絕密★啟用前

2021屆寧夏吳忠市高三一輪聯考數學(文)試題

注意事頊：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.復數Z滿足(z—2i>(l+i)=2(i為虛數單位)，則復數Z在復平面內對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

答案：D

2

先計算復數z=——+2i,再求其共軌復數，即可求出共軌復數對應的點，進而可得在

1+z

復平面內對應的點所在的象限.

解：由(z—2,>(1+。=2得：

2_2(1-0_2(1-0_.

1+z(l+z)(l-i)2

z=1+z>z=1—i?

所以復數彳在復平面內對應的點為(1,-1),位于第四象限，

故選:D.

2.設集合A={xeZy-4x+3W01,B={x|log2(A--2)<1},則()

A.{x|2<x<3}B.{3}C.{2,3}D.{2,3,4}

答案：B

解出集合A、B,利用交集的定義可求得集合ADB.

解：???A={Z|x&4x?{Z網},

B=|x|log2(x-2)<1}=|x|O<x-2<21=|x|2<x<4},

則AcB={3},

故選：B.

3.已知命題p：“X〉2”是UX2-3X+2>0"的充分不必要條件；命題q：VxeR,

X2+2X+1>0.則下列命題是真命題的是()

A.P、qB.PMC.5p)vqD.

答案：A

解不等式V-3x+220可判斷P的真假，特殊值法可以判斷q的真假，根據復合命題

的真假可得出答案.

解：；/一3%+220的解是xN2或xVl,

“x>2”是“V—3X+2NO”的充分不必要條件，命題p是真命題，rP是假命

題，

?.?當x=-l時，V+2x+l=0,即存在/=-1,使得片+2/+1=0成立，

故命題q是假命題，F是真命題，所以，

A,"V4是真命題；

B,2A夕是假命題；

C,(―是假命題；

D,(―八(—>q)是假命題.

故選：A.

4.已知a,b,c滿足a>b>c,且ac>0,則下列選項中一定能成立的是()

A.ah>acB.c(/?-a)>0C.czZ?(?-c)>0D.ch2>ccr

答案：C

用特殊值排除法和不等式的性質可得答案.

解：取。=—1,h=-2,c=—3,

則a/?=2<ac=3,c。？=—12<ca*=—3排除A、D；

取a=3,b=2,c=l,則c(b-a)=-1<0排除B；

因為a>b>c,且ac>0,所以a、b、c同號，且a>c,

所以a/?(a-c)>0.

故選：C.

5.過拋物線C:y2=8x的焦點尸的直線交拋物線。于A、B兩點,若W目=6,則

\BF\=()

A.9或6B.6或3C.9D.3

答案：D

設點A為第一象限內的點，設點A(%,%)、B(x2,y2),利用拋物線的定義可求得點A

的坐標，進而可求得直線A8的方程，將直線A8的方程與拋物線。的方程聯立，由韋

達定理可求得點8的橫坐標，進而可求得忸目.

解：設點A為第一象限內的點，設點A(~,y)、B(占,%)，則玉>0，另>0，

則由題意可得：點*2,0),|AF|=%+2=6,則玉=4,由3=8%,得y=4也，

所以砥6=逑=2夜，直線方程為y=20(x-2),

將直線AB的方程代入y2=8x化簡得Y-5》+4=(.所以9=1,所以

|BF\=x2+2=3,

故選：D.

點評：結論點睛：過拋物線丁=23(〃>0)焦點尸的弦AB,點A在第一象限，直線

AB的傾斜角為。.

(1)此心

21Pl.

(2)

1^1=sin20'

112

-------------------

\AF\|BF|p-

6.已知非零向量公石滿足"=2慟，且6-揚,坂，則2與坂的夾角為

兀2兀52

A.-B.7-1C.—D.——

6336

答案：B

本題主要考查利用平面向量數量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉化與化歸、

數學計算等數學素養.先由得出向量Z,萬的數量積與其模的關系，再利用向

量夾角公式即可計算出向量夾角.

解：因為(a—。)_1_力,所以(a—b)?b=a?B—b=0<所以￡.方=，所以

ab|殲1兀

c0'=Z雨='而=5'所以"與'的夾角為故選民

點評：對向量夾角的計算，先計算出向量的數量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公

式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為［0,兀］.

7.數列｛q｝是等差數列，S”為其前〃項和，且“<0,<0,

?2020-a202a0，則使S"＜0成立的最大正整數〃是()

A.2020B.2021C.4040D.4041

答案：C

分析出%)20＜。，4021＞。，計算得出§4041＞。，S4Mo＜0,即可得解.

解：設數列｛%｝的公，差為d,由＜。，。2020+/021＜。，。2020，"202]＜。，

可知4020＜。，《2021＞。，所以"〉0,數列｛4｝為遞增數列，

5.=竺"竽城=404孫陽＞0，

S4Mo=2020(4+4040)=2020(033+%)2])＜0,所以可知〃的最大值為4040.

故選：C.

點評：關鍵點點睛：本題求滿足S“＜0的最大正整數〃的值，關鍵就是求出S“＜0,

s?+1＞0時成立的〃的值，解題時應充分利用等差數列下標和的性質求解.

8.下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積是()

2i

A.\27raB.6兀a?C.37toD.

答案：C

由三視圖還原幾何體，利用補體求幾何體外接球的表面積.

解：根據三視圖可知，該幾何體為如圖正方體中的三棱錐A-8CO,

正方體的棱長等于a,三棱錐的外接球就是正方體的外接球，

所以外接球的直徑2H=ga，

因此外接球的表面積為S=4〃/?2=，

A

故選:C.

9.過點A(T,-1)作圓。：。-2)2+(丁-1)2=4的一條切線人13,切點為B,則三角形

ABC的面積為()

A.2710B.6x/10C.12D.6

答案：D

求出圓心、點A兩點間的距離，再由|A@=可,結合三角形的面積公式即可

求解.

解：因為圓心C坐標為(2,1),所以|AC|=J(_4_2)2+(_]—l)2=2回,

所以|AB|=y)\ACf-r2=140-4=6，

因此SABC=^\AB\-\CB\=^X6X2=6.

故選：D.

10.將函數/(x)=sinx+J§cosx圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向右

平移、個單位長度，得到函數g(x)的圖象，則該函數在[0,乃]上的單調遞增區間是()

「八rc57r7i7i

A.[0,K]B.0,—C.一,—D.一，1

_6J\_66J\_6

答案：B

先化簡/(x)的解析式，再利用三角函數圖象的伸縮和平移變換即可求出g(x)的解析

式，再由正弦函數的單調區間即可求解.

/兀、

解：/(x)=sinx+V3cosx=2sinx-\——,

\3)

(1兀,

將其圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍得/z(x)=2sin,

(23

TT17C

再向右平移5個單位長度后得到g(x)=2sin—Xd--

212

令2k兀――<—x+—<2k7r+—,keZ,

22122

7JTSTT

得4k兀----<x<4k7r+--,（左￡Z）,

66

/,八，口7乃5乃

令左=0,得——<%<——,

66

因為所以xe0,—,

57r

所以函數g(x)在［(),句上的單調遞增區間是o,y,

故選：B.

點評：方法點睛：已知三角函數的解析式求單調區間

先將解析式化為y=Asin?x+e)(A＞0,&或y=Acos(azr+0)(A＞0,切＞0)

的形式，然后將。X+尹看成一個整體，根據丫=$出》與'=。05》的單調區間列不等式

求解.

11.已知圓O：Y+y2=/什＞0)與*軸的交點為人、B,以A、B為左、右焦點的

22

雙曲線C:二—？=1(。＞0力＞0)的右支與圓。交于尸、。兩點，若直線PQ與X軸

的交點恰為線段AB的一個四等分點，則雙曲線的離心率等于()

A.6+1B.2百一1C./上1D.2—二1

22

答案：A

根據已知條件得出c=r,求出|/%|、|。同，利用雙曲線的定義可得出關于。、c所滿

足的等式，由此可求得雙曲線的離心率.

解：由題意可知尸。為。8的中垂線,

因為點A、3的坐標分別為(―r,0)、(r,0),所以P。方程為x=],

2

聯立《2,解得，

222+百

x~+y=r~y=±——r

2

所以雙曲線的焦距為2c=2r，即。=廠,

e~—~______=+]

所以雙曲線的離心率aV3-1'.

2

故選：A.

點評：方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、C的值，根據離心率的定義求解離

心率e的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關于。的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解;

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

12.若函數/(x)=m—f+2inx在5,e上有兩個零點，則實數m的取值范圍為()

A.(l,e2-2]B.4+—,e2—2

e

C.fl,4+—D.[l,+8)

答案：C

令g(x)=f—21nx,判斷g(x)的單調性和極值，根據g(x)=，〃有兩解得出機的范

圍.

解：令/'aOum-f+ZlnxuO,則帆=工2-21nx，

令g(x)=x2—21nx,則由g'(x)=2x_2=2(?1)"+。知,

XX

g(x)在《』上單調遞減，在［l,e］上單調遞增,

/I\I

且[g(x)Ln=g6=Lg—=4+丁g(e)=e?_2,

ke7e

...1,1)

?4+—<5c,e~-2>5????g<g(e)，

e

所以若函數/(x)在5，e上有兩個零點,

則實數m的取值范圍為［1,4+5

故選：C.

點評：方法點睛：求解函數零點問題可轉化為構造函數g(x)=f-21nx,g(x)=m

有解，利用導數判斷g(x)的單調性和極值，最值問題.

二、填空題

13.己知樣本5,6,7,a,b的平均數為7,方差為2,則出?=.

答案：72

根據平均數以及方差的計算公式列方程，解方程即可求解.

解：因為樣本5,6,7,a,b的平均數為7,

所以5+6+7+。+匕=35,。+。=17,

由方差定義可得;[22+F+()2+3-7)2+(。—7>]=2,

即。2+/一14?！?助+93=0,

即(a+b)2-2ab—14(a+b)+93=0,

將Q+〃=17代入，W-ah=12.

故答案為：72

14.曲線/(x)=xe*-cosx在(0,-1)處的切線方程為.

答案：y=x-\

求導得到r(x)=e*(l+x)+sinx,計算尸(0)=0,利用點斜式即可得到答案.

解：由f(x)=xeA-cosx：

f'(x)-eA(l+x)+sinx,(0)=e。+sin0=1,

因為切點(0,-1)在曲線上，

所以所求切線方程為y+l=x,即y=x-l.

故答案為：y=x-\.

x+y>Q

15.變量x,y滿足約束條件—2y+2N0,若z=2x+y的最大值為2,則實數

rnx-y<Q

m=.

答案：3

\x+y>0

先畫《；cc表示的區域，作出直線/：2x+y=o,向上平移直線/時，

[x-2y+2>0

z=2x+y增大，再作直線，nr-y=0,根據機的范圍，確定可行域，觀察z能否取

到最大值，然后由最大值為2可求得機.

x+y>0

解：先畫《；cc表示的區域，作直線/：2x+y=0,直線z=2x+y中z表示

x-2y+2>0

直線的縱截距，向上平移直線/時，z=2x+y增大，作直線加一y=(),分析可知,

當初?時，z=2x+y沒有最大值2；

當機>)忖，目標函數對應的直線z=2x+y過直線如一y=0和x-2y+2=0的交

22m、

點時，取最大值,

2m-1'2m-1>

代入2x+y=2,解得加=3.

故答案為：3.

16.對于函數/0)=5指刈0051+85%加11乂，下列說法：

①函數/(X)是奇函數；

②函數/(X)是周期函數，且周期是)；

③函數“X)的值域是［-2,2］；

④函數/(X)在(2匕r,(+2匕，(％eZ)上單調遞增.

其中正確的是.(填序號)

答案：④

利用奇偶性定義以及誘導公式可判斷A；利用周期的定義以及誘導公式可判斷B；討論

sinx,cosx的符號，去絕對值，利用二倍角公式以及三角函數的性質可判斷C：由式的

取值范圍可得〃x)=sin2x,從而可判斷D.

解：；f(-x)=sin(-x)-|cos(-x)|+cos(-x)-|sin(-x)|

=-sinx?|cos.+cosx?|sin.H-/(x),

.?./(x)不是奇函數，①不正確；

/(x+^)=sin(x+^-)-|cos(x+^)|+cos(x+^)-|sin(x+^)|

=—sinx-|cos%|—cosx-|sinx|/(%),

但是〃1+2萬)=sin(x+2^,)-|cos(x+2^)|+cos(x+2^)?|sin(x+2^)|

=sinx-|cos^4-cosx-|sin^|=/(x),

所以f(x)是周期函數，但是"不是它的周期，故②不正確；

當sinx^O,cosxNO時，/(x)=sinx-cosx+cosx-sinx=sin2xe[0,1],

當sinx.cosxv()時，/(x)=0；

當sinx<0,cosx<0時，

/(x)=sinx?(-cosx)+cosx?(-sinx)=-sin2xG[-1,0],

所以函數值域為[-1[],故③不正確；

當+eZ)時,/(x)=sin2x,顯然單調遞增，因此④正確.

故答案為：④.

三、解答題

17.已知數列｛?！ǎ凉M足烏==dn+2a〃,nwN*.

(1)求數列｛?7｝的通項公式;

⑵設2=近數列也｝的前n項和S“，求證:

S〃<L

答案：(1)an=Vn?dn+1(nGN);(2)證明見解析.

(1)根據遞推關系式，由累乘法即可求解.

(2)利用裂項相消法即可求解.

解：(1)由\[ruin+i=Jz?+,得-」廠,

an

.&&q=73V4^5品7^71_而7^71

..%的-「T.后7ry/n-2\fn-lV2

Vax=V2,I.=G?y/n+l(neN).

.+1—yn+l—11

(2K)由(z1x)得b,產、-----=i/=~r一"l=f

a,iyln^n+\5vn+l

：.S"=b]+瓦+…+b”

yjiV25/2y/syfnG+ly/n+l

當〃eN*時，；*7i=>0，即證.

W+1

點評：結論點睛：裂項相消法求數列和的常見類型:

等差型」一=!1、

(1)——，其中｛風｝是公差為d(dHO)的等差數列;

dan+\J

無理型=而「品

(2)1

dn+Nn+kk

(3)指數型(a—l)a"=a"+i—優；

(4)對數型log受=崛—.

18.如圖，在三棱錐A—BCD中.43_L平面BCD,NBC￡>=90°，BC=CD=1,

AB=5E,F分別在AC,AD±,旦EFHCD.

(1)求證：平面3EFJ?平面ABC；

(2)若多面體EFBCD的體積等于、二，求EF的長.

9

答案：(1)證明見解析；(2)型.

3

(1)由0CJ.8C得到。CJ_平面ABC,

由EF//CD得到EF1平面ABC可得答案；

(2)由己知得到三棱錐A—3EF的體積，由三棱錐A—6CO與三棱錐A—3EF是同

高的三棱錐，體積比等于它們底面積的比可得答案.

解：(1)：A8_L平面BCD,COu平面BCD,

ABVCD,VDCIBC,BClAB=B,

且6C,ABu平面ABC,，。。_1_平面八8(：,

:EF//CD,EF±平面ABC,

EFu平面BEF,；.平面BEF±平面ABC.

(2)由題意知三棱錐A-6CO的體積為

V=-S?rn-AB=-xlxlxlxV3=-)

3BCD326

多面體EFBCD的體積等于苴,

9

三棱錐A-BEF的體積等于"—一""~,

6918

?.?三棱錐A-BCD與三棱錐A-BEF是同高的三棱錐，體積比等于它們底面積的比,

.SAEF=VR-AEF_X

SACD^B-ACD3

S.叫后產=1,

■:EF//CD，

SACDCD3

EF=—CD=-.

33

點評：本題考查了由線面垂直證面面垂直及棱錐的體積問題，求棱錐的體積有時可以利

用等體積轉化使運算量減少，考查了學生的空間想象力和轉化能力.

19.若一正四面體的四個面分別寫上數字1,2,3,4,設m和n是先、后拋擲該正四

面體得到的底面上的數字，用X表示函數/(尤)=》2+g+〃零點的個數.

(1)求X=0的概率；

(2)求在先后兩次出現的點數中有數字3的條件下，函數有零點的概率.

93

答案：(1)—；(2)—.

(1)基本事件就是(〃?,”)，用列舉法寫出所有的有序數對(〃?,〃)，同時得出方程無實

數解的(機,“)，計數后可得概率；

(2)寫出含有3的有序數對(加,〃)，求出對應函數有零點的(/〃,〃)，計數后可得概率.

解：(1)由題意，設基本事件空間為。={(m,〃)|加=1,2,3,4;n=1,2,3,4},則

0={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3.2),(3,3),(3,4),(4,1),

（4,2）,（4,3）,（4,4）｝，則Q中共有16個基本事件；

設函數/（x）=X2+mx+n零點的個數為0個時為事件A,則

4=｛（，”,〃）|m=1,2,3,4;〃=1,2,3,4;且〃，一4〃＜（）｝,即

A=｛（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1.4）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,3）,（3,4）｝,則A中有9個基本事

件；

9

所以X=0的概率P（X=0）=7.

16

（2）設先后兩次出現的點數中有數字3為事件D,則

Q=｛（1,3）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）｝,故D中有7個基本事件，

設先后兩次出現的點數中有數字3的條件下，函數有零點的事件為E,則

￡=｛（3,1）,（3,2）,（4,3）｝,E中有3個基本事件，

3

所以先后兩次出現的點數中有數字3的條件下，函數有零點的概率為,?

點評：關鍵點點睛：本題考查古典概型，解題關鍵是事件空間的理解.寫出事件空間中

的所有基本事件.本題實質就是由L2,3,4構成的一個有序數對（加,〃）為一個基本事件,

從而易用列舉法寫出所有基本事件，并得出滿足條件的基本事件.

20.已知橢圓三十[=1（。＞0＞0）過點B（虛,1）,且離心率為Y2.

（2）設經過橢圓右焦點F的直線1交橢圓于C,D兩點，判斷點尸7a,0與以線段

（2）

CD為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

22

答案：（1）二+2=1；（2）答案見解析.

42

（1）解由點的坐標代入橢圓方程、離心率和/、b\c?之間的關系組成的方程組可得

答案；

（2）討論直線的斜率，求出圓心坐標和圓的半徑，利用P點到圓心的距離和圓的半徑

比較大小可得答案.

解：（1）由已知，點在橢圓上.

21,

L記=1

因止匕</一〃=。2,解得a=2,b=五.

c_>/2

.a2

x22

所以橢圓的方程為'>+±v=1.

42

（2）設點C（%,y）,D（^x2,y2）,CD中點為0（%,%）.

橢圓的右焦點為（后,0）,當直線CD斜率為零時，點P顯然在圓外;

當直線CD斜率不為零時，設直線CD的方程為％=如+也，

x=Ky±\iz,

由,f,得（儲+2））J+2技y-2=0,

--+--=1

142

「廠I、I20左2

所以>]+%=-”■二，,為2

K+2k+2'

從而為=—金幺?

■°公+2

/a\2

所以|QP「=x0--V2

=（公+i）y：-低Xo+g.

卬『_（3一工2）+（3-%）=（公+1）（兇一%）2

444

=（公+1心；-%>2）,

故IQP「一呼=（1+公）北--正⑥o+g_（/+1）（尤_,％）

=—也6。+僅2+1）%必+《=士—竺士+LI

k2+2k2+222付+2）

當女€(-00,-夜)(J("+00)時，

(3五、

點P,0在以CD為直徑的圓的外部；

I2]

(3五)

當女=夜或女=-夜時,點尸-z-，0在以CD為直徑的圓上；

(3五>

當壯(-后&)時，點P1拳,0)在以CD為直徑的圓的內部.

點評：本題考查了橢圓的方程、點和圓的位置關系，關鍵點是求出圓心和半徑，利用P

點到圓心的距離和半徑比較大小，考查了學生分析問題、解決問題及轉化的能力.

、f-x3+x1+bx+c,x<\24

21.已知函數/(x)=<,當x=；時，函數有極值丁.

amx-\-a,x>1327

(1)求實數b、c的值；

(2)若存在XoW—1,2],使得./?(不)23?一7成立，求實數a的取值范圍.

答案：(1)b=0,c=0；(2)a<------.

2—In2

24

(1)X<1時，f\x)=-3x2+2x+b,利用當x時，函數/(X)有極大值方，建

立方程，即可求得實數Ac的值；

(2)存在天使得了ajNSa—7成立，等價于xe[-l,2],使得

/(x),ia>3a-'成立，分類討論，求出函數的最大值，即可求實數。的取值范圍.

解：(1)由已知當x<l時，/1'(x)=-3x2+2x+b,

則/>{1)=—3x1|)+2X|+/7=0,所以匕=0,

所以c=0.

(2)因為存在％w[T,2],使得使(土)之3。一7成立,

所以問題可轉化為：與［一1,2］時，/0)2?3?！?,

c,.一d+X-,X<1

由⑴知/(X)=\

a\nx-^-a,x>l

①當—1WX<1時，f(%)——3爐+2x=-3xx——I,

、3)

2

令/'(x)=。得x=0或x=§；

、22

一l?x<0時，/f(x)<0,0<x<§時，/'(x)>0,]<x<l時，/,(x)<0,

(2、「2一

所以〃尢)在(—1,0)和.』上單調遞減，在0,-上單調遞增，

又"-1)=2,/(0)=0,

所以當一14x<l時，/(%)皿=223。-7,得“M3.

②當時，f(x)=a\nx+a,

當a=0時，/(%)=O2—7成立；

當a>0時，F(x)111ax=/(2)=aln2+aN3a—7,

7

所以0<a4

2-ln2

當〃<0時，/⑴皿=〃1）=在3a-7成立，所以"0.

7

綜上可知：a的取值范圍為aW--------.

2-ln2

點評：關鍵點睛：存在鼠[一1,2],使得./?（不）23?！?成立等價于等價于xe[-1,2],

使得了（?a23a-7成立,分類討論求得最值.

22.已知在平面直角坐標系xOy中，直線1過點M（0,l）,傾斜角為C,以。為極點，

x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系