蕩環節階躍響應2023年12月18日例無源RLC網絡，輸入r(t)，輸出y(t)。解：2023年12月18日5.微分環節這些微分環節的傳遞函數沒有極點，只有零點。純微分環節的零點為零，一階微分環節和二階微分環節的零點分別為實數和一對共軛復數。2023年12月18日例具有慣性環節的微分環節解：當τ<<1時，才近似為純微分環節。2023年12月18日6.

延遲環節方框圖：將延遲環節的傳遞函數展開為泰勒級數：當延遲時間很小時，可近似為慣性環節：2023年12月18日特點：

1、輸出和輸入相同僅延遲時間τ；不失真

2、與其他環節同時存在。人體、計算機系統、液壓機械傳動、氣動傳動。原因：延時效應。信號輸入環節后，由于環節傳遞信號的速度有限。輸出響應要延遲一段時間τ才能產生。2023年12月18日說明:

（1）對應同一元件（或系統），可以取不同的量作為輸出量和輸入量，所得到的傳遞函數是不同的。（2）對于復雜的控制系統，在建立系統或被控對象的數學模型時，將其與典型環節的數學模型對比，即可知其由什么樣的典型環節組成。由于典型環節的動態性能和響應是已知的，因而給分析、研究系統性能提供很大的方便。（3）典型環節的概念只適用于能夠用線性定常數學模型描述的系統。2023年12月18日2.4控制系統的結構圖及其等效變換2023年12月18日2.4.1結構圖的基本概念

系統結構圖又稱方塊圖，是將系統中所有的環節用方塊來表示，按照系統中各個環節之間的聯系，將各方塊連接起來構成的；方塊的一端為相應環節的輸入信號，另一端為輸出信號，用箭頭表示信號傳遞的方向，并在方塊內標明相應環節的傳遞函數。表明了系統的組成、信號的傳遞方向；表示出了系統信號傳遞過程中的數學關系；可揭示、評價各環節對系統的影響；易構成整個系統，并簡化寫出整個系統的傳遞函數；直觀、方便（圖解法）。2023年12月18日2.4.2組成④相加點（綜合點、比較點）

相同性質的信號進行去取代數和（相同量綱的物理量）G(s)R(s)Y(s)①方塊：一個元件（環節）②信號流線：箭頭表示信號傳遞方向③分支點：信號多路輸出且相等2023年12月18日2.4.3建立步驟：（1）列出描述每個元件的拉普拉斯變換方程。（2）以構成結構圖的基本要素表示每個方程，并將各環節的傳遞函數填入方塊圖內；將信號的拉普拉斯變換標在信號線附近。（3）按照系統中信號傳遞的順序，依次將各環節的結構圖連接起來，便構成系統的結構圖。G

(s)H(s)R(s)+Y(s)相加點分支點一個負反饋系統的結構圖2023年12月18日2.4.4結構圖的等效變換

G1(s)G3(s)G2(s)1.環節的合并（1）串聯G1(s)G2(s)G3(s)2023年12月18日（2）并聯G1(s)G2(s)G3(s)G1(s)+G2(s)+G3(s)2023年12月18日（3）反饋G1(s)H(s)2023年12月18日2.信號相加點及分支點的移動

在對系統進行分析時，為了簡化系統的結構圖，常常需要對信號的分支點或相加點進行變位運算，以便消除交叉，求出總的傳遞函數。變位運算的原則是，輸入和輸出都不變。變換前后的方框圖是等效的。2023年12月18日G(s)G(s)1/G(s)G(s)G(s)G(s)（1）相加點（對信號求和）2023年12月18日（2）分支點（信號由某一點分開）G(s)G(s)G(s)G(s)G(s)1/G(s)2023年12月18日（3）分支點之間可任意互換，相加點之間可互換（但注意前后符號一致）。（4）相加點和分支點之間一般不能互換變位2023年12月18日總結：上面這些規則都是根據下列兩條原則得到的，即①變換前與變換后前向通道中傳遞函數的乘積必須保持不變；（前向傳函不變）②變換前與變換后回路中傳遞函數的乘積必須保持不變。（開環傳函不變）2023年12月18日注意：

有些實際系統，往往是多回路系統，形成回路交錯或相套。為便于計算和分析，常將種復雜的方框圖簡化為較簡單的方框圖。①結構圖簡化的關鍵是解除各種連接之間，包括環路與環路之間的交叉，應設法使它們分開，或形成大環套小環的形式。②解除交叉連接的有效方法是移動相加點或分支點。一般，結構圖上相鄰的分支點可以彼此交換，相鄰的相加點也可以彼此交換。但是，當分支點與相加點相鄰時，它們的位置就不能作簡單的交換。2023年12月18日例2.9

簡化下圖，求出系統的傳遞函數。解圖2.31是具有交叉連接的結構圖。為消除交叉，可采用相加點、分支點互換的方法處理。（1）將相加點a移至G2之后2023年12月18日（2）再與b點交換（3）因G4與G1G2并聯，G3與G2H是負反饋環節2023年12月18日（4）上圖兩環節串聯，函數相乘后得系統的傳遞函數為注：①以上為原系統的閉環傳遞函數，不是開環系統的傳遞函數是閉環系統簡化的結果；②分母中不能看成原閉環系統的開環傳遞函數，閉環系統開環傳遞函數應根據定義和具體框圖定。2023年12月18日歸納規律：通過上述例子，可以看到如果滿足以下兩個條件：①所有回路兩兩相互接觸；②所有回路與所有前向通道接觸。則可以得到以下幾條簡化結構圖的規律：閉環系統傳遞函數是一個有理分式負反饋取“+”正反饋取“－”式中，

m是前向通道的條數，n是反饋回路數。2023年12月18日例2.10

試簡化下圖所示系統的結構圖，并求系統的傳遞函數有一條前向通道：G1G2G3G4反饋回路開環傳遞函數：G1G2G3G4H1，G3G4H3，G2G3H2前向通道與反饋回路兩兩接觸所以2023年12月18日2.5自動控制系統的傳遞函數2023年12月18日

輸入量、干擾量同時作用于線性系統G1(s)G2(s)H(s)反饋控制系統的典型結構

2023年12月18日2.5.1開環傳遞函數注：開環傳遞函數并非指開環控制系統的傳遞函數，而是指閉環系統斷開反饋點后整個環路的傳遞函數。

2023年12月18日1.給定輸入作用下的閉環傳遞函數令D(s)=0G1(s)G2(s)H(s)2.5.2閉環系統的傳遞函數2023年12月18日2.擾動作用下的閉環傳遞函數令R(s)=0G1(s)G2(s)H(s)2023年12月18日3.總輸出2023年12月18日2.5.3閉環系統的偏差傳遞函數1.給定輸入作用下的偏差傳遞函數令D(s)=02023年12月18日2.擾動作用下的偏差傳遞函數令R(s)=03.總偏差2023年12月18日——閉環系統的特征多項式——閉環系統的特征方程。其根稱為閉環系統的特征根或閉環系統的極點。

★2023年12月18日2.6信號流圖2023年12月18日2.6.1信號流圖的基本要素節點——代表系統中的一個變量或信號。用符號“

”表示。支路——是連接兩個節點的定向線段。用符號“→”表示，其中的箭頭表示信號的傳送方向。傳輸——亦稱支路增益，支路傳輸定量地表明變量從支路一端沿箭頭方向傳送到另一端的函數關系。用標在支路旁邊的傳遞函數“G”表示支路傳輸。

2023年12月18日2.6.2信號流圖的常用術語1．節點及其類別源節點只有輸出支路而無輸入支路的節點稱為源節點或輸入節點，對應于系統的輸入變量，如圖2.40中的R、D。阱節點只有輸入支路而無輸出支路的節點稱為阱節點或輸出節點，它對應于系統的輸出變量，如圖2.40中的C。混合節點既有輸入支路又有輸出支路的節點稱為混合節點，如圖2.40中的E、P

、Q。2023年12月18日2．通道及其類別通道凡從某一個節點開始，沿著支路箭頭方向連續經過一些支路而終止于另一節點（或同一節點）的路徑，如圖2.40中REPQC、DPG2QC、PG2QHE等。前向通道從源節點開始并且終止于阱點，與其它節點相交不多于一次的通道，如圖2.40中的REPQC、DPG2QC

等。回路通道的起點和終點是同一節點，并且與其它任何節點相交不多于一次的閉合路徑，如圖2.40中的EPQHE。只與一個節點相交的回路，稱為自回路。不接觸回路信號流圖中，沒有任何共同節點的回路，稱為不接觸回路或互不接觸回路。

2023年12月18日3．傳輸及其類別通道傳輸通道中各支路傳輸的乘積稱為通道的傳輸。回路傳輸回路中各支路傳輸的乘積，稱為回路的傳輸。前向通道傳輸前向通道中各支路傳輸的乘積稱為前向通道的傳輸。2023年12月18日2.6.3信號流圖的性質1．信號流圖只能用來表示代數方程組。2．節點把所有輸入信號疊加，傳到所有的輸出支路。3．信號只能沿支路的肩頭方向流通，后一個節點對前一個節點沒有負載效應（即無反作用）。4．對于給定的系統，信號流圖不是唯一的。2023年12月18日2.6.4信號流圖的等效變換法則2023年12月18日2.6.5梅遜（Mason）公式