第第頁人教版九年級數(shù)學上冊《一元二次方程》重難點題型練習-附帶答案專題簡介：本份資料專攻《一元二次方程》中“判斷一元二次方程的個數(shù)”、“利用一元二次方程的概念求字母的值”、“一元二次方程的一般形式”、“利用一元二次方程的解求字母的值”、“利用一元二次方程的解求代數(shù)式的值”、“賦值法求一元二次方程的定根”、“根據(jù)面積問題列一元二次方程”、“根據(jù)實際問題列一元二次方程”重點題型；適用于老師給學生作復習培訓時使用或者考前刷題時使用?？键c1：判斷一元二次方程的個數(shù)方法點撥：一元二次方程需滿足三個條件：一是整式方程二是只含一個未知數(shù)三是含未知數(shù)項的最高指數(shù)是2。1．（2021·全國·八年級課時練習）下列方程中一元二次方程的個數(shù)為（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義直接判斷即可．【詳解】解：是一元二次方程；含有兩個未知數(shù)不是一元二次方程；未知數(shù)在根號內(nèi)不是一元二次方程；未知數(shù)在分母中不是一元二次方程；故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義明確只含有一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次為2次的整式方程是一元二次方程是解題關鍵．2．（2021·全國·九年級課時練習）下面關于的方程中：①；②；③；④（為任意實數(shù)）；⑤．一元二次方程的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證滿足這四個條件者為正確答案．【詳解】解：①時不是一元二次方程；②是一元二次方程；③是分式方程；④為任意實數(shù)）是一元二次方程；⑤是根式方程是無理方程不是一元二次方程；綜上所述一元二次方程的個數(shù)是2個故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念判斷一個方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．3.（2021春?倉山區(qū)校級月考）下列關于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x24＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行解答即可．【解答】解：①ax2+bx+c＝0當a＝0時該方程不是一元二次方程；②x24＝0屬于分式方程；③2x2﹣3x+1＝0符合一元二次方程的定義；④x2﹣2+x3＝0的最高次數(shù)是3屬于一元三次方程；綜上所述其中一元二次方程的個數(shù)是1個．故選：A．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．4．（2021·全國·九年級專題練習）判斷下列各式是一元二次方程的是________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：①不是方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④不是整式方程故不是一元二次方程；⑤含有2個未知數(shù)不是一元方程；⑥；是一元二次方程；⑦化簡后沒有二次項不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定義．故答案為：②③⑥．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的辨別熟練掌握一元二次方程的定義是解答此題的關鍵．考點2：利用一元二次方程的概念求字母的值方法點撥：只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.時刻記住一元二次方程中二次項系數(shù)不能等于0。1．（2021·廣西·八年級階段練習）已知關于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1【答案】D【分析】只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】解：∵關于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程∴m﹣1≠0∴m≠1故選：D【點睛】本題考查了一元二次方程的定義熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．2．（2022·江蘇江蘇·九年級期末）若方程是關于x的一元二次方程則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個未知數(shù)可得答案．【詳解】解：由得到．根據(jù)題意得m-2≠0．解得m≠2．故選：C．【點睛】本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．3．（2021·北京密云·八年級期末）已知（m+1）x2+5x﹣3＝0是關于x的一元二次方程則m的取值范圍是_____．【答案】m≠﹣1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式由二次項的系數(shù)a≠0即可解答．【詳解】解：∵（m+1）x2+5x﹣3＝0是關于x的一元二次方程∴m+1≠0解得：m≠﹣1故答案為：m≠﹣1．【點睛】本題考查一元二次方程的有關概念熟知一元二次方程成立的條件是解答的關鍵．4．（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）若關于x的方程是一元二次方程則______．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程叫做一元二次方程）即可得．【詳解】解：由題意得：解得故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程熟記定義是解題關鍵．5．（2022·云南·紅河縣教育科學研究室九年級期末）若關于x的方程是一元二次方程則m的取值范圍是__________．【答案】##【分析】根據(jù)一元二次方程存在的條件求解即可．【詳解】解：∵關于x的方程是一元二次方程∴m－3≠0即m≠3故答案為：m≠3．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念一元二次方程需滿足：整式方程、化簡后只含一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2、二次項系數(shù)不為0．6．（2022·山東煙臺·八年級期中）若關于x的一元二次方程的常數(shù)項為0則m的值為__________．【答案】【分析】由題可知該一元二次方程的二次項系數(shù)且常數(shù)項由此可解得的值．【詳解】解：關于的一元二次方程的常數(shù)項為解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念充分理解一元二次方程各項系數(shù)的位置與要求是解決本題的關鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級期末）若方程ax2+2x-1=2x2是關于x的一元二次方程則a的取值范圍是_____．【答案】a≠2【分析】先化成一元二次方程的一般形式根據(jù)一元二次方程的定義得出a-2≠0求出即可．【詳解】解：ax2+2x-1=2x2（a-2）x2+2x-1=0∵關于x的方程ax2+2x-1=2x2是一元二次方程∴a-2≠0即a≠2故答案為：a≠2．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義能熟記一元二次方程的定義的內(nèi)容是解此題的關鍵．8．（2021·山東·汶上縣南站中學九年級階段練習）若（m＋1）xm（m－2）－1＋2mx－1＝0是關于x的一元二次方程則m的值是________．【答案】3【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式再求解即可．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程∴即解得m＝3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義解一元二次方程解題的關鍵在于熟知一元二次方程的定義．考點3：一元二次方程的一般形式方法點撥：一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。其中ax2叫作二次項a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項

。1．（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）將方程化成的形式則abc的值分別為（

）A．351 B．35-1 C．3-5-1 D．3-51【答案】D【分析】將一元二次方程化成一般式即可得出結論．【詳解】解：可化為∴a=3b=-5c=1．故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式熟練掌握其形式是解決問題的關鍵．2．（2022·河北承德·九年級期末）一元二次方程的常數(shù)項是（

）A．－1 B．1 C．－6 D．6【答案】A【分析】化成一元二次方程的一般形式就可以解決本題．【詳解】解：原方程可化為：．是二次項系數(shù)為2；-6x是一次項-6是一次項系數(shù)；-1是常數(shù)項．故選：A．【點睛】考查了一元二次方程的一般形式：++=0．是二次項a是二次項系數(shù)；是一次項b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．把握一元二次函數(shù)的一般形式和各項系數(shù)的符號是解決本題的關鍵．3．（2022·山東濟寧·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】A【分析】先化成一元二次方程的一般形式再得出答案即可．【詳解】解∶∵∴∴一元二次方程的二次項系數(shù)是1．故選∶A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式能熟記一元二次方程的一般形式的特點是解此題的關鍵注意：項的系數(shù)帶著前面的符號．4．（2022·天津濱海新·九年級期末）一元二次方程化成一般形式后它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將原方程化為一般形式進而作答即可．【詳解】一元二次方程化成一般形式為：它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是5-4故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式即一元二次方程的一般形式是：(abc是常數(shù)且a

≠

0)特別要注意a≠

0的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點在一般形式中叫二次項叫一次項c是常數(shù)項其中abc分別叫二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項．5．（2022·全國·九年級單元測試）將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________其中二次項系數(shù)為________一次項系數(shù)為________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【分析】將方程展開化簡后即可求解．【詳解】將開展為一般形式為：；則可知一次項系數(shù)為5二次項系數(shù)為3故答案為：35．【點睛】本題主要考查了將一元二次方程化為最簡式以及判斷方程各項系數(shù)的知識熟記相關考點概念是解答本題的關鍵．6．（2021·全國·九年級課時練習）將下列方程化成一元二次方程的一般形式并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）二次項系數(shù)為5一次項系數(shù)為－4常數(shù)項為－1；（2）二次項系數(shù)為4常數(shù)項為－81；（3）二次項系數(shù)為4一次項系數(shù)為8常數(shù)項為－25；（4）二次項系數(shù)為3一次項系數(shù)為－7常數(shù)項為1【分析】（1）移項即可；（2）移項即可；（3）去括號移項即可；（4）去括號移項合并同類項即可．【詳解】解：（1）移項得：∴二次項系數(shù)為5一次項系數(shù)為－4常數(shù)項為－1；（2）移項得：∴二次項系數(shù)為4常數(shù)項為－81；（3）去括號得：移項得：∴二次項系數(shù)為4一次項系數(shù)為8常數(shù)項為－25；（4）去括號得：移項合并得：∴二次項系數(shù)為3一次項系數(shù)為－7常數(shù)項為1．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般式能夠準確將方程整理為一元二次方程的一般式是解題的關鍵．考點4：利用一元二次方程的解求字母的值方法點撥：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根。從方程的根入手將其代入進而構造出一個新的等式或方程來求解字母的值。1．（2022·云南文山·九年級期末）如果3是關于x的方程的一個根那么c的值為（

）A． B． C．9 D．【答案】C【分析】把x=3代入原方程即可求得c的值．【詳解】∵x=3是關于x的方程x2-c=0的一個根∴32-c=0解得c=9．故選：C．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．2．（2022·全國·九年級單元測試）已知-2是關于x的一元二次方程x2-mx+2＝0的一個根則m的值是（

）A．2 B．-2 C．- D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義將x＝﹣2代入已知方程列出關于m的新方程通過解新方程即可求得m的值．【詳解】解：根據(jù)題意得（﹣2）2﹣（﹣2）m+2＝0即4+2m＝0解得m＝﹣2；故選：B．【點睛】本題主要考查了方程的解的定義方程的根即方程的解就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2022·山東淄博·八年級期中）若一元二次方程有一個解為則k為（

）A． B．1 C． D．0【答案】C【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程k2-1=0解關于k的方程然后利用一元二次方程的定義確定k的值．【詳解】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0解得k1=1k2=-1而k-1≠0所以k=-1．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．4．（2022·四川資陽·九年級期末）若是關于的一元二次方程的解則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義、一元二次方程的定義求解把x＝0代入一元二次方程即可得出m的值．【詳解】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0解得：m＝±1∵m﹣1≠0∴m≠1m＝﹣1故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義、一元二次方程的定義解題的關鍵是運用一元二次方程解的定義易得出m的值但不能忽視一元二次方程成立的條件m﹣1≠0．5．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）關于x的一元二次方程的實數(shù)根中有一個是4則_________．【答案】8【分析】根據(jù)方程解的定義把x=4代入方程求出m問題得解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的實數(shù)根中有一個是4∴∴m=8．故答案為：8【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義一元二次方程的解又叫根理解方程解的定義是解題關鍵．6．（2022·四川成都·九年級期末）已知x＝2是關于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根則實數(shù)k的值為_____．【答案】【分析】將x=2代入方程得關于k的方程解之可得．【詳解】解：將x=2代入方程得：22+2k-2=0解得：k=-1故答案為：-1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解的定義和解方程的能力掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關鍵．7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·一模）若關于x的一元二次方程的一個根是2則________．【答案】-2【分析】把x=2代入方程即可求得．【詳解】解：把x=2代入方程得4-2a-8=0解得a=-2故答案為：-2【點睛】本題考查了利用方程的解求參數(shù)問題熟練掌握和運用利用方程的解求參數(shù)的方法是解決本題的關鍵．8．（2022·天津北辰·九年級期末）已知關于x的一元二次方程的一個根是則__________．【答案】-2【分析】將一元二次方程的根代入該一元二次方程再求解即可．【詳解】解：將代入得：解得：．故答案為：-2．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知數(shù)的值是解題關鍵．9．（2022·廣東·汕頭市潮陽區(qū)教師發(fā)展中心教學研究室一模）已知=2是關于的一元二次方程2（2m+3）+m2+3m+2=0的一個根求m的值．【答案】0或1【分析】將x=2代入方程直接求解m的值即可．【詳解】解：∵x=2是方程的一個根∴∴∴m=0或m=1【點睛】本題考查解一元二次方程熟練掌握相關知識是解題的關鍵．考點5：利用一元二次方程的根求代數(shù)式的值方法點撥：利用一元二次方程的根進行代數(shù)式的化簡求值的解題思路：把方程的根代入方程得到有固定值的代數(shù)式；把需要求解的代數(shù)式進行化簡里面必須含有固定值的代數(shù)式；把有固定值的代數(shù)式的值代入化簡后的代數(shù)式直接求解或繼續(xù)進行化簡直到得到題目需要求解的值。1．（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解則－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【答案】A【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個解將x=2代入原方程即可求得2b-c的值從而得解．【詳解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個根∴4+2b-c=0∴2b-c=-4．∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義．解題的關鍵是將x=2代入原方程利用整體思想求解．2．（2022·重慶·西南大學附中八年級期中）若是關于x的一元二次方程的一個根則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=2代入方程得4a-b=2再把變形為2+2（4a-b）最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程的一個根∴4a-2-b=0∴4a-b=2∴故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解將代數(shù)式進行適當變形是解答本題的關鍵．3．（2022·重慶市松樹橋中學校模擬預測）已知是關于的一元二次方程的一個根則代數(shù)式的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案．【詳解】解：∵x=m是x2-x-1=0的一個根∴m2-m-1=0即m2-m=1∴3m2-3m-4=3(m2-m)-4=3×1-4=-1故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義解題的關鍵是熟練運用整體的思想本題屬于基礎題型．4．（2022·湖南婁底·二模）若a是的一個根則的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】由是方程的一個根得由此可求得的值．【詳解】解：是方程的一個根即．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解熟知一元二次方程的解與一元二次方程的關系是解題的關鍵．5．（2022·甘肅平?jīng)觥ざ＃┮阎且辉畏匠痰囊粋€根則代數(shù)式的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【分析】根據(jù)方程的根求得再將代數(shù)式變形為即可解答；【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根∴∴代數(shù)式==故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根代數(shù)式求值；結合方程的形式將代數(shù)式變形是解題關鍵．6．（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）已知是方程的一個根則______．【答案】2020【分析】把x=1代入方程得到1+a-b=0易得a-b=-1然后整體代入求值即可．【詳解】根據(jù)題意把x=1代入方程得到1+a-b=0則a-b=-1∴a-b+2021=-1+2021=2020故答案為：2020．【點睛】本題考查了一元二次方程的解能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．7．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模）設是方程的兩個實數(shù)根則的值為________．【答案】-1【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到則原式可化簡為然后根據(jù)根與系數(shù)的關系得到再利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：是方程的兩個實數(shù)根則且則∴．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程（≠0）的兩根時．也考查了一元二次方程的解．8．（2022·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知實數(shù)a是一元二次方程x2?2022x+1=0的一實數(shù)根則代數(shù)式a2?2021a?的值為______________．【答案】-1【分析】利用方程解的定義得到a2=2022a-1然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．【詳解】解：∵a是方程x2?2022x+1=0的一實數(shù)根∴a2-2022a+1=0∴a2=2022a-1∴a2?2021a?=2022a-1-2021a-=a-1-a=-1．故答案是：-1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．9．（2022·廣東·佛山市華英學校九年級期中）設a為一元二次方程的一個實數(shù)根___________．【答案】4046【分析】根據(jù)一元二次方程的解得到等式再進行等價變形后代入所求代數(shù)式即可．【詳解】解：∵a為一元二次方程的一個實數(shù)根∴．∴．∴．故答案為：4046．【點睛】本題考查一元二次方程的解代數(shù)式求值熟練掌握這些知識點是解題關鍵．10．（2022·山東煙臺·八年級期中）m是方程的根則代數(shù)式的值是__________．【答案】-2018【分析】先根據(jù)一元二次方程的根的定義可得再作為整體代入即可得．【詳解】根據(jù)m是的根可得：則有則原式故答案為：-2018．【點睛】本題考查了一元二次方程的根、代數(shù)式求值掌握理解一元二次方程的根的定義是解題關鍵．考點6：賦值法求一元二次方程的定根方法點撥：通過分析題干中各數(shù)據(jù)的關系針對性地對其中一個或多個數(shù)據(jù)進行賦值從而簡化計算的步驟和難度。1．（2022·山東聊城·二模）關于x的一元二次方程如果有一個根為0那么另一個根為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】把x=0代入方程中求得a的值現(xiàn)a的值代入方程中并解方程即可求得另一個根．【詳解】∵x=0是關于x的一元二次方程的一個根∴a=1則原方程為即解得：∴方程的另一個根為故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程解的概念及解一元二次方程根據(jù)解的概念求得a的值是問題的關鍵；當然本題也可以用一元二次方程根與系數(shù)的關系來解．2．（2021·廣西·河池市宜州區(qū)教育局教學研究室九年級期中）若關于的方程滿足稱此方程為“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程則的值為（

）A．－1 B．2 C．1 D．－2【答案】D【分析】利用新定義得到“月亮”方程的一個解為x=?1則a2+1999a=?1a2+1=?1999a然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據(jù)題意得“月亮”方程的一個解為x=?1∵方程a2x2?1999ax+1=0(a≠0)是“月亮”方程∴a2+1999a+1=0∴a2+1999a=?1a2+1=?1999a∴故選D.【點睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．利用整體代入的方法可簡化計算．3.（2021春?余杭區(qū)月考）若a﹣b+c＝0則一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．無法確定【分析】由a﹣b+c＝0可知把x換成1成立則可求得答案．【解答】解：∵a﹣b+c＝0∴a×12﹣b×1+c＝0∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根為1故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解掌握方程的解使方程左右兩邊相等是解題的關鍵．4.（2021春?唐山月考）關于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0滿足a+b＝2020則方程必有一根為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．無法確定【分析】由于x＝﹣1時有a+b＝2020于是可判斷此方程必有一根為﹣1．【解答】解：當x＝﹣1時a+b﹣2020＝0則a+b＝2020所以若a+b＝2020則此方程必有一根為﹣1．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．5.（2021春?蕭山區(qū)期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021則一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】對于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0設t＝x﹣1得到at2+bt+2＝0利用at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021得到x﹣1＝2021從而可判斷一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2必有一根為x＝2022．【解答】解：對于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0設t＝x﹣1所以at2+bt+2＝0而關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021所以at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021則x﹣1＝2021解得x＝2022所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根為x＝2022．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．6.（2021春?瑤海區(qū)期中）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足3a﹣bc＝0則方程必有一根為．【分析】把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得9a﹣3b+c＝0即可得出答案．【解答】解：當把x＝﹣3代入方程ax2+bx+c＝0能得出9a﹣3b+c＝0即3a﹣bc＝0即方程一定有一個根為x＝﹣3故答案是：x＝﹣3．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的應用．能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根所以一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．考點7：根據(jù)面積問題列一元二次方程方法點撥：幾何圖形的面積問題常見的有兩個類型一個是已知周長求矩形面積這類問題設長或者寬為未知數(shù)把另外一邊用含未知數(shù)的式子表示出來再根據(jù)矩形的面積公式建立方程；另一類就是在矩形花園內(nèi)修路這類題常常通過平移構造新矩形表示出新矩形的長和寬再根據(jù)面積公式列方程。1．（2022·河南·九年級期中）南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步只云闊與長共六十步問闊及長各幾步．”意思是：一塊矩形田地的面積是864平方步它的寬和長共60步問它的寬和長各多少步？設它的寬為x步則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設它的寬為x步則長為(60-x)步根據(jù)面積列出方程即可得出結果．【詳解】解：設它的寬為x步則長為(60-x)步∴x(60-x)=864故選：D．【點睛】題目主要考查一元二次方程的應用理解題意是解題關鍵．2．（2022·山東煙臺·八年級期中）如圖某小區(qū)有一塊長為30m寬為24m的矩形空地計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域修建綠地小明的設計方案如圖所示若設綠地的寬度為m可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空白區(qū)域的面積=矩形空地的面積可得．【詳解】解：設花帶的寬度為xm則可列方程為=×24×30故選：D．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程解題的關鍵是根據(jù)圖形得出面積的相等關系．3．（2022·河南洛陽·一模）春意復蘇鄭州綠化工程正在如火如茶地進行著某工程隊計劃將一塊長64m寬40m的矩形場地建設成綠化廣場如圖廣場內(nèi)部修建三條寬相等的小路其余區(qū)域進行綠化．若使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的80%求小路的寬設小路的寬為xm則可列方程（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】設小路的寬為x米根據(jù)矩形的面積公式（將綠化區(qū)域合成矩形）進而即可列出關于x的一元二次方程．【詳解】設小路的寬為x米則綠化區(qū)域的長為米寬為米∴故選：A．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程解題的關鍵是正確理解題意利用數(shù)形結合的思想將不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形從而找出等量關系正確列出方程．4．（2021·廣東佛山·九年級期中）如圖已知矩形紙張長比寬長2cm小明將其折成飛機假設紙張的寬為xcm在第一步結束后紙張面積為20cm2則下列方程正確的是（

）A．+2x=20 B．x2+=20 C．+2x=20 D．x2+2x=20【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得三角形的高為進而根據(jù)長方形的面積+三角形的面積等于20cm2列出一元二次方程化簡方程即可【詳解】設寬為cm則長為cm如圖所示折疊后面積為cm2整理得：故選A【點睛】本題考查了一元二次方程的應用根據(jù)題意表示出折疊后的圖形的面積是解題的關鍵．5．（2021·貴州黔南·九年級期中）十一期間學校組織了“我愛祖國”作品展．九年級一班小麗同學作了一幅畫畫紙是長方形長50cm寬30cm她又給畫紙鑲了一個四邊寬度相等的鏡框鑲完鏡框后整幅作品的總面積是2400cm2（鏡框與畫紙重合部分不計）求鏡框的寬．設鏡框的寬為xcm．根據(jù)題意可列方程為（）A．（50+2x）（30+2x）＝2400 B．（50+x）（30+x）＝2400C．（50+x）（30+2x）＝2400 D．（50+2x）（30+x）＝2400【答案】A【分析】設鏡框的寬為xcm則整幅作品的長為（50+2x）cm寬為（30+2x）cm根據(jù)整幅作品的總面積是2400cm2即可得出關于x的一元二次方程此題得解．【詳解】解：設鏡框的寬為xcm則整幅作品的長為（50+2x）cm寬為（30+2x）cm依題意得：（50+2x）（30+2x）＝2400．故選：A．【點睛】本題考查一元二次方程的應用理解題意找準等量關系正確列出方程是解答的關鍵．6．（2021·江西景德鎮(zhèn)·九年級期末）我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步）只云闊（寬）不及長一十二步（寬比長少一十二步）問闊及長各幾步？若設闊（寬）為x步則可列方程______．【答案】x（x+12）=864【分析】利用長乘以寬=864列出方程即可得出答案．【詳解】解：設闊（寬）為x步則所列方程為：x（x+12）=864．故答案為：x（x+12）=864．【點睛】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程正確表示出矩形的長是解題關鍵．7．（2022·山西太原·九年級期中）如圖要設計一幅寬25cm長40cm的圖案其中有兩橫兩豎的彩條橫、豎彩條的寬度比是2∶3如果要使彩條所占面積是圖案面積的設每個橫彩條的寬度是2xcm．則根據(jù)題意可列方程為__________________．【答案】(25－4x)(40－6x)＝25×40×(1－)【分析】設每個橫彩條的寬度是2xcm則每個豎彩條的寬度是3xcm根據(jù)彩條所占面積是圖案面積的即可得出關于x的一元二次方程此題得解．【詳解】解：設每個橫彩條的寬度是2xcm則每個豎彩條的寬度是3xcm依題意得：（25-2×2x）（40-2×3x）=25×40×（1-）即（25-4x）（40-6x）=25×40×（1-）故答案為：（25-4x）（40-6x）=25×40×（1-）．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程找準等量關系正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（2022·湖北湖北·九年級期末）如圖利用一面墻（墻的長度不限）用長的籬笆圍成一個面積的矩形場地平行于墻的籬笆應設計為多長？設平行于墻的籬笆長為列方程并化成一般形式為____________．【答案】【分析】由籬笆的總長及平行于墻的籬笆長度可得出垂直于墻的籬笆長為根據(jù)矩形場地的面積為50m2即可得出關于x的一元二次方程再將其化成一般形式此題得解．【詳解】∵籬笆的總長20m平行于墻的籬笆長為xm∴垂直于墻的籬笆長為根據(jù)題意可得：化為一般形式為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程找準等量關系正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．（2021·山西實驗中學九年級期中）一張長為寬為的矩形紙片如圖1所示將這張紙片的四個角各剪去一個邊長相同的正方形后把剩余部分折成一個無蓋的長方體紙盒如圖2所示如果折成的長方體紙盒的底面積為設正方形的邊長為依據(jù)題意可列方程為______．【答案】【分析】設剪去的正方形邊長為xcm那么長方體紙盒的底面的長為（30?2x）cm寬為（20?2x）cm然后根據(jù)底面積是即可列出方程求出即可．【詳解】解：設剪掉的正方形紙片的邊長為x

cm．由題意得

．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用首先要注意讀懂題意正確理解題意然后才能利用題目的數(shù)量關系列出方程．考點8：根據(jù)實際問題列一元二次方程方法點撥：(1)“審”是指讀懂題目弄清題意明確哪些是已知量哪些是未知量以及它們之間的等量關系.(2)“設”是指設未知數(shù)在一道應用題中往往含有幾個未知量應恰當?shù)剡x擇其中的一個未知量用字母x表示然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關系將其他幾個未知量用含x的代數(shù)式表示出來.(3)“列”就是指列方程一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等關系然后列代數(shù)式表示相等關系中的各個量就得到含有未知數(shù)的等式即方程.1．（2022·湖北恩施·二模）截至2022年3月31日電影《長津湖之水門橋》票房已突破37億元．第一天票房約6億元三天后票房累計總收入達24億元如果第二天第三天票房收入按相同的增長率增長增長率設為x．則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設增長率為x根據(jù)第一天的票房收入及前三天的票房收入即可得出關于x的一元二次方程此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意知故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程找準等量關系正確列出一元二次方程是解題的關鍵．2．（2022·湖南益陽·九年級期末）某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品.若每件商品的售價定為元則可賣出件若商店計劃從這批商品中獲取400元的利潤（不計其他成本）求售價．根據(jù)題意下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由銷售問題的數(shù)量關系總利潤＝單件利潤×數(shù)量建立方程求出其解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得（x﹣21）（350﹣10x）＝400故選：B.【點睛】本題考查了銷售問題的數(shù)量關系：總利潤＝單件利潤×數(shù)量的運用列一元二次方程解實際問題的運用解答時由銷售問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵．3．（2022·廣西南寧·二模）《九章算術》中“勾股”章有一個問題：今有戶高多于廣六尺八寸兩隅相去適一丈（1丈＝10尺1尺＝10寸）問戶高、廣各幾何？意思是：已知長方形門的高比寬多6尺8寸門的對角線長1丈那么門的高和寬各是多少？設門的寬為x尺下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設門的寬為x尺則門的高為尺門的對角線長10尺利用勾股定理即可得到關于x的方程．【詳解】解：設門的寬為x尺則門的高為尺門的對角線長1丈